最新高等数学上册第六版课后习题图文详细答案第六章优秀名师资料.docx
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高等数学上册第六版课后习题图文详细答案第六章
高等数学上册第六版课后习题详细答案第六章
习题6,2
1,求图6,21中各画斜线部分的面积:
（1）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0～1],所求的面积为
31211122（）[]A,x,xdx,x,x,.0,0326
（2）
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0～1],所求的面积为
11xxA,（e,e）dx,（ex,e）|,1～0,0
解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1～e],所求的面积为
eeeA,lnydy,ylny|,dy,e,（e,1）,1,1,,11
1
（3）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,3～1],所求的面积为
1322[（3）2]A,,x,xdx,,,,33
（4）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,1～3],所求的面积为
31323223（23）（3）|A,x，,xdx,x，x,x,,,1,,133
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积:
2
1222与x，y,8（两部分都要计算）,
（1）y,x2
解:
222218222222（8）2828A,,x,xdx,,xdx,xdx,,xdx,1,,,,000023
842416cos2,tdt,,,，,,033
42（22）6A,,,S,,,,213
1
（2）与直线y,x及x,2,y,x
解:
所求的面积为
213A,（x,）dx,,ln2,,1x2
xx（3）y,e～y,e,与直线x,1,
解:
3
所求的面积为
11x,x,A,（e,e）dx,e，,2,0e
（4）y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb（b>a>0）.
解
所求的面积为
lnblnbyyA,edy,e,b,a,lnalna
23,求抛物线y,,x，4x,3及其在点（0～,3）和（3～0）处的切线所围成的图形的面积,
解:
y,,,2x，4,
过点（0,,3）处的切线的斜率为4～切线方程为y,4（x,3）,
过点（3,0）处的切线的斜率为,2～切线方程为y,,2x，6,
3两切线的交点为（,3）～所求的面积为2
339222[43（43）][26（43],A,x,,,x，x,，,x，,,x，x,dx,3,,042
4
p24,求抛物线y=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积,（,p）2
解
2y,y,,2p,
pp,p,,1y在点（,p）处～～法线的斜率k,,1～（,p）y22
p3py,p,,（x,）x,,y法线的方程为～即,22
p9（,p）求得法线与抛物线的两个交点为和（p,,3p）,22法线与抛物线所围成的图形的面积为
2p3py3p1116p232A（y）dy（yyy）p,,,,,,,,,,3p,3p22p226p3
5,求由下列各曲线所围成的图形的面积,
（1）,,2acos,,
解:
所求的面积为
,1222222A,（2acos,）d,,4acos,d,,,a,,,,0,22
5
33
（2）x,acost,y,asint;
解
所求的面积为
0a332242A,4ydx,4（asint）d（acost）,4a3costsintdt,,,,002
,324622212a[sintdtsintdt]a,,,,,,,008
（3）,=2a（2+cos,）
解
所求的面积为
22,,12222A,[2a（2，cos,）]d,,2a（4，4cos,，cos,）d,,18,a,,,002
6
6,求由摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）的一拱（0,t,2,）与横轴所围成的图形的面积,
解:
所求的面积为
2a,2a2a22A,ydx,a（1,cost）a（1,cost）dt,a（1,cost）dt,,,000
2a1，cost22,,a（1,2cost，）dt,3a,,02
7,求对数螺线,,ae（,,,,,,）及射线,,,所围成的图形面积,
解
所求的面积为
2,,11a,222,2,,2,A,（ae）d,,aed,,（e,e）,,,,,,,224
8,求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积,
（1）,,3cos,及,,1，cos,
解
7
3,,3,3cos与,1，cos交点的极坐标为～,由对称性～所求的面积为曲线,,,,A（,）B（,,）2323
,11522322[（1cos）（3cos）]A,，,d,，,d,,,,,,,02243
2,,cos2,
（2）及,,,2sin,
解
2,2,,cos2,（,）曲线与的交点M的极坐标为M,所求的面积为,,2sin,26
,1113,,2642[（2sin）cos2],Add,，,，,,,,,,,022626
x9,求位于曲线y=e下方～该曲线过原点的切线的左方以及x轴上
方之间的图形的面积,
x解设直线y,kx与曲线y,e相切于A（x～y）点～则有00
y,kx,00,x0y,e～,0x0,,y（x）,e,k0,
求得x,1～y,e～k,e,00
8
所求面积为
eeeee1112,,,，,,（ylny）dyyylnyydy,,,000022eey
