学年北京市朝阳区高二下学期期末数学试题docx.docx
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2018-2019学年北京市朝阳区高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合
A
xx（x
1）
0
，B
xx
1
，则
AUB
（
）
A．
xx
1
B．
xx
1
C．
xx
0
D．
【答案】
C
【解析】化简集合A，求出并集即可.
【详解】
QA
{x|
1x
0}
A
B
{x|x
0}
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了集合的并集，属于基础题.
2．已知x，y
R，且xy
0，则（
）
1
1
B．
（1）x
（1）y
1
1
D．sinxsiny
A．
y
C．x2
y2
x
2
2
【答案】B
1
x
【解析】取特殊值排除
ACD选项，由指数函数
y
的单调性证明不等式，即可得
2
出正确答案.
【详解】
当x
1,y
1
时，
1
1
1
2
x
2，则A错误；
y
x
1
1y
y
1
在R上单调递减，
x
y，则（
）
x
（
2
2
），则B正确；
2
1
1
当x
4,y1时，x2
2
y2
1，则C错误；
当x
3,y
时，sinx
1
siny
1，则D错误；
2
2
故选：
B
【点睛】
本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.
3
．如果函数
yf（x）在
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲线，
f（a）
f（b）
0
”
那么“
是“函数y
f（x）在（a,b）内有零点”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由零点存在性定理得出
“
f（b）
0，则函数
y
f（x）
在（a,b）内有零
若f（a）
点”举反例即可得出正确答案.
【详解】
由零点存在性定理可知，若
f（a）
f（b）
0，则函数y
f（x）在（a,b）内有零点
而若函数y
f（x）在（a,b）内有零点，则
f（a）
f（b）
0不一定成立，比如
f（x）
x2
在区间（2,2）内有零点，但
f（
2）
f
（2）
0
f（a）
f（b）0
”是“函数
y
f（x）在
（a,b）
内有零点”的充分而不必要条件
所以“
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4．二项式（2x1）6展开式中的常数项为（
）
x
A．960
B．160
C．160
D．960
【答案】B
【解析】求出二项展开式的通项，使得x的指数为0，即可得出常数项.
【详解】
通项为C6r（2x）6
r
x1r
C6r26r
（1）rx62r
Q62r0
r
3
常数项为C6323
（1）3
160
故选：
B
【点睛】
本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题.
5．已知
π
π
1
sin
cos
（
）
（
）
4
7
2
1
B．
2
C．
1
D．
A．
5
5
7
【答案】C
1
5
【解析】由两角和的正切公式得出sin
3cos，结合平方关系求出
4
cos
4
3
+cos的值.
sin
，即可得出sin
5
5
【详解】
Qtan
1
tan
1
4
1
tan
7
tan
3
，即sin
3cos
4
4
3cos
2
4
3
cos2
由平方关系得出
1，解得：
cos
sin
4
5
5
sin
cos
3
4
1
5
5
5
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题
.
6．将函数ysinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再将所
π
得图象上所有的点向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（）
4
A．ysin（2x）B．
4
C．ycosxD．
2
ysin（x）
24
ycos2x
【答案】D
【解析】由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案
.
【详解】
函数ysinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1倍（纵坐标不变）得到
2
y
sin2x，再将所得图象上所有的点向左平移
π个单位长度，得到
4
y
sin2x
sin
2xcos2x
4
2
故选：
D
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题.
7．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个大等边三角形，设BD2AD，则VDEF与VABC的面积之比为（）
1
1
1
1
A．
B．
C．
D．
2
3
5
7
【答案】D
【解析】由题意得出点D为AF的中点，由余弦定理得出AB
7AD，结合三角形
面积公式得出正确答案.
【详解】
QBD2AD,AF
BD，
AF
2AD，即点D为AF的中点
由余弦定理得：
AB2
AD2
BD2
2ADBDcos120
解得：
AB
7AD
SVDEF
1（AD）
2sin60
1
2
SVABC
1
2
7
7ADsin60
2
故选：
D
【点睛】
本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.
