八年级数学下学期第11章同步学案青岛版.docx

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八年级数学下学期第11章同步学案青岛版

§11.1定义与命题

教师寄语：

有恒心，有毅力，方能成功。

学习目标：

1.理解定义的概念及根本特性，知道定义的叙述方式；

2.理解命题的概念，知道命题的叙述方式及组成；

3.会判断命题的真假。

学习重难点：

重点：

定义及命题的概念、叙述方式及命题的组成

难点：

判断命题的真假

学习过程：

一、情境引入

人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为

此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就要研究：

定义与命题

二、自主探究

探究一：

填空

（1）叫做角；

（2）叫做平行线；

（3）叫做直角三角形。

以上语句有什么共同点？

它们是用来说明什么的？

归纳总结：

（1）、_____________________________叫做定义。

（2）、定义常用的叙述方式：

____________________________。

（3）、定义一方面可以作为使用，另一方面又可以作为的方法，例如。

探究二：

以下语句有

什么共同点？

它们是用来说明什么的？

（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．

（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．

（3）如果a=b，那么a+c=b+c.

归纳总结：

（1）_____________________________叫做命题；

（2）命题的一般叙述形式：

_______________________；

（3）命题组成部分：

________和________；

三、典型示例

例1、说出下列命题的条件和结论：

（1）如果两条直线都垂直与第三条直线，那么这两条直线互相垂直；

（2）平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

（3）全等三角形的对应边相等。

四、合作交流：

1、例1中哪些命题是错误的？

______________叫做真命题；______________叫做假命题。

2、你是如何说明该命题是错误的？

与同伴交流。

_____________________________叫做反例。

注意：

要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。

五、随堂练习

1、指出下列命题的条件和结论：

①如果两直线相交，那么他们只有一个交点；

②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

2、判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。

①两个锐角的和等于直角；

②两条直线被第三条直线所截，内错角相等。

3、课本116页：

练习1、2、3

六、课堂小结

1、我的收获：

2、我不明白的地方：

七、达标检测

1.下列命题是真命题的是（）

A．一个角的补交总是大于这个角B．两直线平行，同位角相等

C．邻补角相等D．相等的角是对顶角

2.下列说法正确的是（）

A．同一平面内的两条直线叫平行线B.平行线在同一平面内

C．不相交的两条直线叫平行线D.过直线外一点只有一条直线与已知直线相交

3.下列命题中，属于定义的是（）

A.两点确定一条直线

B.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度

C.两直线平行，内错角相等D.同角或等角的余角相等

4.下列命题中，是真命题的是（）

A.内错角相等B.同位角相等，两直线平行

C.互补的两角必有一条公共边D.一个角的补角大于这个角

5.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________;命题“直角都相等”的条件是_____________，结论是________________;“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是_____命题，可举出反例：

____.

6.指出下列命题的条件和结论：

①如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC=90;

②两条直线平行，同位角相等.

7.下列命题，哪些是假命题？

如果是假命题，举出一个反例。

①如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

②两个锐角的和是钝角。

八、布置作业

课后习题11.1A组1、3B组

§11.2为什么要证明

教师寄语：

爱好出勤奋,勤奋出天才。

学习目标：

1.能通过观察、实验、归纳和类比，得出结论；

2.能通过证明来判断命题的真假。

学习重难点：

重点：

掌握发现规律、获取一般结论的方法；

难点：

判断命题的真假。

学习过程：

一.情境引入

过去我们利用观察、实验、归纳和类比等方法发现了不少数学命题，你能举出类似的例子吗？

与同学交流

二.探究新知

探究一：

自读课本第117--118页

（1），并完成以下内容：

结论：

由__________得到的结论，不一定正确。

探究二:

自读课本第118页

（2），并完成以下内容：

结论：

只对__________研究后就归纳出的结论，也不一定正确。

练一练：

小亮从2>

3>

4>

……归纳出“任何一个正整数都大于它的倒数”,

小亮的结论正确吗?

探究三:

自读课本第118页（3）,并证明结论:

探究四:

自读课本第118页（4）,并证明结论:

三:

课堂小结

本节课你有什么收获和不足？

四.达标检测

1.观察下列各式:

第一式:

第二式:

第三式:

……

那么第n式为：

（）

A．

+

B．

+

C．

+

D.

