一元一次方程奥数专练.docx

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一元一次方程奥数专练

第06讲一元一次方程概念和等式性质

考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．

2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例１】下面式子是方程的是（）

A．x＋3B．x＋y＜3C．2x2＋3＝0D．3＋4＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2＋3＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．

【变式题组】

01．在①2x＋3y－1．②2＋5＝15－8，③1－

x＝x＋l，④2x＋y＝3中方程的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的

，应从乙处调多少人到甲处？

若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是（）

A．272＋x＝

（196－x）B．

（272－x）＝196–x

C．

×272＋x＝196－xD．

（272＋x）＝196－x

03．根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14⑵x的2倍与3的差是5⑶x的

与13的差的2倍等于1

【例２】下列方程是一元一次方程的是（）

A．x2－2x－3＝0B．2x－3y＝4C．

＝3D．x＝0

【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：

①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．

【变式题组】

01．以下式子：

①－2＋10＝8；②5x＋3＝17；③xy；④x＝2；⑤3x＝1；⑥

＝4x；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．

02．（江油课改实验区）若（m－2）

＝5是一元一次方程，则m的值为（）

A．±2B．－2C．2D．4

03．（天津）下列式子是方程的是（）

A．3×6＝18B．3x－8c．5y＋6D．y÷5＝1

【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5＝0的解，则k的值是（）

A．8B．3C．

D．

【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3＋5＝0，k＝

故选择D．

【变式题组】

01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解（）

A．3x＝2x－1B．3x－2x＋2＝0C．3x－1＝2x＋1D．3x＝2x－2

02．（自贡）方程3x＋6＝0的解的相反数是（）

A．2B．－2C．3D．－3

03．（上海）如果x＝2是方程

的根，那么a的值是（）

A．0B．2C．－2D．－6

04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：

（1）某数的3倍比这个数大4；

（2）小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

（3）一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？

【例4】（太原）c为任意有理数，对于等式

a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的是（）

A．两边都减去－3cB．两边都乘以

C．两边都除以2cD．左边乘以2右边加上c

【解法指导】等式的性质有两条：

①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．

【变式题组】

01．（青岛）如果ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（）

A．ma＋1＝mb＋1B．ma−3＝mb−3C．

ma＝

mbD．a＝b

02．（大连）由等式3a−5＝2a＋b得到a＝11的变形是（）

A．等式两边都除以3B．等式两边都加上（2a－5）

C．等式两边都加上5D．等式两边都减去（2a－5）

03．（昆明）下列变形符合等式性质的是（）

A．如果2x−3＝7，那么2x＝7−xB．如果3x−2＝x＋l，那么3x−x＝1−2

C．如果－2x＝5，那么x＝－5＋2D．如果－

x＝1，那么x＝－3

【例5】利用等式的性质解下列方程：

⑴x＋7＝19⑵－5x＝30⑶－

x−5＝4

⑴解：

两边都减去7得x＋7−7＝19−7

合并同类项得x＝12

⑵解：

两边都乘以

得x＝－6

⑶解：

两边都加上5得－

x−5＋5＝4＋5

合并同类项得－

x＝9

两边都乘以－3得x＝－27

【解法指导】要使方程x＋7＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．

【变式题组】

01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是

，回来的速度是

，则他的平均速度为（）

A．

B．

C．

D．

02．（杭州）已知

是方程2x−ay＝3的一个解，那么a的值是（）

A．1B．3C．－3D．－1

03．（郑州）下列变形正确的是（）

A．由x＋3＝4得x＝7B．由a＋b＝0，得a＝b

C．由5x＝4x－2得x＝2D．由

＝0，得x＝0

04．（南京）解方程

（）

A．同乘以

B．同除以

C．同乘以－

D．同除以

【例6】根据所给出的条件列出方程：

小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？

（只列方程）

【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：

本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：

设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：

x＋0.lx−0.02x＝1080．

【变式题组】

01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是（）

A．160元B．128元C．120元D．8元

02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：

（1）某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；

（2）长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，

【例7】（“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是l．求代数式40p＋l0lq＋4的值．

【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：

偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：

把x＝l代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：

（1）若p＝2，则Sq＝95，q＝19，40p＋l01q＋4＝40×2＋101×19＋4＝2003；

（2）若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p＋l0lq＋4的值为2003.