210,求由抛物线y,4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值,
解设弦的倾角为,,由图可以看出～抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
A,A，A01
,,,显然当时～A,0,当时～A,0,,,1122
因此～抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
aa8832A22axdxaxa,,,,0,0033
211,把抛物线y,4ax及直线x,x（x,0）所围成的图形绕x轴旋转～计算00
所得旋转体的体积,
解所得旋转体的体积为
xxx000222,V,,ydx,,4axdx,2a,x,2a,x0,,000
312,由y,x～x,2～y,0所围成的图形～分别绕x轴及y9
轴旋转～计算所得两个旋转体的体积,
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
2221128267V,,ydx,,xdx,,x,,,x,,00077
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
288223V,2,,8,xdy,32,ydy,,,,y,,00
83645332,,,,y,,,055
2/32/32/3x，y,a13,把星形线所围成的图形～绕x轴旋转～计算所得旋转体
的体积,
解由对称性～所求旋转体的体积为
22aa2333V,2ydx,2（a,x）dx,,,,00
4224a3222333332（a3ax3axx）dxa,,,，,,,,,0105
H2,（）14,用积分方法证明图中球缺的体积为V,HR,,3
RR222证明V,,x（y）dy,,（R,y）dy,,,,RHRH
R1H232,,（,）,,（,）RyyHR,,RH3310
15,求下列已知曲线所围成的图形～按指定的轴旋转所产生的旋
转体的体积:
22y,x～x,y～绕y轴,
（1）
1111132225（）（）V,,ydy,,ydy,,y,y,,解,,,0002510
xy,ach
（2）～x,0～x,a～y,0～绕x轴,a
aa1xau令,x22232V,y（x）dx,achdx,achudu解,,,,,000a
3311aa11,,u,uu,u2222,（e，2，e）du,（e，2u,e）,004422
3a,,（2，sh2）,4
22x，（y,5）,16（3）～绕x轴,
442222解V,,（5，16,x）dx,,（5,16,x）dx,,,,44
422,,4016,xdx,160,,0
（4）摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）的一拱～y,0～绕直线y,2a,
2a,2a,22解V,,（2a）dx,,（2a,y）dx,,00
11
2,322,8a,,,[2a,a（1,cost）]da（t,sint）,0
2,323232,,8a,,a,（1，cost）sintdt,7a,,0
22216,求圆盘x，y,a绕x,,b（b>a>0）旋转所成旋转体的体积,
aa222222解V,,（b，a,y）dy,,（b,a,y）dy,,,,aa
a2222,,8b,a,ydy,2ab,,0
17,设有一截锥体～其高为h～上、下底均为椭圆～椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B～求这截锥体的体积,
解建立坐标系如图,过y轴上y点作垂直于y轴的平面～则平面与截锥体的截面为椭圆～易得其长短半轴分别为
A,aB,bA,yB,y～,hh
A,aB,b（A,y）,（B,y）,截面的面积为,hh
于是截锥体的体积为
hA,aB,b1V,（A,y）,（B,y）,dy,,h[2（ab，AB），aB，bA],,0hh6
18,计算底面是半径为R的圆～而垂直于底面上一条固定直径的
所有截面都是等边三角形的立体体积,12
解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A（x）～
2由已知条件知～它是边长为的等边三角形R,x
的面积～其值为
22A（x）,3（R,x）～
R43223V3（Rx）dxR,,,所以,,,R3
19,证明由平面图形0,a,x,b～0,y,f（x）绕y轴旋转所成的旋转体
的体积为
b
V,2,xf（x）dx,a
证明如图～在x处取一宽为dx的小曲边梯形～小曲边梯形绕y轴
旋转所得的旋转体的体积近似为2,x,f（x）dx～这就是体积元素～即
dV,2,x,f（x）dx～
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
bb
V,2,xf（x）dx,2,xf（x）dx,,aa
20,利用题19和结论～计算曲线y,sinx（0,x,,）和x轴所围成的图
形绕y轴旋转所得旋转体的体积,
,,2解,V,,2xsinxdx,,2,xdcosx,2,（,xcosx，sinx）,2,,,000
21,计算曲线y,lnx上相应于的一段弧的长度,3,x,813
288811，x22,解～s,1，y（x）dx,1，（）dx,dx,,,333xx
22～即～则令1，x,tx,t,1
23333ttt113s,,dt,dt,dt，dt,，1ln,22,,,,2222221122t,t,t,1t,1
x22,计算曲线y,（3,x）上相应于3
1,x,3的一段弧的长度,
111,y,,x解y,x,xx～～232x
1111122,,，y,x，1（）y,,，x～～24x24x
所求弧长为
3311124（）
（2）23s,x，dx,xx，x,,,,112233x