8．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务，任务是组织游客
参加“祝福祖国征集留言”、“欢乐世园共绘展板”、“传递祝福发放彩绳”三项活动，其中
1人负责“征集留言”，2人负责“共绘展板”，3人负责“发放彩绳”，则不同的分配方案共
有（）
A．30种B．60种C．120种D．180种
【答案】B
【解析】从6人中选1人负责“征集留言”，从剩下的人中选2人负责“共绘展板”，再从
剩下的人中选
3人负责“发放彩绳，即可得出不同的分配方案
.
【详解】
从6人中选
1人负责“征集留言”，从剩下的人中选
2人负责“共绘展板”，再从剩下的人
中选
3人负责“发放彩绳，则不同的分配方案共有
C61C52C33
60种
故选：
B
【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，属于基础题.
exex
9．函数fx的图象大致为（）
x
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据解析式依次求出函数的定义域、奇偶性、函数值，用排除法得出结论．
【详解】
解：
∵f
x
ex
e
x
00,
，
x
，∴函数的定义域为
又fx
ex
ex
f（x），
x
则函数f
x
ex
e
x
A选项；
x
是奇函数，图象关于原点对称，故排除
又f1
e1
1
0，故排除C、D两个选项；
e
故选：
B．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，一般根据函数的定义域、奇偶性、特殊点的函数值、单
调性解题，一般用排除法，属于中档题．
10．已知函数fx
ksinx2x
1kR
，当k
（,2）U（2,
）时，f
x在
0,2
内的极值点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】求导令导函数等于
2
g（x）
cosx，（0,2p），
0，得出cosx
，将问题转化为函数
k
h（x）
2
2）
（2,
）的交点问题，画出图象即可判断.
，x（
x
【详解】
令f
（x）kcosx
2
0得出cosx
2
k
令函数g（x）cosx，（0,2p），h（x）
2
（,
2）（2,
）
，x
x
它们的图象如下图所示
由图可知，函数
g（x）cosx，（0,2p），h（x）
2
）有两个不
，x（,2）（2,
x
同的交点，则f
x在（0,2p）内的极值点的个数为
2个
故选：
C
【点睛】
本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.
二、填空题
2
11．83
log26log23
__________．
【答案】5
【解析】利用指数和对数的运算即可求解
.
【详解】
2
2
83
log26log2323
3log26
4
15
3
故答案为：
5
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算，属于基础题.
12．函数f（x）
1
x
1（x0）的值域为_______．
x
【答案】（
1]
【解析】利用导数求出函数
f（x）的单调性，由单调性即可得出值域.
【详解】
f（x）
1
1
x2
1
x
2
x
2
当f（x）0
0x
1，当f（x）0x1
所以函数f（x）在区间（0,1）
上单调递增，在区间（1,
）上单调递减
则f（x）max
f
（1）
1
1
1
1
即函数f
（x）的值域为（
1]
故答案为：
（
1]
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的值域，属于基础题
.
13．若小明在参加理、化、生三门课程的等级性考试中，取得等级
A的概率均为
3，
5
且三门课程的成绩是否取得等级A互不影响．则小明在这三门课程的等级性考试中恰
有两门取得等级A的概率为_______．
【答案】
54
125
【解析】利用n次独立重复试验的公式即可求解.
【详解】
这三门课程的等级性考试取得的等级可看成进行3次相互独立的重复试验
因而小明在这三门课程的等级性考试中恰有两门取得等级A的概率为
PC323
2
3
54
1
5
5
125
54
故答案为：
125
【点睛】
本题主要考查了n次独立重复试验的概率问题，属于基础题.