【变式题组】

01．（广东省竞赛题）已知

＝3x＋1，则（64x2＋48x＋9）2009＝_______．

02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：

＝ad−bc，已知

＝18，则x＝（）

A．－1B．2C．3D．4

演练巩固反馈提高

01．下面四个式子是方程的是（）

A．3＋2＝5B．x＝2C．2x−5D．a2＋2ab≠b2

02，下列方程是一元一次方程的是（）

A．x2−2x−3＝0B．2x−3y＝3C．x2−x−1＝x2＋1D．

03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是（）

A．

＝7−xB．

＋7＝−xC．

＋7＝xD．

＝x＋7

04．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？

若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为（）

A．5x＋15＝1200B．5x－15＝1200C．4x＋15＝1200D．4（x＋15）＝1200

05．在方程①3x−4＝7；②

＝3；③5x−2＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④

06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是（）

A．3B．5C．－5D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝a2＋b则（－2）△x＝10中x为（）

A．－6B．6C．8D．－8

08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是（）

A．（a＋10）（b－1）＝abB．（a−10）（b＋l）＝3000

C．

＝a＋10D．

＝b−1

09．已知关于x的方程（m＋2）xm＋4＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝10＋x的解是_______．

11．（福州）已知

−1＝

，试用等式的性质比较m、n的大小．

12.（西宁）已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？

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01．下列判断中正确的是（）

A．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x同解，

B．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x没有相同的解．

C．方程x（2x－3）＝x的解是方程2x－3＝1的解．

D．方程2x−3＝1的解是方程x（2x－3）＝x的解．

02．方程

的解是（）

A．2008B．2009C．2010D．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中

（1）方程ax＝0的解是x＝l

（2）方程ax＝a的解是x＝l

（3）方程ax＝1的解是x＝

（4）

的解是x＝±1

结论正确的的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程（3a＋8b）x＋7＝0无解，则ab是（）