+

2.符号“f”表示一种运算，它对一些数运算的结果如下：

（1）f

（1）=0,f

（2）=1,f（3）=2,f（4）=3……

f（

）=2,f（

）=3,f（

）=4,f（

）=5……

利用以上规律计算：

f（

）-f（2008）=______.

3.观察下列各式：

×2

×3

×4

……

（1）猜想

的结果;

（2）利用因式分解的方法验证上述结论.

五、布置作业：

课本第119页:

B组及综合能力训练

§11.3什么是几何证明（第1课时）

教师寄语：

勇于探索，敢于挑战。

学习目标：

1．理解并掌握公理、定理的概念；

2．掌握几何证明过程的步骤。

学习重难点：

重点：

几何证明过程的步骤

难点：

几何证明过程的步骤

学习过程：

一．回顾引入

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

这是平行线的判定定理2，你能证明吗？

二．自主探究

自主学习课本第120页的内容，完成以下内容：

知识点一：

公理

1._____________________________叫做公理。

2.下列基本事实也作为公理：

（1）_______________

（2）____________________________

（3）____________________________

（4）____________________________

3._____________________________叫做证明。

知识点二：

定理

_____________________________叫做定理。

三、合作探究

1、以组为单位，讨论交流如何解决本节回顾引入提出的问题

2、学生代表根据讨论结果完成本节回顾引入提出的问题，并板演做题过程。

规律总结：

知识点三：

几何证明的步骤

（1）____________________________

（2）____________________________

（3）____________________________

四、典例解析

例1求证：

如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

（师生共同完成例1的证明）

总结：

几何证明的步骤有哪些？

五、知识应用，巩固训练

完成课本第122页练习1

六、学习反思

交流本节收获与不足：

七、当堂检测

1.如图1，AB∥CD，则下列结论成立的是（）

A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠B=180°

C.∠B+∠C=180°D.∠B+∠D=180°

图1图2图3图4

2.如图2，∠B=70°，∠DEC=100°，∠EDB=110°，则∠C等于（）

A.70°B.110°C.80°D.100°

3.如图3，若AB∥EF，BC∥DE，则∠B+∠E=________.

4.如图4，直线EF分别交AB、CD于G、H.∠1=120°，∠2=60°，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：

_______________________.

5.证明：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

6.如图所示，AD‖BC,∠B=∠D,AB

求证：

AB‖CD

DC

§11.3什么是几何证明（第2课时）

教师寄语：

努力决定实力，态度决定高度。

学习目标：

1.理解原命题、逆命题、互逆命题的概念；

2.掌握原命题与逆命题的互化；

3.掌握真、假命题的证明方法及步骤。

重难点：

重点：

原命题、逆命题、互逆命题的概念

难点：

真、假命题的证明方法及步骤

学习过程：

一、知识储备

几何证明

的步骤有哪些？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、探究活动

如何证明平行线的判定定理1：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两天直线平行。

（学生交流，说出思路）

三、典例解析

1、例2证明平行线的判定定理1：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两天直线平行。

（一生板书，共同订正）

知识再现：

几何证明的步骤有哪些？

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

2、举一反三：

学生尝试证明“平行线的判定定理2：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”

四、交流与发现

1、分析下面的两个命题，你能发现它们的条件和结论之间有什么关系？

（1）两直线平行，内错角相等。

条件：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

结论：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（2）内错角相等，两直线平行。

条件：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

结论：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

规律小结：

两个命题的＿＿＿和＿＿＿正好互换。

2、阅读课本第123页的最后两段并完成以下内容：

（1）____________________________叫做互逆命题；

（2）____________________________叫做原命题；

（3）____________________________叫做逆命题。

3、牛刀小试

你能说出下列命题的逆命题吗？

它们的逆命题分别是真命题还是假命题？

（1）同角的补角相等；

（2）全等三角形的对应边相等。

五、课堂反思

交流本节课的收获和体会：

六、达标检测

1、下列命题中为假命题的是。

A．内错角不相等，两直线不平行B.一个角的余角一定大于这个角

C．一个钝角的补角必是锐角D.过两点有且只有一条直线

2、把“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是

。

3、命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是______，它是________（真或假）命题.

