第一节一次方程与方程组及应用.docx
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第一节一次方程与方程组及应用
第一节 一次方程与方程组及应用
河北8年中考命题规律
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2015
选择
11
二元一次方
程组的解法
考查二元一次方程组如何消元
2
2
2012
解答
20
（2）
一元一次方
程的应用
与梯形结合，以行程问题为背景通过列一元一次方程求公路的长
5
5
2011
解答
19
二元一次方
程的应用
二元一次方程解的运用（与整式运算结合）
4
4
2010
选择
8
一元一次方
程的应用
以买书为背景，根据题意判断所列一元一次方程正确的是
2
2
2009
填空
18
一次方程
（组）的应用
以水桶中铁棒的长度为背景，通过列一元一次方程组或二元一次方程求水的深度
3
3
2008
填空
16
二元一次方
程组的应用
以食物在天平上的平衡为背景，考查利用解二元一次方程组求食物质量
3
3
命题规律
纵观河北八年中考，一次方程（组）及应用在中考中最多只考1题，分值2－5分，以填空、解答为主，难度中偏下，注重基础，其中二元一次方程组的解法考了1次，二元一次方程（组）的应用在解答题中考了1次，填空题中考了2次（也可用一元一次方程来解），一元一次方程在解答、选择题中各考了1次.
命题预测
预计2016年，本考点仍为重点考查内容，难度中下等，故平时应分类强化训练，多总结提升分析解答问题的能力和效率.
河北8年中考真题及模拟
一次方程（组）的应用（5次）
1．（2015河北11题2分）利用加减消元法解方程组
，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×（－5）＋②×2
2．（2010河北8题2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x＋5（12－x）＝48B．x＋5（x－12）＝48
C．x＋12（x－5）＝48D．5x＋（12－x）＝48
3．（2008河北16题3分）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是________g.
4．（2009河北18题3分）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的
，另一根露出水面的长度是它的
，两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是________cm.
5．[2012河北20
（2）题5分]如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB.这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶DC＝10∶5∶2.
（1）求外环公路总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h.返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了
h.求市区公路的长．
6．（2015石家庄新华区模拟）若
是关于x、y的二元一次方程ax－3y＝1的解，则a的值为（ ）
A．7B．2C．－1D．－5
7．（2015唐山路南区三模）小明在解关于x、y的二元一次方程组
时，解得
，则△和⊗代表的数分别是（ ）
A．△＝1，⊗＝5B．△＝5，⊗＝1
C．△＝－1，⊗＝3D．△＝3，⊗＝－1
8．（2015石家庄二模）希望中学九年级1班共有学生49人，当该班少一名男生时，男生的人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，则下列方程中，正确的是（ ）
A．2（x－1）＋x＝49B．2（x＋1）＋x＝49
C．x－1＋2x＝49D．x＋1＋2x＝49
9．（2015唐山路南区三模）“六一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，小明爸爸获得的信息，设去了x个成人，则根据图中的信息，下面所列方程中正确的是（ ）
A．40x＋20（12－x）＝400
B．40（12－x）＋20x＝400
C．24（12－x）＋20x＝400
D．24x＋12（12－x）＝400
10．（2016原创预测）已知关于x，y的二元一次方程ax＋by＝10（ab≠0）的两个解分别为
和
，求1－a2＋4b2的值．
中考考点清单
方程、方程的解与解方程
1．含有未知数的________叫方程．
2．使方程左右两边相等的________的值叫方程的解．
3．求方程________的过程叫解方程．
等式的基本性质
4.
性质1
等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得的结果仍①________.如果a＝b，那么a±c②________b±c.
性质2
等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍③________.如果a＝b，那么ac＝bc（c≠0），
＝
（c≠0）.
一次方程（组）
5.
概念
解法
一元一
次方程
含有①________未知数且未知数的次数是②________，这样的方程叫做一元一次方程.
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
二元一
次方程
含有两个③________________________________________________________________________，
并且含有未知数的项的④________都是1的方程叫做二元一次方程.
一般需找出满足方程的整数解即可.
二元一
次方
程组
两个⑤________所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
解二元一次方程组的基本思路是⑥________________________________________________________________________.
基本解法有：
⑦________________________________________________________________________
消元法和⑧________消元法.
【易错提示】
（1）解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；
（2）二元一次方程组的解应写成
的形式．
列方程（组）解应用题的一般步骤
6.
（1）审
审清题意，分清题中的已知量、未知量；
（2）设
设①________，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；
（3）列
弄清题意，找出②________；根据③________，列方程（组）；
（4）解
解方程（组）；
（5）验
检验结果是否符合题意；
（6）答
答题（包括单位）.
