中职数学基础模块上册第四章指数对数函数教案集.docx
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中职数学基础模块上册第四章指数对数函数教案集
4.1.1分数指数幂
【教学目标】
1.理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．
2.培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．
【教学重点】
零指数幂、负整指数幂的定义．
【教学难点】
零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的
＝am-n（m＞n，a≠0）
这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？
第1格放的米粒数是1；
第2格放的米粒数是2；
2个2
第3格放的米粒数是2×2；
3个2
第4格放的米粒数是2×2×2；
4个2
第5格放的米粒数是2×2×2×2；
……
63个2
第64格放的米粒数是2×2×2×…×2.
学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案．
师：
通过上面的解题过程，你能发现什么规律？
那么第64格放多少米粒，怎么表示？
学生回答，教师针对学生的回答给予点评．并归纳出第64格应放的米粒数为263．
师：
请用计算器求263的值．
学生解答．
通过问题的引入激发学生学习的兴趣．
在问题的分析过程中，培养学生归纳推理的能力．
为引出an设下伏笔．
用计算器使问题得到解决．
新
课
新
课
新
课
一、正整指数幂
1．定义
一般地，an（nN+）叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并且规定：
a1＝a．
an
幂
指数（nN＋）
底数
当n是正整数时，an叫正整指数幂．
练习1填空
（1）23×24＝ ；aman＝ ；
（2）（23）4＝ ；（am）n＝ ；
（3）＝ ；＝ （m＞n，a≠0）；
（4）（xy）3＝ ；（ab）m＝ ．
练习2计算．
二、零指数幂
规定：
a0＝1（a≠0）
练习3填空
（1）80＝ ；
（2）（－0.8）0＝ ；
练习4式子（a－b）0＝1是否恒成立？
为什么？
练习5计算
（1）；
（2）．
三、负整指数幂
我们规定：
a－1＝（a≠0）
a－n＝（a≠0,nN+）
练习6填空
（1）8–2＝ ；
（2）（0.2）－3＝ ．
练习7式子（a－b）－4＝是否恒成立？
为什么？
四、实数系
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
零
负整数
五、整数指数幂的运算法则
aman＝am+n；
（am）n＝amn；
（ab）m＝ambm．
练习8
（1）（2x）–2＝ ；
（2）0.001–3＝ ；
（3）（）–2＝ ；
（4）＝ ．
教师板书课题．
学生理解概念．
教师强调n是正整数．
学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习1、2．
练习1，学生分小组抢答；练习2，学生通过约分解得
＝1．
师：
如果取消＝am－n
（m＞n，a≠0）中m＞n的限制，如何通过指数的运算来表示？
＝23－3＝20
教师板书：
零指数幂
a0＝1（a≠0）．
师：
请同学们结合零指数幂的定义完成练习3．
学生解答．
教师强调练习4中，等式成立的条件，即a≠b．
练习5，学生可通过约分解答．
师：
实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜n．当m＜n时，运算法则＝am－n一定成立吗？
学生尝试解决教师提出的问题．
教师板书：
负整指数幂
a－n＝（a≠0,nN+），
并强调a的取值．
练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决．
教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a≠b．
师：
从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．
师：
正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立．
板书运算法则．
通过演示将的运算归结到aman中去，即
＝ama－n＝am+（–n）＝am–n．
学生解答，练习8要求小组合作解决．
教师在讲解上述题目时，应再现每题运算过程中用到的运算律．
学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容．
明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫．
通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律．
由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义．
突破思维困境，引入零指数幂．
第2题的目的是要让学生记住
a0＝1（a≠0）
中的a≠0这一条件．
类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了．
练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围．
重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．
使学生对幂的运算法则给予重新认识．
突出本节知识，突出运算法则．
小
结
正整指数幂
零指数幂
负整指数幂
整数指数幂
1．指数幂的推广
2．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：
（1）aman＝am+n；
（2）（am）n＝amn；
（3）（ab）m＝ambm．
回顾本节主要内容，加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．
简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆．
作
业
必做题：
P72，第1、2.3题，
选做题：
P77，习题第1.2.3题．
标记作业．
针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层．
4.1.1实数指数幂及其运算法则
【教学目标】
1.了解根式的概念和性质；理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．
2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．
【教学重点】
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．
【教学难点】
对分数指数幂概念的理解．
【教学方法】
这节课主要采用问题解决教学法．
在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．整数指数幂的概念．
an＝a×a×a×…×a（n个a连乘）；
a0＝1（a≠0）；
a－n＝（a≠0，nN+）．
2．运算性质：
aman＝am+n；
（am）n＝amn；
（ab）m＝ambm．
师：
上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？
这节课我们就来探讨这个问题．
师：
首先来复习一下上节课所学的内容．
学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．
以旧引新提出问题，引入本节课题．
复习上节所学内容．
新
课
新
课
新
课
一、根式有关概念
定义：
一般地，若xn＝a（n＞1，nN），则x叫做a的n次方根．
例如：
（1）由32＝9知，3是9的二次方根（平方根）；
由（－3）2＝9知，－3也是9的二次方根（平方根）；
（2）由（－5）3＝－125知，－5是－125的三次方根（立方根）；
（3）由64＝1296知，6是1296的4次方根．
有关结论：
（1）当n为奇数时：
正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：
x＝．
（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）．记作：
x＝±．
（3）负数没有偶次方根．
（4）0的任何次方根都为0．
当有意义时，叫做根式，n叫根指数．
正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．
例如：
叫做2的3次算术根；不叫根式，因为它是没有意义的．
二、根式的性质
（1）（）
＝a．
例如，（）
＝27，（）
＝－3．
（2）当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝.
