新课标全国3卷理数.docx

1、新课标全国3卷理数2018年全国统一咼考数学试卷（理科）（新课标皿）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1 .（2018?新课标川）已知集合 A=x|x- 1 0, B=0, 1 , 2，则 AA B=（ ）A. 0 B. 1 C. 1, 2 D. 0, 1, 22. （5 分）（2018?新课标川）（1+i） （ 2 - i）=（ ）A. - 3 - i B.- 3+i C. 3 - i D. 3+i3.（2018?新课标川）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，4.图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方

2、体，则咬合时 带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）ABC D8.（2018?新课标川）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立.设 X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， DX=2.4, P （x=4）V P （X=6）,贝U p=（ ）2,1 2_ 29. (2018?新课标川) ABC内角A, B, C的对边分别为a, b, 6若厶ABC的面积为 ，则C=( )、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量 自=(1, 2), b = (2, - 2), C = (1,.若 C/( 2 已+ t)，贝 U 入=14. 曲线y= (ax+1)

3、ex在点(0, 1)处的切线的斜率为-2,贝V a= .15. 函数f (x) =cos (3x+ )在0, n的零点个数为 .6216. 已知点M (- 1, 1 )和抛物线 C: y=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A, B两点. 若/ AMB=90，贝U k= .三、解答题：共70分。17.(12 分)等比数列an中，a1=1, a5=4a3.(1 )求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m .18.(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比 较两种生产方式的效率，选取 40名工人，将他们随机分成两组

4、，每组 20人.第一组工人用第一种生产方式，第第一种生产方式第二种生产方式865 5 6 8 99 7 6 270 1 2 2 3 4 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3 2814 4 52 110 090二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1 )根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有

5、差异?附.K2= m 一 丨：1 :in： ub2P ( K k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.( 12分)如图，边长为 2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 I所在平面垂直，M是I上异于C, D的点.(1)证明：平面 AMD丄平面BMC;(2)当三棱锥 M - ABC体积最大时，求面 MAB与面MCD所成二面角的正弦值.| 成等差数列,(0，匚 )且倾斜角为a的(1)证明：kv 1 ；2(2) 设F为C的右焦点，P为C上一点，且齐+ + !.= I证明：| , Pl | ,并求该数列的公差.221.已知函数 f (x) = (2+x+ax2) In (

6、1+x)- 2x.(1) 若 a=0，证明：当-1 v xv 0 时，f (x)v 0 ；当 x 0 时，f (x) 0;(2)若x=0是f (x)的极大值点，求 a.选修4-4 :坐标系与参数方程(10分) fx=cos e22.在平面直角坐标系 xOy中，O O的参数方程为 一，(B为参数)，过点ty=sm y直线I与O O交于A, B两点.(1 )求a的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.选修4-5 :不等式选讲(10分)23.(2018?新课标川)设函数 f (x) =| 2x+11+| x 1| .(1)画出y=f (x)的图象；(2)当 x 0, +8)时，f (x)w

7、ax+b，求 a+b 的最小值.2018年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标川）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。1.C; 2. D; 3. A; 4. B; 5. C; 6. A; 7. D; 8. B; 9. C; 10. B; 11. C; 12. B;二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13.丄；14. 3; 15. 3; 16. 2;z 一 一一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。1 .（ 5 分）（201

8、8?新课标川）已知集合 A=x|x- 1 0, B=0, 1, 2，则 AA B=（ ）A. 0 B. 1 C. 1, 2 D. 0, 1 , 2【分析】求解不等式化简集合 A,再由交集的运算性质得答案.【解答】 解：I A=x| x 10=x| x 1 , B=0, 1, 2, AA B= x| x 1 A 0, 1 , 2=1 , 2.故选：C.2. （5 分）（2018?新课标川）（1+i） （ 2 i）=（ ）A. 3 i B. 3+i C. 3 i D. 3+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解: （1+i） （2 i） =3+i.故选：D.3. （5分）（