【方法点拨】一次方程（组）用到的思想方法：
（1）消元思想：
将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．
（2）整体思想：
在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷．
（3）转化思想：
解一元一次方程最终要转化成ax＝b；解二元一次方程组先转化成一元一次方程．
（4）数形结合思想：
利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题．
（5）方程思想：
利用其他知识构造方程解决问题．
中考重难点突破
一元一次方程及解法
【例1】
（1）（2015娄底中考）已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为________．
（2）解方程：
－x＝
－
.
【学生解答】
【点拨】
（1）把x＝2代入即可；
（2）先“化零为整”，再按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1来解．
1．（2015厦门中考）方程x＋5＝
（x＋3）的解是________．
2．（2015滨州中考）解方程2－
＝
.
二元一次方程组及解法
【例2】（2015贺州中考）已知关于x、y的方程组
的解为
求m、n的值．
【学生解答】
【点拨】解二元一次方程组的两种方法（代入法和加减法）用到的都是“消元”的思想，具体解题时两种方法可根据方程组中未知数系数的特点灵活运用．
3．（2015杭州中考）设实数x，y满足方程组
，则x＋y＝________.
4．解方程组：
（1）（2015漳州中考）
（2）（2015咸宁中考）
一次方程（组）的应用（高频考点）
【例3】（2015菏泽中考）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？
【解析】
原题信息,整理后的信息
两种饮料
共100瓶,A种饮料的瓶数＋B种饮料的瓶数＝100
需要添加
剂270克,A种饮料需要的添加剂＋B种饮料需要的添加剂＝A饮料每瓶需加该添加剂×A种饮料的瓶数＋B饮料每瓶需加该添加剂×B种饮料的瓶数＝270
【学生解答】
【一题多解】若设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100－x）瓶，怎样解答？
学生完成：
依题意，得2x＋3（100－x）＝270，
解得x＝30，100－x＝70.
答：
A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．
5．（2015岳阳中考）某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？
6．（2016原创预测）张家港某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2件甲商品和3件乙商品需用220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？
中考备考方略
1．（2015重庆中考）已知关于x的方程2x＋m－8＝0的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2015邯郸11中模拟）若2a＝3b，则下列各式中不成立的是（ ）
A．4a＝6bB．2a＋5＝3b＋5
C.
＝
D．a＝3b
3．（2015荆州中考）方程
＝
去分母后是（ ）
A．x－2＝1－2xB．3（x－2）＝2（1－2x）
C．2（x－2）＝3（1－2x）D．2－x＝2x－1
4．（2015广州中考）已知a，b满足方程组
，则a＋b的值为（ ）
A．－4B．4
C．－2D．2
5．（2015廊坊二模）已知
是二元一次方程组
的解，则m－n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2015杭州中考）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A．54－x＝20%×108
B．54－x＝20%×（108＋x）
C．54＋x＝20%×162
D．108－x＝20%（54＋x）
7．（2014泰安中考）方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为
的是（ ）
A．x＋2y＝1B．3x＋2y＝－8
C．5x＋4y＝－3D．3x－4y＝－8
8．（2015深圳中考）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为________元（ ）
A．140B．120C．160D．100
9．（2015娄底中考）已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为________．
10．（2015沧州二模）方程组
的解是________．
11．（2015北京中考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
”
译文：
“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________．
12．
（1）（2015滨州中考）解方程：
2－
＝
；
（2）（2015重庆中考）解二元一次方程组
13．（2015江西中考）小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
14．（2016原创预测）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（ ）
A．x＝5，y＝－2B．x＝3，y＝－3
C．x＝－4，y＝2D．x＝－3，y＝－9
15．（2015衡水四中一模）已知
是方程组
的解，则a－b的值是（ ）
A．－1B．2C．3D．4
16．（2015南充中考）已知关于x，y的二元一次方程组
的解互为相反数，则k的值是________．
17．（2014龙东中考）小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买________支．
18．（2015漳州中考）水仙花是漳州市花，如图，在长为14m，宽为10m的长方形展厅，划出三个形状、大小完全一样的小长方形摆放水仙花，则每个小长方形的周长为________m.
19．（2016原创预测）小亮解二元一次方程组
的解为
，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则●＋★＝________.
20．（2015定州模拟）情景：
试根据图中的信息，解答下列问题：
（1）购买6根跳绳需________元，购买12根跳绳需________元．
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？
若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
21．（2015保定模拟）下表为保定市居民每月用水收费标准（单位：
元/m2）
用水量
单价
x≤22
a
剩余部分
a＋1.1
（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
（2）在
（1）前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
22．（2015聊城中考）某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3800元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：
类型
价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160
（1）求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？
23．（2016原创预测）张家口市某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
（1）这批游客的人数是多少？
原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？
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