届高考数学一轮复习解答题限时练4docx.docx
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届高考数学一轮复习解答题限时练4docx
2022届高考数学一轮复习解答题限时练（4）
1.已知/XABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2sinAcosB=2sinC+sinB.
（1）求角A；
（2）若a=4,b+c=2&求△ABC的面积.
2.已知数列｛a"｝中，q=3,且满足an+i=an+2n+2,bn=an-n2[n
（1）证明：
数列｛勾｝是等差数列，并求也“｝的通项公式；
（2）求数列｛2”，〃｝的前n项和.
3.在四棱锥P-ABCD中，平面PADY平面ABCD,底面为直角梯形ABCD,AB^AD,
PA=PD=AB=AD=2CD,分别为的中点.
（2）求时与平面R2D所成角的正弦值.
4.已知椭圆二+与=10">0）的焦点是K，F2,且|鸟§1=2，离心率为也.ab2
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F?
的直线1交椭圆于,B（x2,y2）（X]>x2）两点.
（i）求的最小值；
（ii）点Q是直线1上异于F,的一点，且满足四=助，求证：
点Q在一条定直线上.
\QB\|F2B|
5.网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民
在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格：
年龄（岁）
[15,25）
[25,35）
[35,45）
[45,55）
[55,65）
[65,75]
频数
15
45
45
30
8
7
在网上购
物的人数
12
33
35
15
3
2
若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率.
（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？
（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X,求X的分布列及期望.
I3
6.已知函数/（a-）=In.¥+—a-2+cix{cieR）,g（x）=e"-x.
（1）当a=Y时，求函数f（x）的单调区间.
（2）定义:
对于函数f（x）,若存在％使f（x0）=x0成立，则称X。
为函数/⑴的不动点.如果函数
F（x）=f（x）-g（x）存在不动点，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：
解：
（1）法一：
由2sinAcosB=2sinC+sinB得，2sinAcosB=2sin（A+B）+sinB,
整理得，sinB（2cosA+1）=0.
Bg（0,7i）,sin8>0,2cosA+l=0,即cosA=—L
2
OjT又Ag（0,71）,所以，A=—3
法二：
由2sinAcosB=2sinC+sinB应用正弦定理得，2acosB=2c+Z?
?
Hn-a2+c2-b2今7艮［J2a=2c+b,
2bc整理得，a2-c2-b2=bc,
于是cosA=
b1+C1-a2
2bc
又Ag（0,冗），所以，A=—.
3
法三：
由2sinAcosB=2sinC+sinB应用正弦定理，得2ocos3=2c+。
由余弦定理，可得c=acosB+bcosA,代入上式，得2Z?
cosA+Z?
=0.
.人>0,••cosA=—,
2
O-jr
又Ae（0,兀），所以，A=—.
3
（2）。
=4,b+c=2y/5,由余弦定理，
得a2=b1+c2—2阮cosA=b2+c2+bc=（b+c）2-be
即16=20—De,则bc=4.
于是SAARr=—Z?
csinA=—x4x^^-=用.
AABC222
2.答案：
（1）证明：
bn+i—bn=ctn+^—（ji+1）2—（”“—后）
—Cln+2/7+2—77-—2/7—1—Cln+W=1
所以数列也｝是以b=2为首项，公差d=l的等差数列，
所以bn=+（"-l）d=2+（；Z—1）=77+1;
（2）记数列｛2”•如｝的前n项和为S”，则
S„=2x2'+3x22+4x23+L+nx2'^1+（n+l）x2",
2S„=2x22+3x23+4x24+L+nx2"+（n+l）x2',+1,
两式相减得
=2x2'+22+23+...+2,!