2x232y,（x,1）y,23,计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧33的长度,
2,23y,（x,1）,663（2,）（2,,）解由得两曲线的交点的坐标为～,,x332y,,3,
22,所求弧长为,s,21，ydx,1
因为
14
442x（x,1）（x,1）（,1）322,,,～～,2yy,2（x,1）y,,,（x,1）y,22y2y3（x,1）3所以
32232852,s,21，（x,1）dx,3x,1d（3x,1）,[（）,1],,1129232
224,计算抛物线y,2px从顶点到这曲线上的一点M（x～y）的弧长,
yyyy12222,解s,，xydy,，dy,p，ydy1（）1（）,,,000pp
2yyp12222,[p，y，ln（y，p，y）]0p22
22ypy，，yp22py,,，，lnpp22
33y,asint25,计算星形线～的全长,x,acost
解用参数方程的弧长公式,
222,,s,4x（t），y（t）dt,0
22222,4[3acost,（,sint）]，[3asint,cost]dt,0
2,12sintcostdt,6a,,0
26,将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直～使细线与圆周始终相
切～细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线～它的方程为15
～,x,a（cost，tsint）y,a（sint,tcost）计算这曲线上相应于t从0变到,的一段弧的长度,
解由参数方程弧长公式
,2222,,s,[x（t）]，[y（t）]dt,（atcost），（atsint）dt,,00
a2,,atdt,,,02
27,在摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）上求分摆线第一拱成1:
3的点
的坐标,
解设t从0变化到t时摆线第一拱上对应的弧长为s（t）～则00
tt002222,,s（t）,[x（t）]，[y（t）]dt,[a（1,cost）]，[asint]dt0,,00
t0tt0,2sin,4（1,cos）adta,,022
当t,2,时～得第一拱弧长s（2,）,8a,为求分摆线第一拱为1:
3的0
点为A（x～y）～令
t04a（1,cos）,2a～2
2,t,解得～因而分点的坐标为:
03
2223,,,x,a（,sin）,（,）a横坐标～333216
23,纵坐标～y,a（1,cos）,a32
233,故所求分点的坐标为（（,）a,a）,322
a,28,求对数螺线,,e相应于自,0到,的一段弧长,,,,
解用极坐标的弧长公式,
,2222aa,,,s,,,（），,,（）d,,（e），（ae）d,,,00
2,1，a2,aa,,1，aed,,（e,1）,,0a
3429,求曲线,,,1相应于自,至,的一段弧长,,,43
解按极坐标公式可得所求的弧长
4411332222,s,,,（），,（,）d,,（），（,）d,332,,,,44
415332,1ln,，,d,,，32,122,4
30,求心形线,,a（1，cos,，的全长,
解用极坐标的弧长公式,
,22222,s,2,,（），,,（）d,,2a（1，cos,），（,asin,）d,,,00
,,4acosd,,8a,,02
习题6,3
1,由实验知道～弹簧在拉伸过程中～需要的力F（单位:
N）与伸长
17
量s（单位:
cm）成正比～即F,ks（k为比例常数）,如果把弹簧由原长拉伸6cm～计算所作的功,
解将弹簧一端固定于A～另一端在自由长度时的点O为坐标原点～建立坐标系,功元素为dW,ksds～所求功为
6612W,ksds,ks,18k（牛,厘米）,,002
22,直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽,设温度保持不变～要使蒸汽体积缩小一半～问需要作多少功,
解由玻,马定律知:
2PV,k,10,（,10,80）,80000,,
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变～高度减小x厘米时压强为
2P（x）牛/厘米～则
8002P（x）,P（x）,[（,10）（80,x）],80000,～,80,,
2dW,（,,10）P（x）dx功元素为～
所求功为
404080012W,,（,10）,dx,80000,dx,800,ln2（J）,,,0080,80,,,
3,
（1）证明:
把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
mgRhW,～R，h
18
其中g是地面上的重力加速度～R是地球的半径,
（2）一颗人造地球卫星的质量为173kg～在高于地面630km处进入轨道,问把这颗卫星从地面送到630的高空处～克服地球引力要作多
2少功,已知g,9,8m/s～地球半径R,6370km,
证明
（1）取地球中心为坐标原点～把质量为m的物体升高的功元素为
kMmdW,dy～2y
所求的功为
R，hkMmmMhW,dy,k,,2,RyR（R，h）
243173，5.98，10，630，10,115W,6.67，10,,9.75，10
（2）（kJ）,336370，10（6370，630），10
34,一物体按规律作直线运动～媒质的阻力与速度的平方成x,ct
正比,计算物体由x,0移至x,a时～克服媒质阻力所作的功,
3解因为～所以x,ct
2x22243,v,x（t）,3cxf,,kv,,9kctt,（）～阻力,而～所以c
424x2333f（x）,,9kc（）,,9kcx,c
功元素dW,,f（x）dx～所求之功为
19
242427aaa27333333W[f（x）]dx9kcxdx9kcxdxkca,,,,,,,,,0007
