小学数学中工程问题地公式地应用.docx

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小学数学中工程问题地公式地应用

小学数学中工程问题的公式应用

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

工作量=工作效率×时间.

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

举一个简单例子.

一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，甲、乙的工作效率就分别是1/10、1/15，再根据基本数量关系式，得到

所需时间=工作量÷工作效率=1÷[（1/10）＋（1/15）]=6（天）•

两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题。

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），还可以把工作量多设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是：

30÷（3+2）=6（天）

另外，因为“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是（1/10）：

（1/15）=15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就马上明确甲乙所需需时间比是2：

3.

因此，我们在解工程问题时，既可以用“把工作量设为整体1”的做法，也可以采用“整数化”或“从比例角度出发”的做法，从而使我们的解题思路更灵活一些.

《一》、两个人的问题

标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

解一，用“把工作量设为整体1”的作法：

{1-[（1/9）×3]}÷（1/6）=4（天）

答：

乙需要做4天可完成全部工作.

解二：

9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

（18-2×3）÷3=4（天）.

解三：

甲与乙的工作效率之比是

（1/9）：

（1/6）=6∶9=2∶3.

甲做了3天，相当于乙做了2天.已知乙单独完成全部工作需要6天。

那么，乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

例2，一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解：

共同做了6天后，

余下的工程，本来应该是甲做24天，乙做24天的工作量，

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

这说明，乙除了用24天做完了自己本来能够完成的24天的工作量，还用16天做完了原来甲24天能够做的工作量。

因此甲的工作效率与乙的工作效率的比是（1/24）：

（1/16）=2：

3，

因为甲乙工作效率的和是1/30，所以

甲的工作效率是，（1/30）÷（2+3）×2=1/75

乙的工作效率是，（1/30）÷（2+3）×3=1/50

如果甲独做，所需时间是，1÷1/75=75（天）

如果乙独做，所需时间是，1÷1/50=50（天）

答：

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

例3，某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

解一：

先对比如下：

独做，甲先独做63天，再由乙独做28天；

合作，甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出结论，甲的少做的15天的工作量等于乙多做的的20天的工作量，就是说在同样工作量的前提下，甲、乙独做需要的工作天数比是，15：

20=3：

4，

现在甲先单独做42天，比48天少做了48-42=6（天），这样甲少做的6天的工作量，就要由乙在做完自己48天的工作量的基础上，多做相当于甲6天的工作量。

在都做相当于甲6天的工作量的时候，甲所用的6天和乙所用的天数的比与3：

4成正比。

就是：

3：

4=甲在48天之内少做的天数6：

乙在48天之外要多做的天数，

乙在48天之外还要做的天数就是，4×6÷3=8

因此，乙还要做48+8=56（天）.

答：

乙还需要做56天.

解二，先对比如下：

独做，甲先做63天，乙后做28天；

合做，甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出结论，甲的15天的工作量等于乙的20天的工作量，

由此得出，甲的工作效率是乙的工作效率的倍数：

（1/15）÷（1/20）=4/3倍，

因为如果由甲、乙两人合作，需48天完成.所以甲、乙工作效率的和是1/48，

根据和倍问题的解题法则可求出，

乙的工作效率=（1/48）÷[（4/3）+1]=1/112

甲的工作效率=（1/112）×（4/3）=1/84

现在甲先单独做42天，那么甲在42天中的工作量就是：

（1/84）×42=1/2

乙要单独完成的工作量就是：

1-（1/2）=1/2

乙需要做的时间就是：

（1/2）÷（1/112）=56（天）

答：

乙还需要做56天.

例4，一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

解一：

因为已知，“其间甲队休息了2天，乙队休息了8天”，所以甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量：

（1/10）×8+（1/30）×2=13/15

余下的工作量是，

1-（13/15）=2/15

由两队共同合作的需要的天数是，

（2/15）÷[（1/10）+（1/30）]=1

从开始到完工共需要的天数是，

2+8+1=11（天）.

答：

从开始到完工共用了11天.

解二：

设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）,8+2+1=11

（解法二最简单）

解三：

甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）的工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

乙队独做4天的工作量，正好是甲乙两队合做一天的工作量，其中乙队3天的工作量可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

8+2+1=11（天）

（解法三也很简单）

例5，一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

[（1/20）+（1/30）]×16=1+（1/3）

因为这[1+（1/3）]的工作量是在假设16天两队都不休息的情况下发生的，实际是不可能的。

因为一个工程的全部工作量就是“1”，为什么会多出了（1/3），实际上这（1/3）是两队休息期间未做的工作量。

两队休息期间未做的工作量是

[1+（1/3）]-1=1/3

这（1/3）中首先包括甲队休息了3天的工作量，（1/20）×3=3/20

乙队休息期间未做的工作量是（1/3）-（3/20）=11/60

乙队休息的天数就是：

（11/60）÷（1/30））=5.5（天）

答：

乙队休息了5天半.

解二：

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16-60=20（份）.

因此乙休息天数是

（20-3×3）÷2=5.5（天）.