-（n+l）x2,,+1
22（1一2”t）
=4+-（〃+1）x2"+i
1-2
=4+2"+i-4-（/z+l）x2,,+1
=-/7x2,,+i
Sn=〃x2"+i
3.答案：
（1）证明：
取孙中点G,连接FG,召G
DG=GA,DE=PE
GE//PA
•:
GEu平面B4B，B4u平面R场
GE7/平面R45，
FG//AB
FGFG//平面R4B，
•.•GEcFG=G
:
.平面EFG//平面R4B
EF//平面PAB
（2）•.•平面PAD±平面ABCD平面PADry平面ABCD=ADPG±AD
PGu平面F4D
•••PG_L平面MCD
以G为原点，GF,GO,GF分别为x，y，z建立坐标而=（0,1,-右）系，设CD=L
则G（0,0,0）,顼0,?
g），F（；,0,0）,A（。
一1,。
）,
£>（0,1,0）,F（O,oM）
豆=（一甘冷W=（《
■.■FEPD=0,AEDC=0
:
.FE1PD,AE1DC.•.在是平面PCD的一个法向量,
设£F与平面PCD所成的角为
则sin0=|cos|=
4.答案：
（1）因为椭圆的焦点是氏，F2,且|也§|=2,所以半焦距c=l.
因为离心率为虫，所以a=^2,所以b=l.
2
所以椭圆的方程是—+/=1.
2
（2）（i）由
（1）知£（1,0）,
当直线1的斜率不存在时，不妨设A1,
，所以|史|•期〔=?
•
当直线1的斜率存在时，直线1的方程可设为y=k（x-l）.
联立方程2k--2
121+2®
所以"花=崖
所以IA%|=/（气一1）2+寸=卮PI吐-11,\BF2\=J（v-l）2+y；=\x2-l\.
所以|凡句•I研|=（1+炉）I冲2—3+互）+1I
2）2尸一2_4/_1+尸_j_r]）
•）1+2炉一1+2岸*~1+2k2~2（,*1+2好J
因为优日。
』］，所以|疆.|昭|的取值范围是是因为当直线1的斜率不存在时，|AE"|3E|=?
所以|A妁.|3§|的最小值是!
.
（ii）证明：
由题意得，直线1的斜率一定存在.因为点Q在直线1上，所以设点Q的坐标是（m,k（m—1））.
因为四=闫，
\QB\\f2b\
所以点Q一定在BA的延长线上，
所以m-xL=h-lj
m-x2l-x2
即（m+1）（茶+x2）-2尤1工2-2m=0.
所以*坦一企工一2加=。
.
化简得m=2.所以点Q的坐标是（2,k）.
因此点Q在定直线x=2上
5.答案：
（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为毋挹=笠=2,
15+45604
45+30+883
中年人网上购物的概率为35+15+353
7老年人网上购物的概率为兰,
7
mu,3532
因为一＞一＞-,
4837
所以青少年网上购物的概率最大.
（2）由题意及
（1）知，X~B|4,-
rx=o）=c：
ge，
F（X=1）=C：
F（X=2）=C；
108_27
256~64
p（X=4）=C：
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
p
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
3顼X）=4x^=3.
11子—4*+[
6.答案：
解：
（1）当时，/（x）=lnx+-x2-4x,定义域为（0,+oo）,/3）=—+x—4=——-—.
2xx
当尹（X）>0,即r_4x+1>0时，02+后；
当尹3）<0,即人疽一4x+l<0时，2-^/3/（%）的单调递增区间是（0,2-0）,（2++8）,f（x）的单调递减区间>（2-^3,2+g.
（2）F（x）=f（x）~g（x）=lnx+—x2+or-exx2+x=lnx-x2+ox+x-ex（x>0）.
_F（x）存在不动点，
方程F（x）=x有实数根，即fl=e'~ln¥+r在（（0,+oo）上有解.X
今Zz（x）=5+1.>o）,g=egl）+ln"+l）3T）,XX
令h'{x）=0,得X=1.
当xe（0,1）时，Z3）v0,/?
⑴单调递减；
当X£（l,+oo）时，/f（x）>0,h（x）单调递增.
当o..e+1时，尸3）有不动点,二。
的取值范围为［e+l,+oo）.
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