数模论文.docx
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数模论文
西南交通大学2013年
新秀杯数学建模竞赛
题目：
A题（填写A、B或C题）
组别：
大二组（填写大一组或大二组）
西南交通大学教务处
西南交通大学实验室及设备管理处
西南交通大学数学建模创新实践基地
城市交通能力的分析
一、摘要
随着经济的发展，自2002年开始，我国四个直辖市的私人汽车保有量不断上涨。
由于城市的交通能力有限，汽车数量激增的现象给城市的交通带来了巨大的压力，为此建立模型分析四个直辖市的交通能力是极其重要的。
题一，分析四个直辖市的私人汽车保有量与经济增长的关系，搜集四个城市02-12年私人汽车保有量和经济增长的数据，为了消除汽车数目量纲的影响，我们把汽车保有量和经济增长率皆化为02年对应数据的倍数，得出两组比值数据，进行拟合，从中得出私人汽车比值与经济比值较好满足二次方关系。
题二，预估2020年北京市的私人汽车保有量：
先分析经济比值与时间的关系，建立预估经济比值的模型，经过拟合发现经济比值与时间也较好满足二次方的关系；借此模型预测出2020年的经济比值，若忽视北京2011年开始实施的“摇号”政策，则可由题一中得出的汽车比值与经济比值的模型来预测北京2020年的汽车比值，进而得出私人汽车保有量，再将此结果与考虑“摇号”政策情况下北京市2020年的预估值比较。
按道路规划两倍建设，能否满足需要：
交通流量S（
）=交通流速度（
）V*交通流密度H（
），定义道路能力为
，
对应的速度为
，评判道路能不能满足需要看交通流速度V与
的关系，V>
或V接近
，道路畅通，满足；V<<
道路拥堵，不满足。
搜集到北京市南礼士路的H、S数据，算出对应的V。
查询得普遍小汽车的车身长为4.761m，则由定义可得
=1km/4.761m=210。
观察H、V、S的数据可知，H逐渐增大时，S先增大后减小，V持续减小，我们把数据中的
定义为北京市的道路能力，两倍规划即为2
。
考虑到汽车数量增加时，H逐渐增加最终趋近与
，我们用密度比h（h=H/210）来衡量H，则h和私人汽车保有量之间可建立一个类倒指数模型。
同样定义流量比s（s=S/
），观察和多次拟合可发现s较好满足h的二次方多项式。
将2020年北京的预测汽车保有量带入前两个模型中可以预测出2020年的车速V,与
相比得出结论，单双号限行也是如此。
题三，考虑道路交通、铁路交通和水路交通三方面，以此来衡量一个城市的综合交通能力，由于各种交通方式对城市交通影响程度可能不同，且为了统一评价标准，采用动态加权法来确定综合评价函数，从而对四个直辖市的交通进行综合评价。
关键词：
私人汽车保有量、经济增长、交通流量、交通流速度、交通流密度、道路规划、交通能力、无量纲化
二、问题的提出
自02年我国加入世贸组织，我国汽车市场大举对外开放。
随着GDP的增长，人民的购买能力和对汽车的需求不断上升，然而地区的交通能力却很难跟上人们日益增长的需求，两者之间的矛盾导致了地区交通的拥堵，汽车作为代伐工具的作用没有办法很好实现。
为了能够缓解这种交通压力，我们必须根据以往的数据建立可靠的模型来预测未来的汽车数量和道路交通能力，从而事先想好准备措施，来预防未来交通瘫痪的可能性。
不仅如此，一个城市的交通能力的大小影响着一个城市的生活质量，交通能力的综合评价也是一个城市质量考核的重要指标。
为此，建立适当的模型来衡量一个城市的交通能力，能够让我们很好了解到该城市的生活舒适度和其发展。
三、问题的分析
由上述问题的提出可知，预测一个城市未来的私人汽车保有量，需要建立一个可靠的私人汽车拥有量和经济的模型，为此我们需要搜集一个城市自02年的有关数据，进行数据分析，同时也要进行多次拟合，最终确定一个最好的模型。
对于衡量城市的道路规划能否满足城市交通的需要，我们需要定义好一个量来代表道路规划值，能否满足需要我们可以用城市的交通流速度来衡量，速度越大，自然交通越好，即道路规划能够满足需求。
对于一个城市交通能力的综合评价，我们要考虑一个城市的多种交通，处理数据时，我们要注意到数据的无量纲化，建立一个动态加权的模型进而来评价一个城市的综合交通能力。
四、建模过程
1.问题一：
