新课标全国3卷理数.docx
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新课标全国3卷理数
2018年全国统一咼考数学试卷（理科）（新课标皿）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.（2018?
新课标川）已知集合A={x|x-1>0},B={0,1,2}，则AAB=（）
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
2.（5分）（2018?
新课标川）（1+i）（2-i）=（）
A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i
3.（2018?
新课标川）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来•构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，
4.
图中木构件右边的小长方体是榫头•若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）
ABCD
8.（2018?
新课标川）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为
该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（x=4）VP（X=6）,贝Up=（）
2,12_2
9.
（2018?
新课标川）△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,6若厶ABC的面积为'''，则C=（）
、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量自=（1,2）,b=（2,-2）,C=（1,".若C//（2已+t>），贝U入=
14.曲线y=（ax+1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为-2,贝Va=.
15.函数f（x）=cos（3x+）在［0,n的零点个数为.
6
2
16.已知点M（-1,1）和抛物线C:
y=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若/AMB=90，贝Uk=.
三、解答题：
共70分。
17.（12分）等比数列｛an｝中，a1=1,a5=4a3.
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）记Sn为｛an｝的前n项和.若Sm=63,求m.
18.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第
第一种生产方式
第二种生产方式
8
6
55689
9762
7
0122345668
9877654332
8
1445
21100
9
0
二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位:
min）绘制了如下茎叶图:
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人
数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附.K2=m一丨：
1'
:
in：
ub
2
P（K>k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧I所在平面垂直，M是I上异于C,D的点.
（1）证明：
平面AMD丄平面BMC;
（2）
当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
|成等差数列,
（0，—匚）且倾斜角为a的
（1）证明：
kv—1；
2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且齐+■■+■!
'.=I•证明：
|,Pl'|,
并求该数列的公差.
2
21.已知函数f（x）=（2+x+ax2）In（1+x）-2x.
（1）若a=0，证明：
当-1vxv0时，f（x）v0；当x>0时，f（x）>0;
（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a.
［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）fx=cose
22.在平面直角坐标系xOy中，OO的参数方程为一，（B为参数），过点
ty=smy
直线I与OO交于A,B两点.
（1）求a的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.
［选修4-5:
不等式选讲］（10分）
23.（2018?
新课标川）设函数f（x）=|2x+11+|x—1|.
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x€[0,+8）时，f（x）wax+b，求a+b的最小值.
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标川）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C;2.D;3.A;4.B;5.C;6.A;7.D;8.B;9.C;10.B;11.C;12.B;
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.丄；14.—3;15.3;16.2;
z—一一
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）（2018?
新课标川）已知集合A={x|x-1>0},B={0,1,2}，则AAB=（）
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.
【解答】解：
IA={x|x—1>0}={x|x>1},B={0,1,2},
•••AAB={x|x>1}A{0,1,2}={1,2}.
故选：
C.
2.（5分）（2018?
新课标川）（1+i）（2—i）=（）
A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:
（1+i）（2—i）=3+i.
故选：
D.
3.（5分）（2018?
新课标川）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼,
图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼
的木构件的俯视图可以是（）
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可.
【解答】解：
由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.
故选：
A.
4.（5分）（2018?
新课标川）若
sin
1
a=，
则COS2a=（
A.二B.|C.-丄D.-—
9999
2
【分析】C0S2a=1-2sina,由此能求出结果.
【解答】解：
•••sina=,
3
•••C0S2a=—2Sin2a=-2X_L=I
99
故选：
B.
5.（5分）（2018?
新课标川）（x2+…）5的展开式中x4的系数为（）
X
A.10B.20C.40D.80
r=：
m「丨,由10-3r=4,
u
【分析】由二项式定理得（X2+：
：
）5的展开式的通项为：
Tr+1=-（x2）5-r（'）
解得r=2,由此能求出（x2+2）5的展开式中x4的系数.
x
【解答】解：
由二项式定理得（x2+■）5的展开式的通项为：
X
Tr+1=-（x2）5-「（&「=」•・-：
°Z
由10-3r=4，解得r=2,
•（x2+—）5的展开式中x4的系数为三=40.
X5
故选：
C.
22
P在圆（x-2）+y=2上,则厶
.'.II-'）,点P到直线x+y+2=0
由此能求出△ABP面积的取值
6.（5分）（2018?
新课标川）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点ABP面积的取值范围是（）
A.[2,6]B.[4,8]C.[■:
3'：
]D.[2■:
3■:
]
【分析】求出A（-2,0）,B（0,-2）,|AB|=2、应，设P（2血CQS&,£
的距离：
d=一—门
V2V2
范围.
