第五章 学案5.docx
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第五章学案5
学案5 圆周运动
[学习目标定位]1.知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动.2.记住线速度的定义式，理解线速度的大小、方向的特点.3.记住角速度的定义式，知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝ωr和ω＝2πn.
一、线速度
1．定义：
物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值．即v＝
，单位：
m/s.
2．标、矢性：
线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直．
3．匀速圆周运动：
物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．
二、角速度
1．定义：
连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，即ω＝
.
2．单位：
弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
三、线速度与角速度的关系
在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积，即v＝ωr.
一、线速度
[问题设计]
如图1所示为自行车的车轮，A、B为辐条上的两点，当它们随轮一起转动时，回答下列问题：
图1
（1）A、B两点的运动方向如何？
（2）A、B两点在相同的时间内哪个沿圆弧运动的轨迹长？
哪个运动得快？
（3）如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B做匀速运动吗？
答案
（1）两点的速度方向均沿各自圆周的切线方向．
（2）B运动的轨迹长，B运动得快．
（3）B运动的速率不变，但B运动的方向时刻变化，故B做非匀速运动．
[要点提炼]
1．线速度
（1）定义式：
v＝
.
如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．
（2）线速度的方向：
质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．
（3）物理意义：
描述质点沿圆周运动的快慢．
2．匀速圆周运动的特点
（1）线速度的大小处处相等．
（2）由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度”．
二、角速度
[问题设计]
图1中A、B两个质点转一周的时间相同吗？
哪个绕圆心转动得快？
只用线速度描述圆周运动能全面说明问题吗？
答案 A、B两个质点转一周的时间相同，绕圆心转动得一样快．不能．
[要点提炼]
1．角速度：
半径转过的角度Δθ与所用时间Δt的比值，即ω＝
（如图2所示）．国际单位：
弧度每秒，符号rad/s.
图2
2．转速与周期
（1）转速n：
做圆周运动的物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示．
（2）周期T：
做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期，用符号T表示．
（3）转速与周期的关系：
若转速的单位是转每秒（r/s），则转速与周期的关系为T＝
.
三、描述圆周运动的各物理量之间的关系
1．线速度与周期的关系：
v＝
.
2．角速度与周期的关系ω＝
.
3．线速度与角速度的关系v＝ωr.
四、同轴转动和皮带传动
[问题设计]
请同学们分析下列三种传动方式的特点，并回答有关问题．
1．同轴转动
如图3所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，当圆盘转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R.
图3
此传动方式有什么特点，A、B两点的角速度、线速度有什么关系？
答案 同轴传动的物体上各点的角速度相同，即ωA＝ωB.
线速度关系：
＝
.
2．皮带（齿轮）传动
（1）皮带传动
如图4所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．
图4
此传动方式有什么特点？
A、B两点的线速度、角速度有什么关系？
（2）齿轮运动
如图5所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合．两个齿轮在同一时间内转过的齿数相等，但它们的转动方向恰好相反，即当A顺时针转动时，B逆时针转动．r1、r2分别表示两齿轮的半径，请分析A、B两点的v、ω的关系，与皮带传动进行对比，你有什么发现？
图5
答案
（1）两个轮子边缘处及传送带上各点的线速度相同，即vA＝vB，角速度关系：
＝
.
（2）线速度、角速度的关系为vA＝vB，
＝
，与皮带传动中两轮边缘的各量关系相同．
[要点提炼]
1．同轴转动（如图6所示）
图6
（1）角速度（周期）的关系：
ωA＝ωB，TA＝TB.
（2）线速度的关系：
＝
.
2．皮带（齿轮）传动（如图7所示）
（1）线速度的关系：
vA＝vB
（2）角速度（周期）的关系：
＝
、
＝
.
图7
一、圆周运动的各物理量的关系
例1
做匀速圆周运动的物体，10s内沿半径为20m的圆周运动100m，试求物体做匀速圆周运动时：
（1）线速度的大小；
（2）角速度的大小；
（3）周期的大小．
解析
（1）依据线速度的定义式v＝
可得
v＝
＝
m/s＝10m/s.