【解二的解法很简捷，很便利，也很好理解，这种解法是很有意思的。

】

解三：

甲队做2天，相当于乙队做3天.

甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

假设：

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量；

假设：

如果乙队也16天不休息的话，那么，甲队余下的4天相当于乙队6天的工作量，肯定要有乙队去完成；

另外甲队休息的3天相当于乙队4.5天的工作量，也一定要由乙队去完成。

所以乙休息天数是：

16-6-4.5=5.5（天）.

例6，有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解一：

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：

这两项工作都完成最少需要12天.

解二：

[1-（1/15）×8]÷[（1/15）+（1/20）]=48+4=12

例7，一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。

现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。

若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？

解一，分析：

从已知条件可知，

如果甲单独做，可比规定时间提前2天完成；

如果乙单独做，则要超过规定时间3天完成；

甲比乙所需天数少5天。

又因为甲乙合作2天后，乙单独接着干并在规定日期内完成，所以合作期间甲干的2天的工作量就等于乙3天的工作量。

所以甲的工作效率就是乙的3/2倍.

因为工作效率和工作时间成反比，所以，完成同样的工作量，乙所需要的的工作时间就是甲的3/2倍。

根据差倍问题解题规律可知，甲单独干需要的天数就是：

5÷[（3/2）—1]=10

乙单独干需要的天数就是：

10+5=15

甲乙合作需要的天数就是：

1÷[（1/10）+（1/15）]=6（天）

答：

甲乙合作完成工作需要6天。

《二》，多个人的问题

例8，一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解一：

设这件工作的工作量是1.

甲乙两人的工作效率的和（1/36），乙丙两人的工作效率的和是（1/45），甲丙两人的工作效率的和是（1/60），

甲、乙、丙三人合作每天可完成：

[（1/36）+（1/45）+（1/60）]÷2=1/30

甲、乙、丙三人的工作效率的合减去乙、丙两人的工作效率的和，就等于甲的工作效率：

（1/30）-（1/45）=1/90

甲一人独做需要的天数就是：

1÷（1/90）=90（天）

答：

甲一人独做需要90天完成.

解二，例7也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份。

那么，甲一人独做需要的天数就是：

180÷{[（5+4+3）÷2]-4}=90（天）

例9，一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解一：

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

按照这样的轮做天数的比例，甲每做一天，甲乙丙共做10天，

因为丙做的最慢才是24天，那么三人轮做需要的天数一定会少于24天，

说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），

三人一共做了，2+6+12=20（天）.

答：

总共用了20天.

解二，本题整数化会带来计算上的方便.

12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.

设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.

按照甲1天、乙3天、丙6天的比例求出三人共10天的工作量是，（6×1）+（4×3）+（3×6）=36

总共用了72÷36×10=20（天）

答：

总共用了20天

解三：

1÷[1×（1/12）+3×（1/18）+6×（1/24）]×（1+3+6）=20

例10，一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

解一：

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是说甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

那么，甲、乙、丙三人工作效率之比就是3∶1∶2，

甲、乙、丙三人工作效率的和是1/13，那么甲的工作效率就是，

[（1/13）÷（3+1+2）]×3=1/26

他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

1÷（1/26）=26（天）

答：

甲独做需要26天

解二，丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是说甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

那么，甲、乙、丙三人工作效率之比就是3∶1∶2，

那么，甲做1天，相当于乙、丙合作1天.

他们3人合作13天完成的工程，甲自己用13天的时间完成了其中的一半，如果要甲一个人完成全部工程的话，那就要甲再干13天，就行了。

）

13×2=26（天）答：

甲独做需要26天

例11，某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

解一：

设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成1÷（3×8）=1/24

乙组每人每天能完成1÷（4×7）=1/28

甲组2人和乙组7人每天能完成

[（1/24）×2]+[（1/28）×7]=（1/12）+（1/4）=4/12=1/3

1÷（1/3）=3（天）

答：

合作3天能完成这项工作.

解二：

甲组3人8天能完成，因此2人12天也能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天也能完成.

现在已不需顾及人数，问题转化为：

甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

这时甲组的工作效率是1/12，乙组的工作效率是1/4，

1÷[（1/12）+（1/4）]=3（天）答：

合作3天能完成这项工作.

例12，制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：

仍设总工作量为1.

甲车间工作效率是1/10；

乙车间的工作效率是（1/6）-（1/10）=1/15；

丙车间的工作效率是（1/8）-（1/15）=7/120

那么，甲每天比乙多完成，或者说甲、乙的工作效率之差是

（1/10）-（1/15）=1/30，

因为上述的1/10、1/15、1/30分别也是工作总量1/10、1/15、1/30，并且已知甲比乙多完成了2400个，那么，2400个就是工作总量的1/30，

根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法的原则，因此这批零件的总数是，2400÷（1/30）=72000

丙车间制作的零件数目是，72000×（7/120）=4200（个）

答：

丙车间制作了4200个零件.

