平行线与相交线教案.docx

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平行线与相交线教案

平行线与相交线

知识要点

一．余角、补角、对顶角

1，余角：

如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.

2，补角：

如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.

3，对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

4，互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3.

5，互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.

6，对顶角的性质：

对顶角相等.

二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质

7，同一平面内两条直线的位置关系是：

相交或平行.

8，“三线八角”的识别：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.

正确认识这八个角要抓住：

同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.

三．平行线的性质与判定

9，平行线的定义：

在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.

10，平行线的性质：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

11，过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

12，两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.

13，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.

14，平行线的判定：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角.

15，常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.

四．尺规作图

16，只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.

考点例析：

题型一　互余与互补

例1（内江市）一个角的余角比它的补角的

少20°.则这个角为（　　　）A.30°　　　　B.40°　　　　C.60°　　D.75°

分析　若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.解　设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.则根据题意，得

（180°－x）－（90°－x）＝20°.解得：

x＝40°.故应选B.说明　处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.

题型二　平行线的性质与判定

例2（盐城市）已知：

如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　　）A.135°B.130°C.50°D.40°

分析　要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解　因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.说明　本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.

例3（重庆市）如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.

分析　如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解　因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明　本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.

例4（烟台市）如图3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（　　）A.60°　B.50°　　　　　C.40°　　　D.30°

分析　要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解　如图3，过∠2的顶点作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，又因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A.说明　本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.

例5（南通市）如图4，AB∥CD ，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝72°，则∠EGF等于（　　）A.36°B.54°　　C.72°　D.108°

分析　要求∠EGF的大小，由于AB∥CD ，则有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.解　因为AB∥CD ，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，又因为EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故应选B.说明　求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.

题型三　尺规作图

例6（杭州市）已知角α和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.

分析　要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一边截取BA＝c，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.作法

（1）作射线BP，再作∠PBQ＝∠α；

（2）在射线BQ上截取BA＝c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC.则△ABC为所求.如图6.

例7（长沙市）如图7，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB（要求保留作图痕迹）.

分析　只要再过点O′作一条射线O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.作法

（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；

（2）以O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′B′于点D′；（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.说明　在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.

例7、已知：

如图：

BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠C=70，求∠ADE的度数。

解：

∠1=∠2（已知）

ED∥BC（内错角相等，两直线平行）。

由图可知，ED、BC被AC所截，

∠C=∠ADE（两直线平行，同位角相等）。

又

∠C=70（已知），

∠ADE=70。

例8、如图BE平分∠ABC，EC平分∠BCD，∠E=90°那么AB∥CD吗？

为什么？

解：

∠E=90°（已知），

∠1+∠2=90°（三角形内角和性质）。

又

BE平分∠ABC（已知），EC平分∠BCD（已知）。

∠ABE+∠DEC=90°（角平分线的定义）。

∠ABC+∠BCD=180°（等量代换）

AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。

知识点平行线间的距离

例9、如图a∥b,AB⊥a于A,CD⊥b于C,

（1）点B与点D的距离是指线段BD的长;

（2）点D到直线b的距离是指CD;

（3）两平行线a、b的距离是AB或CD;

（4）线段AB的长可指a,b垂线段的距离.

三、随堂练习：

1.如图，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC.

将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整.

解：

∵DE∥BC（已知）

∴∠ADE＝∠___ABC__（两直线平行,同位角相等.）

∵∠ADE＝∠EFC（已知）

∴∠_∠EFC__＝∠_ABC_

∴DB∥EF（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

2.如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG＝∠C。

解：

∵∠ADG+∠1+∠FDB=180°（平角的定义）

∠2+∠C+∠CFE=180°（三角形内角和定义）

∴∠ADG+∠1+∠FDB=∠2+∠C+∠CFE

∵∠1＝∠2（已知）

∠FDB=∠CFE=90°（垂线的定义）

∴∠ADG＝∠C（移项变号）

3.如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，AB//DE，且AB＝DE，判断EF和BC是否平行，并说明理由。