（2）依据v＝ωr可得
ω＝
＝
rad/s＝0.5rad/s.
（3）T＝
＝
s＝4πs.
答案
（1）10m/s
（2）0.5rad/s （3）4πs
二、同轴转动与皮带传动问题
例2
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图8所示．在自行车正常骑行时，下列说法正确的是（ ）
图8
A．A、B两点的线速度大小相等
B．B、C两点的角速度大小相等
C．A、B两点的角速度与其半径成反比
D．A、B两点的角速度与其半径成正比
解析 大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点A、B的线速度大小相等，A正确；小齿轮与后轮类似于同轴传动，所以B、C的角速度大小相等，B正确．A、B两点的线速度大小相等，由v＝ωr知A、B两点的角速度与半径成反比，C正确．
答案 ABC
针对训练 一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图9所示，求环上M、N两点的：
图9
（1）线速度的大小之比；
（2）角速度之比．
答案
（1）
∶1
（2）1∶1
解析 M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即
ωM∶ωN＝1∶1，两点做圆周运动的半径之比
rM∶rN＝sin60°∶sin30°＝
∶1，故
vM∶vN＝ωMrM∶ωNrN＝
∶1.
圆周运动
1．（对匀速圆周运动的理解）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．匀速圆周运动是变速运动
B．匀速圆周运动的速率不变
C．任意相等时间内通过的位移相等
D．任意相等时间内通过的路程相等
答案 ABD
解析 由线速度定义知，匀速圆周运动的速度大小不变，也就是速率不变，但速度方向时刻改变，故A、B对；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，但位移不一定相等，C错，D对．
2．（圆周运动的各物理量的关系）下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法中，正确的是（ ）
A．若它们的线速度相等，则角速度一定相等
B．若它们的角速度相等，则线速度一定相等
C．若它们的周期相等，则角速度一定相等
D．若它们的周期相等，则线速度一定相等
答案 C
解析 根据v＝ωr可知，在不知半径r的情况下，线速度相等，角速度不一定相等，同样角速度相等，线速度也不一定相等，A、B错．由于T＝
＝
，故周期相等，角速度一定相等，线速度不一定相等，C对，D错．
3．（传动问题）如图10所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（ ）
图10
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 甲、乙、丙之间属于齿轮传动，所以轮子边缘的线速度相等，即v甲＝v乙＝v丙，由v＝ωr得ω1r1＝ω3r3，所以ω3＝
，故选项A正确．
4．（圆周运动各物理量间的关系）地球半径R＝6400km，站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的角速度分别是多大？
他们的线速度分别是多大？
答案 见解析
解析 如图所示，作出地球自转示意图，设赤道上的人站在A点，北纬60°上的人站在B点，地球自转角速度固定不变，A、B两点的角速度相同，有
ωA＝ωB＝
＝
rad/s＝7.3×10－5rad/s
依题意可知，A、B两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为：
RA＝R，RB＝Rcos60°，
则由v＝ωr可知，A、B两点的线速度分别为：
vA＝ωARA＝7.3×10－5×6400×103m/s＝467.2m/s
vB＝ωBRB＝7.3×10－5×6400×103×
m/s＝233.6m/s
即赤道上和北纬60°上的人随地球转动的角速度都为7.3×10－5rad/s，赤道上和北纬60°上的人随地球运动的线速度分别为467.2m/s和233.6m/s.
题组一 对匀速圆周运动的理解
1．下列对于匀速圆周运动的说法中，正确的是（ ）
A．线速度不变的运动
B．角速度不变的运动
C．周期不变的运动
D．转速不变的运动
答案 BCD
解析 匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度时刻在变，故应选B、C、D.