例如：
＝－5，
＝2；
＝5，＝|－3|＝3．
观察下面的运算：
（a）3＝a3＝a ①
（a）3＝a3＝a2 ②
上面两式的运算，用到了法则（am）n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a连乘3次得到a，所以a可以看作是a的3次方根；②式的含义是a连乘3次得到a2，所以a可以看作是a2的3次方根．
因此我们规定
a＝，a＝，
以使运算合理．
三、分数指数幂
一般地，我们规定：
a＝（a＞0）；
a＝＝（）m（a＞0，m，nN+，且为既约分数）．
a＝（a＞0，m，nN+，且为既约分数）．
四、实数指数幂的运算法则
（1）aαaβ＝aα+β；
（2）（aα）β＝aαβ；
（3）（ab）α＝aαbα．
以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．
练习1
8×8＝8＝81＝8；
8＝（8）2＝22＝4；
3××＝3×3×3×3＝31＋＋＋＝32＝9；
（ab）3＝（a）3·（b）3＝a2b．
例1利用函数型计算器计算（精确到0.001）：
（1）0.21.52；
（2）3.14－2；（3）3.1．
例2利用函数型计算器计算函数值．
已知f（x）＝2.71x，求f（－3），f（－2），f（－1），f
（1），f
（2），f（3）（精确到0.001）．
请同学们结合教材在小组内合作完成．
练习2
教材P73，练习1.2，．
教师板书课题．
学生理解方根概念．
教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．
学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．
学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当有意义时，叫做根式．
学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．
教师用语言叙述根式性质：
（1）实数a的n次方根的n次幂是它本身；
（2）n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．
学生认真观察．
在教师的引导下，学生寻找解惑途径．
学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．
师：
负整数指数幂是怎么定义的？
如何来定义负分数指数幂呢？
学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．
师：
至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．
学生做练习．
教师讲解例1第
（1）题的操作方法．
学生结合教材，完成例1第
（2）、（3）题，学习用计算工具来求指数幂ab的值．
引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．
使学生加深对方根概念的理解，为总
结出结论作铺垫．
由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．
引入根式、根指数的概念．
将数学语言（符号）转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．
设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．
通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．
引入正分数指数幂的概念．
类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．
将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．
加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．
使学生掌握函数型计算器的使用．
使学生进一步巩固函数计算器的使用方法．
小
结
根式
分数指数幂
1．
正整指数幂
零指数幂
负整指数幂
整数指数幂
分数指数幂
有理指数幂
实数指数幂
2．
3．利用函数型计算器求ab的值．
学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．
简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．
理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．
作
业
必做题：
教材P77，1.2；
针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和选做题两层．
4.1.2幂函数举例
【教学目标】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．
2.培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．
3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．
【教学重点】
幂函数的定义．
【教学难点】
会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．
【教学方法】
这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．
从函数y＝x，y＝x2，y＝等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．指数幂
an＝a×a×a×…×a（n个a连乘）
a0＝1；
a-n＝（a≠0,nN+）；
a＝（a>0）；
a＝（a>0，m，n∈N+，且为既约分数）；
a＝（a>0，m，n∈N+，且为既约分数）．
2．观察函数
y＝x2，y＝x3，y＝x及y＝x－1．
学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则．
师：
以上函数表达式的共同特征是什么？
你还能举出类似的函数吗？
学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题．
复习上节内容，为本节学习做准备．
通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标．
新
课
新
课
新
课
一、幂函数的概念
一般地，形如
y＝x
的函数我们称为幂函数．
练习1判断下列函数是不是幂函数
（1）y＝2x；
（2）y＝2x；
（3）y＝x；（4）y＝x2＋3．
例1写出下列函数的定义域：
（1）y＝x3；
（2）y＝x；
（3）y＝x－2；（4）y＝x．
解：
（1）函数y＝x3的定义域为R；
（2）函数y＝x，即y＝，定义域为[0，＋∞）；
（3）函数y＝x－2，即y＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；
（4）函数y＝x，即y＝，其定义域为（0，＋∞）．
练习2求下列函数的定义域：
（1）y＝x－3；
（2）y＝x；（3）y＝x．
二、幂函数的性质
例2作出下列函数的图象：
（1）y＝x；
（2）y＝x；
（3）y＝x2；（4）y＝x－1．
（1）列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x