4、命题“同角的补角相等”是命题，写成“如果……那么……”的形式

如果

那么

5、如图，直线a、b都于直线c相交，下列条件中，能判断a∥b的条件是。

①∠1=∠2②∠3=∠6③∠2=∠8

④∠5+∠8=1800

A．①③B.①②④C.①③④D.②③④

6、说明下列命题的逆命题是假命题：

（1）如果一个整数的各位数字之和是3，那么这个整数能被3整除；

（2）直角都相等。

§11.4三角形的内角和定理（第1课时）

学习目标：

知识与技能：

掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。

情感态度与价值观：

通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。

使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

教学重点：

三角形内角和定理的证明思路及应用。

教学难点：

三角形内角和定理的

证明方法。

学习过程：

1、创设问题，引入新课

阅读课本第113页的情景导航，引入新课：

.三角形三个内角的和是多少度？

二、交流与发现

学生交流探索有哪些方法求三角形的内角和：

（1）用度量的方法可以发现三角形的内角和是______度；

（2）折叠三角形的三个内角拼到一起，拼成一个______角：

如图：

先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，

使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图

（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（3）将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.

（4）由实验可知：

三角形的内角之和正好为一个______角.

但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样

就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？

3、合作探究，共同提高

1、学生回忆证明一个命题的步骤：

2、合作探究，讨论交流：

如何证明三角形三个内角的和是多少度？

学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法：

错误！

未找到引用源。

如图1，延长到点D，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1______∠A。

②如

图1

，延长BC到点D，过C作CE______AB

③如图2，过A作DE______AB

④如图3，在BC边上任取一点P，作PR______AB，PQ______AC。

⑤如图4，在△ABC内部任取一点P，过P点作QR______BC，MN______AB，ST______AC。

错误！

未找到引用源。

如图5，在△ABC外部任取一点P，过P点作QR∥BC，MN∥AB，ST∥AC。

3、选一种方法证明三角形的内角和是180度。

已知：

求证：

证明：

4、结论：

三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于______度。

规律总结：

“抓住根本”，抓住“把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合、两条边形成一条______线，以便利用平角的定义”这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点；可以把三个角集中到三角形的某一边上；可以把三个角集中到三角形的内部的一点；可以把三个角集中到三角形的外部的一点。

学数学要善于抓住不变的根本，又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。

5、结合图1和三角形内角和定理，完成以下问题：

∠ACE=∠______+∠______;∠ACD>∠______,且∠ACD>∠______。

你能说明理由吗？

推论1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个______的和。

推论1三角形的一个外角______于与它不相邻的任意一个______角。

4、课堂演练

1、求证：

直角三角形的两个锐角互余。

2、完成课本第127页练习第2题

5、课堂小结：

交流本节收获与不足

6、达标检测：

1.在⊿ABC中，∠A＋∠B=1200，∠C=∠A，则⊿ABC是（  ）

A.钝角三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形

2.下列叙述中正确的是（  ）

A.三角形的外角等于两个内角的和          B.三角形的外角大于内角

C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形每一个内角都只有一个外角。

3、求证：

有两角互余的三角形是直角三角形。

§11.4三角形的内角和定理（第2课时）

学习目标：

1．三角形内角和定理和推论的应用。

2．经历探索三角形外角和的推理的过程，进一步培养学生的推理能力。

3．通过探索三角形外角和的推理的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路，从而使他们灵活应用所学知识。

教学重点：

三角形内角和定理及推论的应用，三角形的外角和

教学难点：

三角形内角和定理及推论的应用

学习过程：

一、知识回顾

1、三角形内角和定理的内容是什么？

2、三角形内角和定理的推论的内容是什么？

3、几何的证明步骤有哪些？

二、合作探究，典例解析

典例1已知：

如课本第127页图11-6，在直角△ABC中,∠ACB=90度，CD⊥AB.

求证：

∠1=∠B

三、交流与发现

1、合作探究：

三角形的外角和等于多少度？

探究结论：

三角形的外角和是＿＿＿＿＿＿度。

2、如何证明上述结论？

典例2求证：

三角形的外角和等于360度。

四、知识巩固：

完成课本第128页练习1、2题

五、小结反思：

交流本节收获与不足

六、当堂检测

1、.以下命题中正确的是（      ）

A.三角形的三个内角与三个外角的和为540°B.三角形的外角大于它的内角

C.三角形的外角都比锐角大D.三角形中的内角中没有小于60°的

2.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（     ）

  A.直角三角形   B.锐角三角形   C.钝角三角形   D.等边三角形

3.下列说法正确的有（     ）A.1个     B.2个     C.3个      D.4个

  ①三角形的外角大于它的内角；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③三角形的外角中至少有两个钝角；④三角形的外角都是钝角.