5,用铁锤将一铁钉击入木板～设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比～在击第一次时～将铁钉击入木板1cm,如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等～问锤击第二次时～铁钉又击入多少,
解设锤击第二次时铁钉又击入hcm～因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x（cm）成正比～即f,kx～功元素dW,fdx,kxdx～击第一次作功为
11W,kxdx,k～1,02
击第二次作功为
1，h12W,kxdx,k（h，2h）,2,12
因为～所以有W,W12
112k,k（h，2h）～22
解得（cm）,h,2,1
6,设一锥形贮水池～深15m～口径20m～盛满水～今以唧筒将水吸尽～问要作多少功,
2r,10,x解在水深x处～水平截面半径为～功元素为3
20
222～dW,x,,rdx,,x（10,x）dx3
所求功为
1522W,,x（10,x）dx,03
15423,,（100x,40x，x）dx,09
1875（吨米）,57785.7（kJ）,
7,有一闸门～它的形状和尺寸如图～水面超过门顶2m,求闸门上
所受的水压力,
解建立x轴～方向向下～原点在水面,
水压力元素为
dP,1,x,2dx,2xdx～
闸门上所受的水压力为
552（吨）=205,8（kN）,P,2xdx,x,21,22
8,洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体～尺寸如图所示,当水
箱装满水时～计算水箱的一个端面所受的压力,
解建立坐标系如图～则椭圆的方程为21
32（x,）2y4,，,12312（）4
压力元素为
83322dP,1,x,2y（x）dx,x,（）,（x,）dx～344所求压力为
3,83383332222P,x,（）,（x,）dx,（1，sint）,cost,costdx,,,,034434442
9922,tdx,,cos（吨）,17.3（kN）,,0416
33x,,sint（提示:
积分中所作的变换为）44
9,有一等腰梯形闸门～它的两条底边各长10m和6m～高为20m,
较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
解建立坐标系如图,直线AB的方程为
1y,5,x～10
压力元素为
1dP,1,x,2y（x）dx,x,（10,x）dx～5
所求压力为
201P,x,（10,x）dx,1467（吨）,14388（千牛）,,05
22
10,一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片～铅直地沉没在水中～顶在上～底在下且与水面平行～而顶离水面3cm～试求它每面所受的压力,
解建立坐标系如图,
2腰AC的方程为～压力元素为y,x3
24dP,（x，3）,2,x,dx,x（x，3）dx～33
所求压力为
66441332P,x（x，3）dx,（x，x）,168（克）,,,,,（牛）,,003332
11,设有一长度为l、线密度为,的均匀细直棒～在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M～试求这细棒对质点M的引力,
解建立坐标系如图,在细直棒上取一小段dy～引力元素为
mdyGm,,～,,,dFGdy2222，，ayay
dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为
yadF,dFdF,,dF～,yxrr
23
llGmGml,,a1F,（,,）dy,,aGmdy,,～,x22,,22222200ra，y（a，y）a，yaa，l
ll,yGm111F,,dy,Gmdy,Gm,,,,（）y22,,22222200ra，yaa，ya，ya，l（）
12,设有一半径为R、中心角为,的圆弧形细棒～其线密度为常数,,在圆心处有一质量为m的质点F,试求这细棒对质点M的引力,
解根据对称性～F,0,y
G,m,dsdF,,cos,x2R
,,Gm（Rd）Gm,,cos,,cos,d,～2RR
,Gm2F,cos,d,x,,,R2
2Gm2Gm,,,2,cosd,sin,,,,0RR2
2Gm,,sin引力的大小为～方向自M点起指向圆弧中点,R2
总习题六
1（x）,,1,一金属棒长3m～离棒左端xm处的线密度为
x，1（kg/m）,问x为何值时～[0～x]一段的质量为全棒质量的一半?
24
x3111dt,dt解x应满足,,,002t，1t，1
x31111x3dt,[2t，1],2x，1,2dt,[2t，1],1～～因为00,,0022t，1t，1
所以～2x，1,2,1
5x,（m）,4
2,求由曲线,,asin,～,,a（cos,，sin,）（a>0）所围图形公共部分的面积,
解
3,1a14222S,,,（），a（cos,，sin,）d,,,2222
3,22aa,1,,42,，（1，sin2）d,a,,,,,8242
2y,ax，bx，c3,设抛物线通过点（0～0）～且当x,[0～1]时～y,0,试
2y,ax，bx，c确定a、b、c的值～使得抛物线与直线x,1～y,0所围图形
4的面积为～且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小,9
2y,ax，bx，c解因为抛物线通过点（0～0）～所以c,0～从而
2y,ax，bx,
2y,ax，bx与直线x,1～y,0所围图形的面积为抛物线
1ab2（）S,ax，bxdx,，,,032
25
ab48,6a，,b,令～得,3299
该图形绕x轴旋转而成的
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