9、2018?新课标川）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来. 构件的凸出部分叫榫头， 凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【分析】 直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可.【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图 形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3边是虚线，所以木构件的俯视图是 A.故选：A.4. （ 5分）（2018?新课标川）若sin1a=，则 COS2 a =(A.二 B. | C.-

10、丄 D.- 9 9 9 92【分析】C0S2a =1- 2sin a,由此能求出结果.【解答】 解： sin a=,3 C0S2 a = 2Sin2 a =- 2X _L= I9 9故选：B.5. （5分）（2018?新课标川）（x2+）5的展开式中x4的系数为（ ）XA. 10 B. 20 C. 40 D. 80r=：m丨,由 10- 3r=4 ,u【分析】由二项式定理得（X2+： ） 5的展开式的通项为：Tr+1= - （x2） 5-r （）解得r=2,由此能求出（x2+2） 5的展开式中x4的系数.x【解答】解：由二项式定理得（x2+ ） 5的展开式的通项为：XTr+1= - （x2）

11、5-（ &=-： Z由 10 - 3r=4，解得 r=2, （ x2+） 5的展开式中x4的系数为三=40.X 5故选：C.2 2P在圆（x- 2） +y =2上,则厶.II-）,点 P 到直线 x+y+2=0,由此能求出 ABP面积的取值6. （5分）（2018?新课标川）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A, B两点，点 ABP面积的取值范围是（ ）A. 2, 6 B. 4, 8 C. :, 3 ： D. 2 :, 3 :【分析】 求出 A （- 2, 0）, B （ 0,- 2）, | AB|=2、应，设 P （2血 CQS & , 的距离：d= 一 门V2 V2范围.【解答】解：直

12、线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A , B两点，令 x=0,得 y=- 2,令 y=0，得 x=- 2 , A （- 2 , 0）, B （0, - 2）, |AB| = .17二2 匚,点 P 在圆（x - 2） 2+y2=2 上，设 P （2+ Y 丄）,点P到直线x+y+2=0的距离：12+V2cos 0 6 +21d=V2|2sin(9 +-)+4| 心 2,兀 |2sin(6sin (;) - 1 , 1, - d= ABP面积的取值范围是:-一:二=【2, 6-7. (5分)(2018?新课标川)函数 y=- x4+x2+2的图象大致为( )【分析】根据函数图象的特点，求函数的

13、导数利用函数的单调性进行判断即可.【解答】解：函数过定点(0, 2),排除A, B.函数的导数 f( x) =- 4x3+2x= - 2x (2x2 - 1),由 f(x) 0 得 2x ( 2x2- 1 )v 0,得xv-二丄或0v ，此时函数单调递增，排除 C,2 2故选：D.故选：A.8. (5分)(2018?新课标川)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， DX=2.4, P (x=4)V P (X=6),则p=( )A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3【分析】利用已知条件，转化为二项分布

14、，利用方差转化求解即可.【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，看做是独立重复事件，满足 XB ( 10, p),P (x=4)V P( X=6),可得 CiOp4(l-p)e .因为 DX=2.4,可得 10p (1 - p) =2.4,解得 p=0.6 或 p=0.4 (舍去).故选：B.【解答】解： ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.2bcji-0 V Cv n, - - C= .4故选：C.10.（ 5分）（2018?新课标川）设 A, B, C, D是同一个半径为4的球的球面上四点， ABC为等边三角形且面积 为9，则三棱锥D- ABC体积的最大

15、值为（ ）A. 12 ； B. 18 :C. 24 :D. 54 :【分析】求出， ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断 D的位置，然后求解即可.【解答】解： ABC为等边三角形且面积为 9二，可得 亠丄八 比I；,解得AB=6,球心为O,三角形ABC的外心为0,显然D在O 0的延长线与球的交点如图：O C=，仝，00 = J ：-=2,则三棱锥D-ABC高的最大值为：6,则三棱锥D-ABC体积的最大值为：. .|,=182 211.（5分）（2018?新课标川）设F1, F2是双曲线C: - =1 （a 0. b 0）的左，右焦点，O是坐标原点.过a2 bZF2作C的一条渐近线的垂线，垂

