长沙数学中考压轴题.docx
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长沙数学中考压轴题
长沙市中考数学试题压轴题总汇
（2014）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（
，
），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=
（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？
若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+
，试求出t的取值范围．
（2014）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（
，
）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：
在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
（2013）设a,b是任意两个不等实数，我们规定：
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b].对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：
当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”.
（1）反比例函数y=
是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？
请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y=
x2-
x-
是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a,b的值。
（2013）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a,b）在第一象限，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM,PN（垂足为M,N）分别与直线AB相较于点E,点F，当点P（a,b）运动时，矩形PMON的面积为定值2.
（1）求∠OAB的度数；
（2）求证△AOF∽△BEO；
（3）当点E,F都在线段AB上时，由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1,△OEF的面积为S2.试探究：
S1+S2是否存在最小值？
若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由.
（2012）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。
已知生产这种产品的成本价为每件20元。
经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？
若盈利，最大利润是多少？
若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：
一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款。
若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围;
（2012）如图半径分别为m,n
的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点，且点P（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H。
（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,
四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究：
是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为
的抛物线？
若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
（2011）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。
例如，对于函数
，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数
的零点。
己知函数
（
m为常数）。
（1）当
=0时，求该函数的零点；
（2）证明：
无论
取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为
和
，且
，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线
上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。
（2011）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。
当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：
当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
（2010）已知：
二次函数
的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中
且
、
为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：
这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设
（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1－x2|的范围．
（2010）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，
cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒
cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：
四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线
经过B、P两点，过线段BP上一动点M作
轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
（2009）
（2009）
（2008）在平面直角坐标系中，一动点P（
，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。
图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间
（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.
（图①）（图②）（图③）
（1）s与
之间的函数关系式是：
；
（2）与图③相对应的P点的运动路径是：
；P点出发秒首次到达点B；
（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.
（2008）
如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA.
（1）当∠BAD=75︒时，求
的长；
（2）求证：
BC∥AD∥FE；
（3）设AB=
，求六边形ABCDEF的周长L关于
的函数关系式，
并指出
为何值时，L取得最大值.
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