1）基本假设：
1.建模过程中，不考虑政府对汽车数量的控制和对经济的干预。
2）定义符号：
私人汽车保有量—R私人汽车比值（R/02年私人汽车保有量）--r
经济值（每年GDP对于前年的倍数）--P经济比值（经济值为02年的倍数）--p
3）模型的建立：
1.1北京
由于是不考虑政府政策的干预，即分析北京市的私人汽车比值与经济比值的关系，则所选数据要剔除2011年后的数据
R=[81.8107.09125.22149.31176.24207.94244.27296.56379.51387.29407.5];
R1=[81.8107.09125.22149.31176.24207.94244.27296.56379.51];
r=[1.001.311.531.822.152.542.983.634.464.734.98];
r1=[1.001.311.531.822.152.542.983.634.46];
P=[11.111.141.121.131.141.091.11.11.081.08];
p=[1.00001.11001.26541.41721.60151.82571.99002.18902.40792.6005
2.8086];
p1=[1.00001.11001.26541.41721.60151.82571.99002.18902.4079];
用matlab绘制散点图
plot（p1,r1,'.r'）
gridon
观察猜测私人汽车比值r与经济比值p满足多项式关系，经过多次拟合:
l=polyfit（p1,r1,k）;
rr=polyval（l,p1）;
plot（p1,r1,'.r',p1,rr,'b'）
gridon
发现当k=2时，拟合较好，图像如下：
此时l=[0.8542-0.58940.8545],即
1.2其他三直辖市的分析
非线性回归模型
表4.1、4.2给出了2002—2012年重庆市、北京市、上海市私家车保有量及经济增长的的数据。
利用excle表格做出三直辖市私家车保有量及经济走势图，如图4.1、4.2所示
图4.1三直辖市市私家车保有量走势图
图4.2三直辖市2002—2012年经济总值走势图
表4.12002—2012年三直辖市私家车保有量相对2002年翻涨倍数
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
重
庆
1
1.15
1.38
2.23
2.69
2.48
3.19
5.27
7.15
8.67
15.8
上
海
1
1.53
2.16
2.79
3.47
4.17
4.9
5.79
7.06
8.16
11.1
天
津
1
1.15
1.37
1.68
2.04
2.48
2.98
3.76
4.69
4.3
6.09
表4.22002—2012年三直辖市经济总值相对2002年翻涨倍数
年份
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
重
庆
1
1.11
1.24
1.38
1.55
1.78
2.03
2.31
2.7
3.1349
3.54
上
海
1
1.12
1.28
1.42
1.59
1.83
1.99
2.149
2.36
2.5528
2.68
天
津
1
1.15
1.32
1.85
2.59
3
3.48
4.036
4.72
5.477
6.3
以重庆市模型建立为例，将数据导入spss软件，以经济总值翻涨倍数为变量，私
家车保有量为因变量做非线性回归分析得到优化方程形式为：
（4.1）
上式中y代表某年私家车保有量相对于2002年私家车保有量的倍数，无单位，x
代表某年经济总值相对于2002年经济总值的倍数，无单位。
同理利用spss软件分别求得上海市私家车保有量变化与经济增长变化的优化方程为：
（4.2）
天津市私家车保有量变化与经济增长变化的优化方程为：
（4.3）
以上两式当中y与x的含义同公式4.1
1.3模型的检验与结果分析
表4.3、4.4、4.5分别代表利用spss数据分析得到的有关参数
模型汇总和参数估计值
因变量:
重庆市私家车保有量翻涨倍数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