16、足为 P,若IPFJnlOP，则C的离心率为（ ）A.；.级 B. 2 C. ； D. :【分析】先根据点到直线的距离求出| PFJ =b,再求出| OP =a,在三角形F1PF2中，由余弦定理可得I PF| 2=| PF2| 2+| F1F2I 2 - 2| PF2I ?| F1F2I cos/ PF2O，代值化简整理可得、： - a=c,问题得以解决.【解答】解：双曲线C：二一-=1 （ a0. b0）的一条渐近线方程为 yx,_ 2 1 2 凤点F2到渐近线的距离d= =b,即| PF2| =b, lOPl = .-=a, cos/ PRO-,- I PFi|= 7| OP| ,I PF

17、i| 詁0,在三角形 FiPFF 中，由余弦定理可得 | PF1|2=| PF2|2+| F1F2I2- 2| PR| ?| FiR| COSZ PF2O,6a2=b2+4c2- 2X bx 2cx 一=4c2 - 3b2=4c2- 3 (c2 - a2),c即 3a2=c2,即呼 ：ja=c,e= = :,a故选：C.12.(5 分)(2018?新课标川)设 a=logo.20.3, b=log20.3，则( )A. a+bv abv0 B. abv a+bv 0 C. a+bv 0v ab D. ab v 0v a+b【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.【解答】解： a=log0

18、 2.3呂。山,b=log20.3或* ,7吕5 1257：；=：=：Ig21g5,IgO. 3 10, 3 1 戎”lg罟一 二 lg2 lg5 lg21E5 abv a+bv 0.1呂2鹿5 故选：B.二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。十 十 十13.(5分)(2018?新课标川)已知向量 吐(1, 2), b= (2, - 2) , C= ( 1,门.若C/( 2日+卜),贝U入豆一.【分析】利用向量坐标运算法则求出 2； +b= (4, 2),再由向量平行的性质能求出 入的值.【解答】解：向量3= (1, 2) , b = (2,- 2),:! = (4, 2),= (

19、1, ) 71( 2 i+ ), 一 ，解得入=.2故答案为：；.14.(5分)(2018?新课标川)曲线 y (ax+1) ex在点(0 , 1)处的切线的斜率为-2,贝V a= - 3 【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可.【解答】 解：曲线 y (ax+1) ex,可得y =ae (ax+1) ex, 曲线y= (ax+1) ex在点(0, 1)处的切线的斜率为-2, 可得：a+仁-2,解得a=- 3.故答案为：-3.15. (5分)(2018?新课标川)函数f (x) =cos (3x+ )在0, n的零点个数为6可得 3x+ = +k n, k Z,即 x= + k

20、 n,6 2 9 3【分析】由题意可得f (x) =cos (3x+ ) =0,6即可求出.【解答】 解： f (x) =cos ( 3x+ )6=0,/ 3x+卫_JL+k n, k Z,6 2 x= +一k n, k Z,9 3k=0时,X ,9k=1时,x= n,9k=2时,7 x= n,9k=3时,x= n ,9x 0 ,n,JIX=:或x=n,当当当当9或 x= n,9 9故零点的个数为3,故答案为：3216. (5分)(2018?新课标川)已知点 M (- 1 , 1 )和抛物线 C： y =4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A , B 两点.若/ AMB=90 贝U k=2

21、 .【分析】由已知可求过 A , B两点的直线方程为 y=k (x- 1),然后联立直线与抛物线方程组可得， k2x2- 2 (2+k2)x+k2=0 ,可表示X1+X2 , X1X2 , y1+y2 , yy2 ,由/ AMB=90 ,向量的数量积为 0 ,代入整理可求 k.【解答】解：抛物线C: y2=4x的焦点F (1 , 0),过A, B两点的直线方程为 y=k ( x- 1),2_联立(屮 一4葢 可得，k2x2- 2 (2+k2) x+k2=0 ,y=k(x-l)设 A (X1 , yj , B (X2 , y2),4+4X1 +X2= , X1X2=1 ,二 y1+y2=k (