2．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（ ）
A．其角速度与转速成正比，与周期成反比
B．运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述
C．匀速圆周运动是匀速运动，因为其速率保持不变
D．做匀速圆周运动的物体，所受合力为零
答案 AB
解析 做匀速圆周运动的物体，其运动的快慢用线速度或角速度描述，转速与角速度的关系是ω＝2πn，周期与角速度的关系是ω＝
，即角速度与转速成正比，与周期成反比，故A、B正确；匀速圆周运动的速率保持不变，但速度的方向时刻变化，故是非匀速运动，C错误；匀速圆周运动是变速运动，一定受到合力作用，故D错误．
3．质点做匀速圆周运动，则（ ）
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
答案 BD
解析 如图所示，经
，质点由A到B，再经
，质点由B到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs＝v·
，所以相等时间内通过的路程相等，B对．但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，A、C错．由角速度的定义ω＝
知Δt相同，Δθ＝ωΔt相同，D对．
题组二 圆周运动各物理量间的关系
4．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
答案 D
解析 解决这类题目的方法是：
确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v＝ωr知，v越大，ω不一定越大；ω越大，r不一定越小，故A、C均错误；由v＝
知，v越大，T不一定越小，B错误；而由ω＝
可知，ω越大，T越小，故D正确．
5．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是（ ）
A．它们的半径之比为2∶9B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3D．它们的周期之比为1∶3
答案 AD
解析 由v＝ωr，得r＝
，
＝
＝
，A对，B错；由T＝
，得T甲∶T乙＝
∶
＝
，C错，D对．
6．一个电子钟的秒针角速度为（ ）
A．πrad/sB．2πrad/s
C．π/30rad/sD．π/60rad/s
答案 C
7．假设“神舟”十号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r.则计算其运行周期可用（ ）
A．T＝
B．T＝
C．T＝
D．T＝
答案 AC
解析 由题意可知飞船匀速圆周运动n周所需时间Δt＝t2－t1，故其周期T＝
＝
，故选项A正确．由周期公式有T＝
，故选项C正确．
8．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120km/h”上，可估算出该车车轮的转速为（ ）
A．1000r/sB．1000r/min
C．1000r/hD．2000r/s
答案 B
解析 由v＝rω，ω＝2πn得
n＝
＝
r/s≈17.7r/s≈1000r/min
题组三 同轴转动和皮带传动问题
9．如图1所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（ ）
图1
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
答案 B
解析 a、b和c均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错；三点的运动半径关系为ra＝rb>rc，据v＝ω·r可知，三点的线速度关系为va＝vb>vc，A、D错．
10．如图2所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝
Oa，则下列说法中错误的是（ ）
图2
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
答案 A
解析 同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝
知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误．故说法错误的是A.
11．两个小球固定在一根长为1m的杆的两端，杆绕O点逆时针旋转，如图3所示，当小球A的速度为3m/s时，小球B的速度为12m/s.则小球B到转轴O的距离是（ ）
图3
A．0.2mB．0.3mC．0.6mD．0.8m
答案 D
解析 设小球A、B做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2＝1∶4，又因r1＋r2＝1m，所以小球B到转轴O的距离r2＝0.8m，D正确．
12．如图4所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是（ ）
图4
A．从动轮做顺时针转动B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为
nD．从动轮的转速为
n
答案 BC
解析 主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．
13．如图5所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比为（ ）
图5
A．角速度之比1∶2∶2B．角速度之比1∶1∶2
C．线速度之比1∶2∶2D．线速度之比1∶1∶2
答案 AD
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等．
a、b比较：
va＝vb
由v＝ωr得：
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2
b、c比较：
ωb＝ωc
由v＝ωr得：
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2
所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
va∶vb∶vc＝1∶1∶2
故A、D正确．
题组四 综合应用
14．某转盘每分钟转45圈，在转盘离转轴0.1m处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度．
答案
s
rad/s
m/s
解析 由周期和转速的关系可求周期
T＝
＝
s＝
s
角速度ω＝
＝
＝
rad/s
线速度v＝ωr＝
m/s.
15．如图6所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图6
（1）B球抛出时的水平初速度；
（2）A球运动的线速度最小值．
答案
（1）R
（2）2πR
解析
（1）小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝
gt2②
由①②得v0＝
＝R
.
（2）设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝
＝
＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即
vmin＝2πR
.
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