解二：

10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），

乙、丙工作效率之比就是，16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

综合起来，甲、乙、丙三人工作效率之比是，12∶8∶7.

当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12-8）×7=4200（个）.

答：

丙车间制作了4200个零件.

例13，搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解一：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

2÷[（1/10）+（1/12）+（1/15）]=2÷（1/4）=8

甲在A仓库8小时的工作量是，（1/10）×8=4/5

甲需要丙帮忙的工作量是，1-（4/5）=1/5

丙需要帮甲搬运的时间是，（1/5）÷（1/15）=3（小时）

乙在B仓库8小时的工作量是，（1/12）×8=2/3

乙需要丙帮忙的工作量是，1-（2/3）=1/3

丙需要帮乙搬运的时间是，（1/3）÷（1/15）=5（小时）

答：

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解二，解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库的全部工作量为60（10、12、15的最小公倍数）.那么，甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.

三人共同搬完，需要

60×2÷（6+5+4）=8（小时）.

甲需丙帮助搬运

（60-6×8）÷4=3（小时）.

乙需丙帮助搬运

（60-5×8）÷4=5（小时）.

《三》、水管问题。

从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

例14，甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

解，已知甲管注水9分钟，乙管注水9分钟，水池注满，

现在甲管注水13分钟，乙管注水3分钟，水池注满

甲管多注了4分钟，乙管少注了6分钟，

这说明：

甲管4分钟的注水量=乙管6分钟的注水量，

因为甲管每分钟比乙管多注0.6立方米，那么，

甲管4分钟的注水量=乙管4分钟的注水量+4×0.6（立方米），

即：

乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管6分钟的注水量

也就是：

乙管4分钟的注水量+2.4立方米=乙管4分钟的注水量+乙管2分钟的注水量，

由此得出：

2.4立方米=乙管2分钟的注水量，

乙管每分钟注入水量就是：

2.4÷2=1.2（立方米）

甲管每分钟注水量是：

1.2+0.6=1.8（立方米）

水池的容积就是（1.2+1.8.）×9=27（立方米）

答：

水池的容积是27（立方米），

例15，有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？

分析：

增开水管后，水管的根数是原来的2倍，

注水时间是原来的2倍即[1-（1/3）]÷（1/3）=2（倍）

因为时间和水管都增加了1倍，所以，增开水管后（即预定时间的后2/3时间段）的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。

 前后两段时间的注水量之比为，1：

4，

那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量就是全部注水量的1/5，即：

1/（1+4）=1/5。

如果开始时，10根水管同时打开，能按预定时间注满水，所以，在预定时间段，每根水管的注水量是1/10，（设水池容量是1），

预定的1/3时间内，每根水管的注水量是（1/10）×（1/3）=1/30

那么，要在预定的1/3时间段注满水池的1/5，需要水管，

（1/5）÷（1/30）=6（根）

 解：

设水池的容量为1，

前1/3的时间内1倍的水管和后2/3的时间内2倍的水管的注水量之比为，

[（1/3）×1]：

{[1-（1/3）]×2}=1：

4 

 前1/3的时间段的注水量是：

1÷（1+4）=1/5 

因为已知在预定时间段，每根水管的注水量是1/10，所以

 每根水管在预定1/3的时间注水量为：

（1/10）×（1/3）=1/30

 所以，开始时打开水管根数是：

（1/5）÷（1/30）=6（根）

 答：

开始时打开6根水管。

例16，一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

解一：

先计算1个水龙头每分钟放出水量.

蓄水池，每分钟流入4立方米水；

5个水龙头，2小时半就把水池水放空；

8个水龙头，1小时半就把水池水放空；

2小时半比1小时半多60分钟，60分钟多流入水是

4×60=240（立方米）.

时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是

240÷（5×150-8×90）=8（立方米），

8个水龙头1个半小时放出的水量是

8×8×90，

其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水

8×8×90-4×90=5400（立方米）.

打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去要放出每分钟流入的4，其余将放出原存的水，放空原存的5400（立方米），需要

5400÷（8×13-4）=54（分钟）.

答：

打开13个龙头，放空水池要54分钟.

注意：

水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

解二，本题用列方程解可能更容易理解。

设1根水管每分钟放出水X立方米，那么，

5根水管150分钟放水为，5X×150=750X（立方米），

8根水管90分钟放水为，8X×90=720X（立方米），

依题意得方程为，

5X×150－8X×90=240，

解方程，750X－720X=240X=8

因此，5根水管150分钟放水为，5×8×150=6000

其中，150分钟内流入水量是4×150=600

所以，原来水池中存有水是，6000-600=5400

打开13个龙头每分钟可放出水8×13，除去每分钟流入的4，，其余将放出愿存的水，将水池放空需要的时间是，

5400÷（8×13-4）=54（分钟）

例17，一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？

解：

设满水池的水量为1.

A管每小时排出

（1/8）+（1小时渗水量）

A管4小时能排出

[（1/8）+（1小时渗水量）]×4=（1/2）+（4小时渗水量）

因为A、B两管4小时可以