二次
.969
123.564
2
8
.000
4.706
-5.352
2.301
三次
.982
125.444
3
7
.000
-6.444
12.490
-6.340
1.283
指数
.970
289.281
1
9
.000
.483
.971
自变量为重庆市经济总值翻涨倍数。
表4.3
模型汇总和参数估计值
因变量:
天津市私家车保有量翻涨倍数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
二次
.968
122.370
2
8
.000
.376
.617
.041
三次
.968
71.488
3
7
.000
.462
.512
.075
-.003
指数
.959
209.580
1
9
.000
.860
.329
自变量为天津市经济总值翻涨倍数。
表4.4
模型汇总和参数估计值
因变量:
上海市私家车保有量翻涨倍数
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
b3
二次
.973
144.329
2
8
.000
2.092
-2.874
2.184
三次
.977
167.219
2
8
.000
.213
.748
.000
.414
指数
.959
209.278
1
9
.000
.403
1.238
自变量为上海市经济总值翻涨倍数。
表4.5
由表4.3可以看出重庆市最优方程应为三次方程R方值达到0.982，说明拟合方程有非
常大的概率解释变量之间关系，方程比较合适，图4.3为三种拟合曲线与实际变量散点图
之间的关系，比较二次、三次及指数三种方程数据及图像后，三次方程为最合适的关系
方程。
图4.3
由表4.4可以看出天津市私家车保有量与经济增长的关系方程优化较好，R方值达
到0.968，下图4.4给出了拟合曲线与实际变量散点图的拟合程度，比较二次、三次与
指数三种方程数据及图像后决定采用二次方程。
图4.4
由表4.5可以看出上海市私家车保有量与经济增长关系方程优化较好，R方值达到
0.973，所得方程可较好的反应两变量之间的关系，下图4.5为拟合曲线与实际数据散
点关系图，比较二次、三次与指数三种方程数据及图像后，决定采用二次方程。
图5.5
结果分析：
由优化方程我们知道重庆市私家车保有量与经济增长成三次方关系，近年来重庆经济一直以高于全国平均水平的速度高速发展，人民生活水平不断提高，交通发展较快，私家车保有量处于高速增长的状态，目前还处于这个阶段，极大值点预计在未来几年会出现，目前阶段重庆市私家车保有量还将随着经济的发展继续增长。
上海市由于经济起步早，各项设施较为完善，经济处于较高的水平所以速度较其他两城市甚至全国都慢一点，私家车的数量也是基数较大，通过方程可以看出，私家车保有量也是随着经济增长高次增长但速度慢，且极值点会在近两三年内出现。
天津市的优化方程看出高次系数是最小的，也是随着经济增长，私家车数量呈缓慢上升趋势，且极大值点近二三年内会出现考虑到增长速度明显低于其他城市，可能是受天津市政策道路发展等的影响。
综合以上三市的优化方程可得出结论：
私家车保有量会在一段时间内以经济增长的高次增长，且存在极大值点，目前三城市均处于高次增长阶段。
2．问题二：
2.1预估北京2020年的私人汽车保有量
1）基本假设：
1.不考虑道路交通能力的限制。
2）定义符号：
时间—t经济比值—p私人汽车比值—r
4）模型的建立：
要预估北京2020年私人汽车保有量的值，需要分下述两种情况：
情况一：
不考虑北京“摇号”政策的影响。
由问题一可知私人汽车比值r与经济比值p满足
，
则要预估北京2020年私人汽车保有量，需要预存出北京2020年的经济比值。
现建立一个能够预估北京经济比值的模型。
输入数据：
p=[1.00001.11001.26541.41721.60151.82571.99002.18902.40792.6005
2.8086];
t=[0203040506070809101112];
plot（t,p,'b'）
xlabel（'时间t'）;
ylabel（'经济比值p'）;·
gridon