…
/
/
/
/
1
1.41
1.73
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y＝x-1
…
－
－
－1
/
1
…
（2）描点；
（3）连线．
幂函数的性质
幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点（1，1），都经过第一象限等．
（2）可否利用的图象画出的图象？
练习3画出函数y＝x的图象，并指出其奇偶性、单调性．
学生在教师的引导下归纳幂函数的概念．
学生回答练习1，进一步理解幂函数的概念．针对学生的回答，教师结合定义点评．
在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题．
学生寻找规律，形成解题规律．
师：
由上例我们可以看出，当幂函数的指数为负整数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；当幂函数的指数为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域．
教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价．
师：
函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？
学生回答．
学生分组完成列表．
师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图．
教师结合函数图象说明幂函数的性质．
学生在教师的引导下完成练习．
由学生自己归纳幂函数的概念，有利于他们把握和理解新概念．
使学生加强对幂函数概念的理解．
通过例题演示，使学生进一步掌握求幂函数定义域的方法．
总结规律．
使学生应用刚学过的新知识．
回顾作图过程，进一步明确函数图象是研究函数性质的有利工具．
在画图过程中，学会与人合作．
使学生对幂函数的性质有简单的了解．
复习作图过程，并强化学生读图能力培养．
小
结
1．幂函数的定义
2．求幂函数的定义域
3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质
师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质．
简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．
作业
1．教材P77，练习1.2题．
2．计算机上的练习
在同一坐标系中画出函数y＝x3与y＝的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系（操作步骤参照教材172页）．
基于学生实际，对课后书面作业实施分层设置的同时设置了计算机上的练习，让学生自己在操作过程中寻找学习的乐趣．
4.1.3指数函数
【教学目标】
1.掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．
2.培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．
【教学重点】
指数函数的图象与性质．
【教学难点】
指数函数的图象性质与底数a的关系．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．
本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式．
教师分析解题的过程，得到y＝0.84x．
通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．
新
课
新
课
新
课
新
课
一、指数函数的定义
一般地，函数
y＝ax（a＞0且a¹1，xÎR）
叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．
探究1
y＝2×3x是指数函数吗？
探究2
为什么要规定a＞0，且a≠1呢？
（1）若a＝0，
则当x＞0时，ax＝0；
当x≤0时，ax无意义．
（2）若a＜0，
则对于x的某些数值，可使ax无意义．
如（－2）x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在．
（3）若a＝1，
则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．
在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax＞0.因此指数函数的定义域是R，值域是（0，＋∞）．
练习1指出下列函数哪些是指数函数：
（1）y＝4×3x；
（2）y＝px；
（3）y＝0.3x； （4）y＝x3．
二、指数函数的图象和性质
在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝（）x的图象．
（1）列表：
略．
（2）描点：
略．
（3）连线：
略．
y＝（）x
x
y
1
2
3
－1
－2
－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
y＝2x
练习2作函数y＝3x与y＝（）x的图象．
探究3
观察y＝2x，y＝（）x，y＝3x与y＝（）x的图象，找出图象特征．
（1）图象向左右无限延伸；
（2）图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；
（3）图象都经过点（0，1）；
（4）a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；
a＝或a＝时，从左向右看图象逐渐下降．
探究4
（1）“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；
（2）“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为（0，＋∞）；
（3）“图象都经过点（0，1）”揭示了“当x＝0时，ax＝1”；
（4）“a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；
a＝或a＝时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”．
表4-1指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图
象
y＝1
x
y
（0,1）
O
y＝1
x
y
（0,1）
O
定义域
R
值域
（0，＋¥）
定点
（0，1）
单调性
增函数
减函数
x≥0时，y≥1；
x＜0时，0＜y＜1
X≥0时，0＜y≤1；
x＜0时，y＞1
练习3
（1）指数函数y＝ax，当 时，函数是增函数；当 时，函数是减函数．
（2）若函数f（x）＝（a＋1）x是减函数，则a的取值范围是．
例1用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5和1.73；
（2）0.8－0.1和0.8－0.2．
解
（1）考察函数y＝1.7x，
它在实数集上是增函数．
因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．
请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？
（2
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