14．在VABC中，bsinAsinBacos2B
a
_______．
3b，则
b
【答案】
3
【解析】由正弦定理的边化角公式化简得出
sinA=3sinB，再次利用正弦定理的边
化角公式得出
a
sinA.
b
sinB
【详解】
由正弦定理的边化角公式得出sinAsin2B
sinAcos2B
3sinB
即sinA=
3sinB
所以a
sinA
3
b
sinB
故答案为：
3
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，属于中档题.
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用
图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使
用（如图2）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．因
筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒（视为质点）
的运动规律．将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系（如图3）．设经过t秒后，
筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离
水面的高度H（单位:
m）
，由以下量所决定：
筒车转轮的中心
O
到水面的距离
h
，筒车
的半径r，筒车转动的角速度
ω（单位:
rad/s），盛水筒的初始位置
P0以及所经过的
时间t（单位:
s
）．已知r=3m，h=2m，筒车每分钟转动（按逆时针方向
）圈，点P0距离
水面的高度为
m，若盛水筒M从点P0
开始计算时间，则至少需要经过
_______s就可
到达最高点；若将点P距离水面的高度
H表示为时间t的函数，则此函数表达式为
_________．
图1
图2
图3
【答案】20
H（t）3sin（
t
）2（t≥0）
3
20
6
【解析】由题设条件求出初始位置
OP0与x非负半轴的夹角，当P第一次到达最高点时，
求出所转过的弧度，根据筒车每秒钟转动的弧度，求出第一次到达最高点的时间，即可
得出第一空；
由三角函数的定义得出动点P的纵坐标，利用纵坐标求出点P距离水面的高度H，即
可得出第二空.
【详解】
因为点P0距离水面的高度为
m，则开始时OP0
与x非负半轴的夹角为
6
由题意可知，筒车每分钟转动
（按逆时针方向）3
3
，即筒车每秒钟转动
20
60
当P第一次到达最高点时，所转过的弧度为
，则所用时间为
3
20
6
3
2
3
20
即若盛水筒M从点P0开始计算时间，则至少需要经过
20s就可到达最高点；
3
设OP与x非负半轴的夹角为，则t
206
由三角函数的定义可知点
P的纵坐标为y
OPsin
t
6
3sin
t
，
20
20
6
（t≥0）
则点P距离水面的高度
H的函数为H（t）
y
（2）
3sin（
t
）
2，（t≥0）
20
6
故答案为：
20；H（t）
3sin（t
）
2（t≥0）
3
20
6
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于中档题
.
16．已知函数f（x）
x
k,x
0,
x2
1,x
其中k0．①若k2，则f（x）的最小值为
0,
______；
②关于x的函数y
f（f（x））有两个不同零点，则实数
k的取值范围是
______．
【答案】
1
[0,1）
【解析】
①
讨论x
0和x
0时，函数f（x）的单调性，由单调性得出函数
f（x）的最
小值；
②令f（x）
t，则y
f（t），将函数y
f（f（x））的零点问题，转化为函数
f（x）与函
数yt
1的交点问题，讨论
k的范围，即可得出k的范围.
【详解】
①当x
0时，f（x）
x
2在区间（
0）上单调递减，则
f（x）2
当x0时，f（x）
x2
1在区间（0,
）上单调递增，则f（x）⋯f（0）
1
则f（x）的最小值为
1
②令f（x）
t，则y
f（t）
当k[0,1）时，函数
f（x）的图象如下图所示
则f（t）0
t1，则函数
f（x）与函数yt
1
有两个交点，则
k
[0,1）
满足题意
当k1,
时，函数f（x）
的图象如下图所示
则f（t）0t1，则函数f（x）与函数yt1只有一个交点，则k1,不满足
题意
综上，k[0,1）
故答案为：
①1②[0,1）
【点睛】
本题主要考查了由分段函数的单调性求最值以及由函数的零点个数求参数的范围，属于
中档题.
三、解答题
17．已知函数f（x）
sinxcosx
3cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在[0,m]上单调递增，求
m的最大值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）π
12
【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦公式以及辅助角公式化简函数
f（x），由周期公
式求解即可；
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