其图像经过多种方法拟合，发现其与二次函数拟合方差最小，
l=polyfit（t,p,2）;
pp=polyval（l,t）;
holdon
plot（t,pp,'r'）;
l=[0.00410.1280.701];即经济比值p与时间t之间的关系式为：
则2020年北京预测的经济比值
带入题一函数式得：
2020年北京预测的私人汽车比值
则2020年北京预测的私人汽车保有量R=18.484*81.8=1512（万辆）
情况二：
考虑北京“摇号”政策的影响。
那么根据北京2011年开始实施的“摇号”政策，每个月限发车牌2万，则每年私人汽车保有量增长2*12=24（万辆），即2020年北京市私人汽车保有量
（万辆）
2.2若按北京道路规划两倍建设，能否满足需要。
1）基本假设：
1.不考虑道路的破损，即认为道路的通行能力的大小不变。
2.忽略北京道路的大小和质量差别，北京交通能力可以由北京某一重要关口（南礼士路）的交通能力反映出来。
2）定义符号：
交通流速度—V（km/h）交通流密度—H（辆/km）交通流量—S（辆/h）
密度比值—h（h/
）流量比值—s（S/
）
3）模型的建立：
交通流量S=交通流密度H*交通流速度V
日常生活中，在道路运载能力一定的情况下，城市交通流密度不断增加，则交通流速度会逐渐减小，而对于交通流量则是呈现出先增大后减小的状态，交通流量出现的峰值则是最反映出道路运载能力的。
介于此，我们定义北京市的道路规划可由交通流量的最大值反映，交通流量最大值所对应的交通流速度则定义为最优交通流速度
，而能否满足需要，则是由此时北京市的交通流速度V来反映。
当V>
或V与
接近时，道路畅通，满足需要；而当V<<
时，道路拥挤，不满足需要。
考虑到汽车有车身长度，即H不能无限增大。
查阅资料可知小汽车普遍车身长度为4.761m，则
，即随着私人汽车保有量R的增加，交通流密度H会逐渐趋近与
则可猜测h与R两者关系满足于类似于倒指数函数
的函数
搜集到07-12年的南礼士路数据如下：
（由数据可得
=5940辆/h
）
运用spss进行猜想分析可知：
R方=0.955,拟合十分精确，此时a=0.162,b=246.23,即密度比值h与私人汽车保有量R之间的猜想函数正确，为：
由交通流量与交通流密度两者之间的变化关系可猜测两者之间满足二次方多项式，即s与h之间也满足二次方多项式关系。
运用spss进行曲线估计的：
模型汇总和参数估计值
因变量:
流量比
方程
模型汇总
参数估计值
R方
F
df1
df2
Sig.
常数
b1
b2
对数
.273
1.505
1
4
.287
.593
-.504
倒数
.232
1.210
1
4
.333
.389
.273
二次
.863
9.447
2
3
.051
-4.703
19.735
-17.062
幂
.300
1.715
1
4
.261
.588
-.696
S
.257
1.386
1
4
.304
-.815
.379
指数
.347
2.123
1
4
.219
1.798
-1.253
Logistic
.347
2.123
1
4
.219
.556
3.501
自变量为密度比值。
可知二次方函数拟合度最高，且R方=0.863，拟合较好，可行度较高。
即：
需求分析：
由题二建立的模型可知:
不考虑北京市“摇号”政策的影响：
不实施单双号限行：
北京市2020年预测的私人汽车保有量R=1512（万辆）
带入
可得北京市2020年的交通流密度将达到：
将h带入
可得北京市2020年的交通流量比值为：
即道路规划两倍后北京市2020年预估的交通流速度为
<<
道路十分拥堵，两倍规划不能满足需要。
若实施单双号限行：
则可认为北京市2020年的私人汽车保有量为R=1512/2=756（万辆）
则由
可得：
将h带入
可算出
即道路规划两倍后北京市2020年的预估交通流速度为
<<
道路拥堵，两倍规划也不能满足需要。
考虑北京市“摇号”：
不实施单双号限行：
北京市2020年预测的私人汽车保有量
=599.5（万辆）
同上依次求出：
接近
，交通较为通畅，能够满足需要；对于单双号限行，更是能够使交通流畅。
由上述的预测结果我们不难发现：