∵AC-FC=DF-FC

∴AC=DF

∵ED、AB被AD所截。

∵AB//DE（已知）

∴∠EDF=∠CAB（两直线平行，内错角相等）

∵AB＝DE（已知）

∠EDF=∠CAB（已证）

AC=DF（已知）

∴三角形ABC

三角形DEF（SAS）

∴∠BCF=∠EFD（全等三角形的对应边相等）

∴EF//BC（内错角相等，两直线平行

四．完成推理，填写推理依据：

1．如图⑩∵∠B=∠_______，∴AB∥CD（）

∵∠BGC=∠_______，∴CD∥EF（）

∵AB∥CD，CD∥EF，

∴AB∥_______（）

2．如图⑾填空：

（1）∵∠2=∠3（已知）

∴AB__________（）

（2）∵∠1=∠A（已知）

∴__________（）

（3）∵∠1=∠D（已知）

∴__________（）

（4）∵_______=∠F（已知）

∴AC∥DF（）

3.填空。

如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知）

∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（）

∴∠CAB＝∠______（）

∵∠CAE＝∠DBF（已知）

∴∠BAE＝∠______

∴_____∥_____（）

4．已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。

∵∠1＋∠2＝180°（）又∠2＝∠3（）

∴∠1＋∠3＝180°

∴_________（）

五．证明题

1．已知：

如图⑿，CE平分∠ACD，∠1=∠B，

求证：

AB∥CE

2．如图：

∠1=

，∠2=

，∠3=

，

试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。

3．如图：

已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系，请说明理由。

4．

已知：

如图，

，

，且

.

　求证：

EC∥DF.

5．如图10，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，∠AFE=60°，∠BDE=120°，

写出图中平行的直线，并说明理由．

练习题

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到L的距离一定是1;C．相等的角是对顶角;D．钝角的补角一定是锐角.

2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对

（1）

（2）（3）

3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A．40°B．140°C．40°或140°D．不确定

4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）

5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）

A．a∥b，b∥c;B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等

6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

（1）∠1=∠5；

（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．

（1）、

（2）B．

（1）、（3）C．

（1）、（4）D．（3）、（4）

7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）

A．∠1与∠5，∠2与∠6;B．∠3与∠7，∠4与∠8;C．∠2与∠6，∠3与∠7;D．∠1与∠5，∠4与∠8

8．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，则∠2的度数为（）

A．36°B．54°C．45°D．68°

（4）（5）（6）

9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为（）

A．1B．2C．3D．4

10．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（）A．65°B．80°C．100°D．115°

11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）A．30°B．70°C．30°或70°D．100°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）

13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．

14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：

（1）∵∠1=∠ABC（已知），

∴AD∥______

（2）∵∠3=∠5（已知），

∴AB∥______,

（_______________________________）

（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），

∴_______∥________,

（________________________________）

16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，∠BOC=___度．

17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．

（7）（8）（9）

18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．

19．如图9，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=_______度．

20．如图，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC，则∠1与∠2的大小关系是________．

三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22．（7分）如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B′有什么关系？

为什么？

23．（6分）如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（要求给出两个答案）．

24．（6分）如图，AB∥CD，∠1：

∠2：

∠3=1：

2：

3，说明BA平分∠EBF的道理．

25．（7分）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．

26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

答案:

1．D2．D点拨：

图中的邻补角分别是：

∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOE与∠AOE，∠BOD与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共6对，故选D．

3．D4．C5．C6．A

7．C点拨：

本题的题设是AB∥CD，解答过程中不能误用AD∥BC这个条件．

8．B点拨：

∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED=

∠BEF=54°．

∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故选B．

9．C点拨：

如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略．

10．B

11．D点拨：

∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．

故选D．

12．C点拨：

由题意，知

或

解之得∠B=30°或70°．故选C．

13．120°

14．

（1）BC；同位角相等，两直线平行

（2）CD；内错角相等，两直线平行（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行

15．

（2），（3），（5）

16．115；65

点拨：

设∠BOC=x°，则∠AOC=x°+50°．∵∠AOC+∠BOC=180°．∴x+50+x=180，解得x=65．∴∠AOC=115°，∠BOC=65°．

17．145°

18．10219．133

点拨：

如答图，延长AB交L2于点F．

∵L1∥L2，AB⊥L1，∴∠BFE=90°．

∴∠FBE=90°-∠1=90°-43°=47°．

∴∠2=180°-∠FBE=133°．

20．∠1=∠2

21．解：

如答图，由邻补角的定义知∠BOC=100°．

∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，

∴∠DOB=

∠AOB=40°，∠BOE=

∠BOC=50°．

∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+50°=90°．

22．解：

相等

理由∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠B=∠A′DC，∠A′DC=∠B′，

∴∠B=∠B′．

23．CF∥BE或CF、BE分别为∠BCD、∠CBA的平分线等．

24．解：

设∠1、∠2、∠3分别为x°、2x°、3x°．

∵AB∥CD．

∴由同旁内角互补，得2x+3x=180，解得x=36．

∴∠1=36°，∠2=72°．

∵∠EBG=180°，

∴∠EBA=180°-（∠1+∠2）=72°．

∴∠2=∠EBA．

∴BA平分∠EBF．

25．解：

CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠FCD．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠FCD．

∴DG∥BC．∴∠BCA=∠3=80°．

26．解：

AB∥CD．

理由：

如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．

∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°．

又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．

又∵∠DGF=60°，

∴∠HFG=∠DGF．

∴HF∥CD，从而可得AB∥CD．