【解答】解：
•••直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，
•••令x=0,得y=-2,令y=0，得x=-2,
•A（-2,0）,B（0,-2）,|AB|=.17二2匚,
•••点P在圆（x-2）2+y2=2上，•设P（2+Y丄）,
•••点P到直线x+y+2=0的距离：
12+V2cos06+21
d=
V2
|2sin（9+-^）+4|
€[心2],
兀|2sin（6
•••sin（;）€[-1,1],-d=
•△ABP面积的取值范围是:
[「—-「一:
:
二[]=【2,6]-
7.（5分）（2018?
新课标川）函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.
【解答】解：
函数过定点（0,2）,排除A,B.
函数的导数f'（x）=-4x3+2x=-2x（2x2-1）,
由f'（x）>0得2x（2x2-1）v0,
得xv-二丄或0v，此时函数单调递增，排除C,
22
故选：
D.
故选：
A.
8.（5分）（2018?
新课标川）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设
X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（x=4）VP（X=6）,则p=（）
A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可.
【解答】解：
某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X〜B（10,p）,
P（x=4）VP（X=6）,可得CiOp4（l-p）e£.
因为DX=2.4,可得10p（1-p）=2.4,解得p=0.6或p=0.4（舍去）.
故选：
B.
【解答】解：
•••△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
2bc
ji
-0VCvn,--C=.
4
故选：
C.
10.（5分）（2018?
新课标川）设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9「，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）
A.12「；B.18■:
C.24:
D.54■:
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可.
【解答】解：
△ABC为等边三角形且面积为9二，可得亠丄—八比I；,解得AB=6,
球心为O,三角形ABC的外心为0',显然D在O0的延长线与球的交点如图：
O'C=，仝，00=J••：
-=2,
则三棱锥D-ABC高的最大值为：
6,
则三棱锥D-ABC体积的最大值为：
：
..|,'=18
22
11.
（5分）（2018?
新课标川）设F1,F2是双曲线C:
-'=1（a>0.b>0）的左，右焦点，O是坐标原点.过
a2bZ
F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若IPFJn^lOP，则C的离心率为（）
A.；.级B.2C.「；D.■:
【分析】先根据点到直线的距离求出|PFJ=b,再求出|OP=a,在三角形F1PF2中，由余弦定理可得
IPF|2=|PF2|2+|F1F2I2-2|PF2I?
|F1F2Icos/PF2O，代值化简整理可得、：
：
'-a=c,问题得以解决.
【解答】解：
双曲线C：
二一-==1（a>0.b>0）的一条渐近线方程为y」x,
_212凤
•••点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,•••lOPl=.'「-=a,cos/PRO-,
•-IPFi|=7|OP|,
•••IPFi|詁0,
在三角形FiPFF中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2I2-2|PR|?
|FiR|COSZPF2O,
•6a2=b2+4c2-2Xbx2cx一=4c2-3b2=4c2-3（c2-a2）,
c
即3a2=c2,
即呼'：
ja=c,
•e==■:
a
故选：
C.
12.（5分）（2018?
新课标川）设a=logo.20.3,b=log20.3，则（）
A.a+bvabv0B.abva+bv0C.a+bv0vabD.abv0va+b
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.
【解答】解：
•a=log02°.3」呂。
山,b=log20.3」或"*,
7吕51§2
5
7„〔：
：
「「〕；=「：
=「：
Ig21g5
IgO.31§0,31戎”・lg罟
一•二>
lg2lg5lg21E5
•abva+bv0.
1呂2鹿5'
故选：
B.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
十十十
13.（5分）（2018?
新课标川）已知向量吐（1,2）,b=（2,-2）,C=（1,门.若C//（2日+卜）,贝U入―豆一.
【分析】利用向量坐标运算法则求出2；+b=（4,2）,再由向量平行的性质能求出入的值.
【解答】解：
••向量3=（1,2）,b=（2,-2）,
•:
!
=（4,2）,
•=（1,）71（2i+■■）,
「■
•■一，
解得入=.
2
故答案为：
；.
14.（5分）（2018?
新课标川）曲线y（ax+1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为-2,贝Va=-3【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可.
【解答】解：
曲线y（ax+1）ex,可得y'=ae（ax+1）ex,曲线y=（ax+1）ex在点（0,1）处的切线的斜率为-2,可得：
a+仁-2,解得a=-3.
故答案为：
-3.
15.（5分）（2018?
新课标川）函数f（x）=cos（3x+）在[0,n的零点个数为
6
可得3x+=+kn,k€Z,即x=+kn,
6293
【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+）=0,
6
即可求出.