若北京市对汽车的数量不采取有效的控制措施，北京市汽车数量将十分庞大时，道路规划的倍数建设难以满足城市交通的需要，即使实行“单双号限行“政策，也无法明显地改善城市交通；为此北京市从2011年开始实施的“摇号”政策是迫切需要的明智选择，于此同时，政府控制着汽车数量的增长，还需要加强道路建设，唯有此才能将北京市的交通控制在一个较好的水平。
3.问题三：
1）综合交通能力考虑的参数：
公路客运量、铁路客运量、水路客运量
2）数据的预处理：
城市中公路、铁路和水路对该城市的综合交通能力的影响作用存在一定的差异，在此我们给予这三种交通方式各一个权重
，通过建立一个权重影响函数来统一一个评价城市综合交通能力的标准。
为此，我们需要对数据进行预处理（matlab7.0），方法如下：
以下数据从左到右依次为北京、重庆、天津、上海的数据，g代表公路客运量、k代表铁路客运量、s代表水路客运量
g=[129918136142220543477];
k=[9800293428296198];
s=[0132251358];
将交通能力的大小分为三个等级，分割值从小到大依次为
gg=sum（g）/3;
kk=sum（k）/3;
ss=sum（s）/3;
G1=min（min（g））+gg;
G2=G1+gg;
S1=min（min（s））+ss;
S2=S1+ss;
K1=min（min（k））+kk;
K2=K1+kk;
对指标数值做极小化处理：
G=[G1G2];
S=[S1S2];
K=[K1K2];
m=1./G;
n=1./S;
l=1./K;
做极差变化，使数据标准化：
M=[1m*10^50];
N=[1n*1000];
L=[1l*10^40];
考虑到不仅每种交通方式之间存在着差异，各个城市之间交通方式的重要性也不尽相同，为此，我们采用动态加权法，参考数据，我们不妨取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即
求解对应区间的终值和标准差：
i=1
forj=1:
1:
3
a（i）=（M（j）-M（j+1））*0.5;
b（i）=（N（j）-N（j+1））*0.5;
c（i）=（L（j）-L（j+1））*0.5;
i=i+1;
end
g1=sqrt（var（1000./g））
s1=sqrt（var（[00.0075640.19610.0279]））
k1=sqrt（var（1000./k））
求解对于每种交通方式，各城市之间权重因子之间的比重：
x=1000./g;
wg=1-exp（-（（x-[1111]*0.5054/2）/g1）.^2）
y=1000./k;
wk=1-exp（-（（y-[1111]*0.5768/2）/k1）.^2）
ws=1-exp（-（（[0.0075640.19610.0279]-[111]*0.5054/2）/s1）.^2）
得出：
wg=[0.96300.96340.90580.0647]
wk=[0.88450.15710.23150.6334]
ws=[00.99910.31010.9971]
从wg、wk、ws数据中我们不难得出如下结论：
北京市的道路和铁路交通能力都是很大的，而其水路交通却是居于四城市之尾。
重庆市道路和水路的交通能力较大，而铁路交通却位居四城市之尾。
天津的三方面交通都较为中等。
上海的道路交通不尽人意，其余两方面的交通都较好。
3）综合交通能力评价函数：
y—衡量综合城市交通能力的指标
4）四个直辖市的综合交通能力：
北京：
重庆：
天津：
上海：
比较可知，重庆的综合交通能力位居首位，接下来依次是北京、上海、天津。
五．模型的评价和改进
本题所建立的模型均以真实的数据和科学的算法为基础，以数据拟合，分析为主线，以方法的多样高效为目的。
整体来说，本次建模可以从以下几个方面进行详细分析：
1.模型优点：
为了确保数据的真实可靠性，我们采取三方途径搜取数据：
图书，统计网站，数据库。
在此基础上，题一、题二的模型采用了多种处理数据的方法，对已有的数据借助spss,matlab软件进行了初步拟合，除此之外，观察数据之间的关系也是重要的部分，之后到结合
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