22、X1+X2 - 2) = , y1y2=k2 ( X1 - 1 ) ( X2 - 1)=X1X2-( X1+X2)+1 =- 4 ,kM (- 1, 1),-MA= (xi+i, yi - 1), MB = (X2+1, y2 1),/ AMB=90 =0,. ” ,？TI，=O( xi+1) (X2+I) + (yi - 1) (y2- 1) =0, 整理可得，Xix2+ (X1+X2) +yiy2 -(yi+y2)+2=0,1+2+ 一 - 4-二+2=0,k2 k即 k2 - 4k+4=0, k=2.故答案为：2三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721

23、题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60分。17.（12 分）（2018?新课标川）等比数列an中，ai=i, a5=4a3.（1 ）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m .【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q= 2，由此能求出an的通项公式.n(2)当 ai=1, q= - 2 时，Sn= . ，由 Sm=63，得 Sm= =63, m N,无解；当 ai =1, q=2 时，Sn=2-1，由此能求出m.【解答】解:(1)：等比数列an中，ai=i, a5=4a3.1 x q4=4

24、x( 1 x q2),解得q= 2,当 q=2 时，an=2n 1,当 q= - 2 时，an= (- 2) n 1,an的通项公式为，an=2n-1，或an= (- 2) (2)记Sn为an的前n项和.当 ai=i , q= - 2 时,=巧(-q11) =1-(-2)二1-(-2严1-q 3. - 1 n 当 ai=1 , q=2 时，Sn= = =2 - 1,1-q 1-2由 5m =63,得 Sm=2 - 1=63, m N,解得m=6.18.（12分）（2018?新课标川）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取

25、 40名工人，将他们随机分成两组，每组 20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min ）绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式865 5 6 8 99 7 6 270 1 2 2 3 4 5 6 6 89 S 7 7 6 5 4 3 3 2814 4 52 110 090(1 )根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下面的列联表:超 过m不超过m第种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有

26、 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附：K2= M 1 ： 1 (a+b) (c+d) (a+c) (b+d)P (K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高;(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；(3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论.【解答】解：(1)根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7092之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6590之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)这40名工人完成生产任务

27、所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79和81,计算它们的中位数为 m-r=80;2由此填写列联表如下;超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040(3)根据(2)中的列联表，计算n(ad-衣严 =40X (15X15-5X5)2：.i - : d：= . II.:能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(12分)(2018?新课标川)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是I1上异于C, D的点.(1)证明：平面 AMD丄平面BMC; (2)当三棱锥 M - ABC体积最大时，求面 MAB与面MC

28、D所成二面角的正弦值.2 220.(12分)(2018?新课标川)已知斜率为 k的直线I与椭圆C: +=1交于A, B两点，线段AB的中点为4 I；M (1, m) ( m 0).(1)证明：kv-丄2(2) 设F为C的右焦点，P为C上一点，且 +;+= i.证明：| ，|丁| , d成等差数列，并求该数 列的公差.【分析】(1)设 A (x1 , y1) , B ( x2 , y2),利用点差法得 6 (x1 x2) +8m (y1 y2)=0 , k=F=- 6 =- 3 x! -x1 2又点M (1 , m)在椭圆内，即 ，解得m的取值范围，即可得4 3(2)设 A (X1, y1), B (X2 , y2), C (X3 ,3),可得 X1+x?=2kv-丄2由丨+ + 1= I,可得 X3 - 1=0，由椭圆的焦半径公式得则 | FA| =a - ex1=2 - X1, | FB| =2 - X2, |FP|=2-221 3亍3芍即可证明| FA|+| FB| =2| FP|，求得A, B坐标再求公差. 【解答】解：(1)设 A ( X1, y1), B (X2,