【解答】解：
•••f（x）=cos（3x+"）
6
=0,
/•3x+卫_JL+kn,k€Z,
62
•••x=+一kn,k€Z,
93
k=0
时,
X—,
9
k=1
时,
x=n,
9
k=2
时,
7x=n,
9
k=3
时,
x=n,
9
x€[
0,
n,
JI
X=—
:
或x=…n,
当
当
当
当
9
或x=n,
99
故零点的个数为3,
故答案为：
3
2
16.（5分）（2018?
新课标川）已知点M（-1,1）和抛物线C：
y=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于
A,B两点.若/AMB=90°贝Uk=
2.
【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k（x-1）,然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2-2（2+k2）
x+k2=0,可表示X1+X2,X1X2,y1+y2,y〔y2,由/AMB=90,向量的数量积为0,代入整理可求k.
【解答】解：
•••抛物线C:
y2=4x的焦点F（1,0）,
•••过A,B两点的直线方程为y=k（x-1）,
2_
联立（屮一4葢可得，k2x2-2（2+k2）x+k2=0,
y=k（x-l）
设A（X1,yj,B（X2,y2）,
4+4
X1+X2=,X1X2=1,
二y1+y2=k（X1+X2-2）=,y1y2=k2（X1-1）（X2-1）=『[X1X2-（X1+X2）+1]=-4,
k
M（-1,1）,
-MA=（xi+i,yi-1）,MB=（X2+1,y2—1）,
•••/AMB=90=0,「.”,？
TI，=O
■'■（xi+1）（X2+I）+（yi-1）（y2-1）=0,整理可得，Xix2+（X1+X2）+yiy2-（yi+y2）+2=0,
1+2+‘一-4-二+2=0,
k2k
即k2-4k+4=0,
■k=2.
故答案为：
2
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）（2018?
新课标川）等比数列｛an｝中，ai=i,a5=4a3.
（1）求｛an｝的通项公式；
（2）记Sn为｛an｝的前n项和.若Sm=63,求m.
【分析】
（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出｛an｝的通项公式.
n
（2）当ai=1,q=-2时，Sn=.，由Sm=63，得Sm='=63,m€N,无解；当ai=1,q=2时，Sn=2
-1，由此能求出m.
【解答】解:
（1）：
等比数列｛an｝中，ai=i,a5=4a3.
■1xq4=4x（1xq2）,
解得q=±2,
当q=2时，an=2n1,
当q=-2时，an=（-2）n1,
■｛an｝的通项公式为，an=2n-1，或an=（-2）
（2）记Sn为｛an｝的前n项和.
当ai=i,q=-2时,
=巧（[-q11）=1-（-2）二1-（-2严
1-q3
.-1n当ai=1,q=2时，Sn===2-1,
1-q1-2
由5m=63,得Sm=2-1=63,m€N,
解得m=6.
18.（12分）（2018?
新课标川）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新
的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第
一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎
叶图：
第一种生产方式
第二种生产方式
8
6
55689
9762
7
0122345668
9S77654332
8
1445
21100
9
0
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数
填入下面的列联表:
超过
m
不超过
m
第种生产方式
第二种生产方式
（3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附：
K2=M1：
1'
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
P（K2>k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】
（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高;
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论.
【解答】解：
（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在70〜92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65〜90之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m-r=80;
2
由此填写列联表如下;
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据
（2）中的列联表，计算
n（ad-衣严=40X（15X15-5X5）2
：
..i''-'■:
d：
=.II.':
:
•••能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.（12分）（2018?
新课标川）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是I1上
异于C,D的点.
（1）证明：
平面AMD丄平面BMC;
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
22
20.（12分）（2018?
新课标川）已知斜率为k的直线I与椭圆C:
'+——=1交于A,B两点，线段AB的中点为
4I；
M（1,m）（m>0）.
（1）证明：
kv-丄
2
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且[+;+—=i.证明：
|■「」，|丁|,^d成等差数列，并求该数列的公差.
【分析】
（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,利用点差法得6（x1—x2）+8m（y1—y2）
=0,k=^F=-6=-3x!
-x
12
又点M（1,m）在椭圆内，即^，解得m的取值范围，即可得
43
（2）设A（X1,y1）,B（X2,y2）,C（X3,『3）,可得X1+x?
=2
kv-丄
2
由’丨'+■「+1=I,可得X3-1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a-ex1=2-X1,|FB|=2-X2,|FP|=2-
22
13
亍3芍•即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A,B坐标再求公差.
££
【解答】解：
（1）设A（X1,y1）,B（X2,
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