4.三角形的三个外角之比为2∶2∶3，则此三角形为（     ）

  A.锐角三角形  B.钝角三角形  C.直角三角形  D.等边三角形

5.如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（     ）

A.锐角三角形  B.钝角三角形  C.直角三角形  D.等边三角形

§11.5几何证明举例（第1课时）

教师寄语：

“人的天职在于勇于探索真理”--------哥白尼

学习目标：

1、根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等。

2、在证明过程中，体验数学的转化思想。

重难点：

根据问题归纳出“已知”与“求证”

学习过程：

一、复习引入

你还记得有关全等三角形的几个判定定理吗？

全等三角形的性质是什么？

与同学交流。

二、探究证明

根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关的线段或角相等，从而再次证明其他三角形全等。

例1.已知：

如图，AB和CD相交于点O，OA=OD,OC=OB

求证：

ΔOAC≌ΔODB

例2.求证：

如果一个三角形的两角及其一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（试着找出“已知”与“求证”，作出图形并加以证明）

已知：

求证：

证明：

三、巩固练习已知：

如图，AB=AD,BC=DC.

求证：

∠D=∠B

四、课堂小结

总结判定两个三角形全等的方法

五、当堂达标检测

1、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定

2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充

下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　）

A．AD＝AE　　B.∠AEB＝∠ADC　C.BE＝CD　　D.AB＝AC

3、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（）

A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不对

4、如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，∠CDE=80°,那么∠ABC为（）

A.80°B.60°C.40°D.20°

5、下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（）

A.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′B.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′

C.AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′D.AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′

6、已知：

如图，点E、F在BC上，BF=CE,∠AEB=∠DFC,∠B=∠C

求证：

ΔABE≌ΔDCF

7、求证：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

§11.5几何证明举例（第2课时）

教师寄语：

有志不在年高，无志空活百岁。

学习目标：

1、根据三角形全等推导“HL”定理；2、熟练应用“斜边、直角边”定理。

重难点：

“斜边、直角边”定理

一、交流与发现.与同学交流并回答下面的问题：

1、一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

画图并证明。

2、一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

为什么？

（试着写出“已知”“求证”，并证明。

）

已知：

求证：

证明：

二、探究新知.

根究以上的证明，试着用自己的语言表达一下“HL”定理：

三、练习.求证：

到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

已知：

求证：

四、课堂小结

五、当堂达标检测

1、已知⊿ABC中，∠A=

，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=

2、如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC,BD是角平分线，DE⊥BC,点E是垂足，如果BC=10cm，那么ΔDEC的周长是cm.

3、已知：

如图，BD、CE是ΔABC的高，且BD=CE.求证：

∠BCE=∠CBD

4、如图，在△ABC中，AC=BC，∠

C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）若CD=5，求AC的长。

（2）求证：

AB=AC+CD

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：

AD是∠BAC的角平分线。

六、拓展延伸.如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD，AB=AC，

求证：

EB=FC。

§11.5几何证明举例（第3课时）

教师寄语：

一份耕耘必有一份收获.你付出了努力,你就一定能有所收获,老师相信你

学习目标：

1、根据三角形全等推导等腰三角形的性质。

2、掌握等腰

三角形的性质定理。

学习重难点：

等腰三角形的性质定理

一、学习过程：

（一）、交流与发现

（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？

怎样证明。

（2）说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题？

（3）这个逆命题是真命题吗？

怎样证明它的正确性？

[练习]求证：

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形

已知：

求证：

（二）、探究新知

在右图等腰△ABC中，AB=AC.∠1与∠2有什么关系？

BD与CD有什么关系？

你能得出什么结论？

试着总结一下。

等腰三角形性质定理：

[练习]1、求证：

等边三角形的每个内角都等于600

已知：

求证：

2、已知：

如图，点D,E在BC上，AB=AC,AD=AE,求证：

BD=CE

二、课堂小结你本节课的收获是什么？

还有什么疑惑吗？

三、当堂达标检