高考数学一轮复习 考点一篇过 专题36 圆的方程 理.docx

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高考数学一轮复习考点一篇过专题36圆的方程理

专题36圆的方程

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

一、圆的方程

圆的标准方程

圆的一般方程

定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径

方程

圆心

半径

区别与

联系

（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；

（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；

（3）二者可以互化：

将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程

注：

当D2+E2－4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义，不表示任何图形．

二、点与圆的位置关系

标准方程的形式

一般方程的形式

点（x0，y0）在圆上

点（x0，y0）在圆外

点（x0，y0）在圆内

三、必记结论

（1）圆的三个性质

①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

（2）两个圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．

①同心圆系方程：

，其中a，b为定值，r是参数；

②半径相等的圆系方程：

，其中r为定值，a，b为参数．

考向一求圆的方程

1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．

2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．

典例1求圆心在直线上,且过点的圆的方程．

【答案】或

故所求圆的方程为．

由题意得,解得．

故所求圆的方程为．

1．求满足下列条件的圆的方程：

（1）圆心在直线上,与轴相交于两点;

（2）经过三点．

考向二与圆有关的对称问题

1．圆的轴对称性:

圆关于直径所在的直线对称．

2．圆关于点对称：

（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．

3．圆关于直线对称：

（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

典例2

（1）已知圆C1：

（x+1）2+（y－1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为

A．B．

C．D．

（2）若圆（x+1）2+（y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________．

【答案】

（1）B；

（2）2．

2．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为

A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0

C．x－y－2＝0D．x－y＋2＝0

考向三与圆有关的轨迹问题

1．求轨迹方程的步骤如下：

建系，设点：

建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标．

写集合：

写出满足复合条件P的点M的集合．

列式：

用坐标表示，列出方程．

化简：

化方程为最简形式．

证明：

证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

2．求与圆有关的轨迹方程的方法

典例3已知点P（2,2），圆C：

x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及的面积．

【答案】

（1）M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2；

（2）l的方程为y＝－x＋，的面积为．

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

故直线l的方程为y＝－x＋．

又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为，|PM|＝，所以的面积为．

3．已知圆x2＋y2＝4上一点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹．

考向四与圆有关的最值问题

对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

典例4已知点在圆上．

（1）求的最大值和最小值；

（2）求的最大值和最小值．

【答案】

（1）的最大值为，最小值为；

（2）的最大值为，最小值为.

∴的最大值为，最小值为．

【名师点睛】1．与圆的几何性质有关的最值

（1）记O为圆心，圆外一点A到圆上距离最小为，最大为；

（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；

（3）记圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为，最小距离为；

（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆．

2．与圆的代数结构有关的最值

（1）形形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

（2）形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

（3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

4．已知圆C：

（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m,0），B（m,0）（m>0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为

A．7　　　　B．6

C．5　　　　D．4

1．若表示圆，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

2．对于，直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程是

A．B．

C．D．

3．若原点在圆的内部,则实数取值范围是

A．B．

C．D．

4．已知A（－4，－5）、B（6，－1），则以线段AB为直径的圆的方程

A．（x＋1）2＋（y－3）2＝29B．（x－1）2＋（y＋3）2＝29

C．（x＋1）2＋（y－3）2＝116D．（x－1）2＋（y＋3）2＝116

5．过点、，且圆心在上的圆的方程是

A．B．

C．D．

6．圆上的点到直线的距离最大值是

A．B．

C．D．

7．圆的圆心在轴正半轴上，且与轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆的方程为

A．B．

C．D．

8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是

A．B．

C．D．

9．点M在上，则点到直线的最短距离为

A．9B．8

C．5D．2

10．过点的直线将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为

A．B．

C．D．

11．在平面直角坐标系xOy中，以点（1,0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

12．设点M（x0,1），若在圆O：

x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

13．平面上三个定点，，．

（1）求点到直线的距离；

（2）求经过、、三点的圆的方程．

14．已知圆的圆心坐标为，且过定点．

（1）写出圆的方程；

（2）当为何值时，圆的面积最小，并求出此时圆的标准方程．

15．已知是圆C：

上的一点，求的最大值和最小值．

16．已知圆过点，．

求：

（1）周长最小的圆的方程；

（2）圆心在直线上的圆的方程．

17．已知圆，直线，．

（1）求证：

对，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

1．【答案】

（1）；

（2）．

代入三点,可得,

解得．

于是所求圆的方程为．

【名师点睛】求圆的方程一般采用待定系数法，方程有两种设法，一是设为标准方程，二是设为一般方程，第

（1）问设标准方程，第

（2）问设一般方程，第

（1）问使用标准方程时，要学会巧设圆心，列方程组解出圆心和半径，第

（2）问求过三点的圆的方程，一般设圆的一般方程，然后列方程组即可.

2．【答案】D

【解析】因为圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，所以直线l为两圆心连线线段的中垂线，即，选D．

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0，即，

故线段PQ中点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆．

4．【答案】B

【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为（3,4），半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|．要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6．

1．【答案】B

【解析】由方程可得，此方程表示圆，则，解得．故实数k的取值范围是，故选B．

2．【答案】A

【解析】由条件知，可以整理为故直线

过定点，所求圆的方程为，化为一般方程为．故选A．

3．【答案】A

【解析】由原点在圆的内部,得，则，选A．

4．【答案】B

【解析】由题可知,,则以线段为直径的圆的圆心为：

即．半径为．故以线段为直径的圆的方程是

．故选B．

5．【答案】C

【名师点睛】确定圆的方程方法

（1）直接法：

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；

（2）待定系数法

①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

6．【答案】D

【解析】因为圆心到直线的距离是，又圆的半径，所以圆上的点到直线的距离最大值是，故选D．

7．【答案】A

【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

（1）几何法：

具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：

①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

（2）待定系数法：

根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

8．【答案】A

【解析】由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心（－1,2），所以－2a－2b＋2＝0，即b＝1－a，所以ab＝

a（1－a）＝，故选A．

9．【答案】D

【解析】由圆的方程，可知圆心坐标，则圆心C到直线3x+4y−2=0的距离，所以点到直线的最短距离为，故选D．

10．【答案】A

【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．

因为过点的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为，即方程为.

11．【答案】（x－1）2＋y2＝2

【解析】因为直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）恒过点（2，－1），所以当点（2，－1）为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2．

12．【答