A．正数B．非正数C．负数D．非负数

05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3a2−5a＋4有整数解，则a的值共有（）

A．1个B．3个C．6个D．9个

06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程

＋（x−5）＝0的解的个数为（）

A．不确定B．无数个C．2个D．3个

07．若x＝9是方程

的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程

的解是______．

08．方程

的解是_____，方程

的解是_____．

09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知

＝1995，那么x＝____．

10．（“希望杯”邀请赛试题）已知

，那么19x99＋3x＋27的值为____．

11．（广西竞赛）解关于x的方程

＝－3．

12．a为何值，方程

有无数个解．

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？

有多少本书？

14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？

第07讲一元一次方程解法

考点·方法·破译

1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．

2．会用一元一次方程解决实际问题

经典·考题·赏析

【例１】解方程：

5x＋2＝7x－8

【解法指导】当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．

解：

移项，得5x－7x＝－8－2

合并同类项，得－2x＝－10

系数化为1，得x＝5

【变式题组】

01．（广东）关于x的方程2（x－1）－a＝0的根是3，则a的值是（）

A．4B．－4C．2D．－1

02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（）

A．a－bB．－a－bC．b－aD．b＋a

03．解下列方程：

⑴2x＋3x＋4x＝18

（2）3x＋5＝4x＋1

【例２】解方程：

11－2（x＋1）＝3x＋4（2x－3）

【解法指导】此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．

解：

去括号，得11－2x－2＝3x＋8x－12

移项，得－2x－3x－8x＝－12－11＋2

合并同类项，得－13x＝－21

系数化为1，得

【变式题组】

01．（广州）下列运算正确的是（）

A．－3（x－1）＝－3x－1B．－3（x－1）＝－3x＋1

C．－3（x－1）＝－3x－3D．－3（x－1）＝－3x＋3

02．（黄冈）解方程：

－2（x－1）－4（x－2）＝1去括号结果，正确的是（）

A．－2x＋2－4x－8＝1B．－2x＋1－4x＋2＝1

C．－2x－2－4x－8＝1D．－2x＋2－4x＋8＝1

03．（广州）方程2x＋1＝3（x－1）的解是（）

A．x＝3B．x＝4C．x＝－3D．x＝－4

04．解下列方程：

⑴7（2x－1）－3（4x－1）＝5（3x＋2）－1

（2）3（100－2x）＝400＋15x

【例３】解方程：

【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项

解：

去分母时，得4（2x－1）－2（10x＋1）＝3（2x＋1）－12

去括号，得8x－4－20x＝6x＋3－12

移项，得8x－20x－6x＝3－12＋4＋2

合并，得－18x＝－3

系数化为1，得

回顾小结：

我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：

（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．

这五个步骤要注意灵活运用．

【变式题组】

01．（厦门）如果关于x的方程

的解不是负值，那么a与b的关系是（）

A．

B．

C．5a≥3bD．5a＝3b

02．（银川）甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（）

A．

B．

C．

D．

03．（四川）解方程：

04．（大连）若方程

与方程

的解相同，求

的值．

【例４】解方程：

【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：

分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．

解：

原方程变形为：

即50（0.1x－0.2）－2（x＋1）＝3

去括号，得5x－50－2x－2＝3

移项，得5x－2x＝3＋10＋2

合并，得3x＝15

系数化为1，得x＝5

【变式题组】

01．对方程

变形正确的是（）

A．

B．

C．

D．

02．（郑州）解方程：

【例５】解方程：

【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．

解：

移项得

两边分别通分得：

即

解得x＝1

【变式题组】

01．（大连）解方程

，较简便的是（）

A．先去分母B．先去括号C．先两边都除以

D．先两边都乘以

02．解方程：

03．解方程：

【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．

（1）小明拿到了哪3张卡片？

（2）你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？

【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．

解：

设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12

（1）依题意得：

x＋x＋6＋x＋12＝342

合并，得3x＋18＝342

移项，得3x＝324

系数化为1，得x＝108

答：

这三个数为108，114，120

（2）不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是

（3）假设x＋x＋6＋x＋12＝86

合并，得3x＋18＝86

移项，得3x＝324

系数化为1，得

因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为

．

【变式题组】

01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：

1471013161922

2528313437404346

4952555861646770

…

⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数；

⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？

×××

×××

×××

【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____

【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.

解：

∵9x－17＝kx

∴（9－k）x＝17

∴

∵x为正整数，∴9－k为17的正整数因数

∴9－k＝1或9－k＝17

∴k＝8或k＝－8故k＝±8

【变式题组】

01．（成都）要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（）

A．可取一切数B．k＜0C．k≠0D．k＞0

02．（“五羊杯”竞赛题）已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________

演练巩固·反馈提高

01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（）

A．40元B．35元C．28.9元D．5.1元

02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？

已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（）

A．2x＋4×20＝4×340B．2x－4×20＝4×340

C．2x＋4×72＝4×340D．2x－4×20＝4×340

03．（陕西）一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）

A．600×0.8－x－20B．600×0.8＝x－20C．600×8－x＝20D．600×8＝x－20

04．（长沙）一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（）

A．18千米/时B．15千米/时C．12千米/时D．20千米/时

05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（）

A．2B．－2C．

D．

06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（）

A．x－5000＝5000×30.6%B．x＋5000×20%＝5000（1＋3.06%）

C．x＋5000×3.06%×20%＝5000（1＋3.06%）D．x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%

07．（南通）关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（）

A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜2

08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（）

A．

B．

C．2D．－2

09．（天津）若

是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______

10．（广东）若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________

11．（南京）x为何值时，式子

与式子

满足下列条件：

⑴相等

⑵互为相反数

⑶式子

比式子

的值小1

12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解．

⑴设十位数上的数为x；

⑵设个位数上的数为y.

13．（北京）国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的

少0.34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．

14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？

15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？

（每个螺栓配两个螺帽）

培优升级·奥赛检测

01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含酒精的千克数为（）

A．aB．

C．

D．

02．下列四组变形中属于移项变形的是（）

A．5x＋4＝0则5x＝－4B．

得y＝10

C．

则

D．3x＝4则

03．（第18届“希望杯”赛题）方程

的解是x＝____

A．

B．

C．

D．

04．（广西竞赛题）若方程（m2－1）x2－mx＋8＝x是关于x的一元一次方程，则代数式m2008－|m－1|的值为（）

A．1或一1B．1C．－1D．2

05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（）

A．1814.25B．1824.55C．1774.45D．1784.45

06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（）

A．

B．

C．3