河北中考数学分层刷题训练14数学第12讲 一次函数的实际应用.docx
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河北中考数学分层刷题训练14数学第12讲一次函数的实际应用
第12讲 一次函数的实际应用
1.（2019，河北）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为s头（m）．
① ②
第1题图
（1）当v＝2时，解答：
①求s头与t之间的函数关系式；（不写t的取值范围）
②当甲赶到排头位置时，求s头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为s甲（m），求s甲与t之间的函数关系式；（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v之间的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
解：
（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头离开原排头位置的时间也为t（s）．
∴s头与t之间的函数关系式为s头＝2t＋300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v－v）＝300÷v＝300÷2＝150（s）．此时s头＝2t＋300＝600（m）．
∴s甲＝600－4（t－150）＝－4t＋1200，即甲从排头返回到排尾过程中，s甲与t之间的函数关系式为s甲＝－4t＋1200.
（2）T＝t追及＋t返回＝
＋
＝
，
即T与v之间的函数关系式为T＝
.
队伍在此过程中行进的路程为
·v＝400（m）．
2.（2015，河北）如图，水平放置的容器内原有210mm高的水，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4mm，每放入一个小球水面就上升3mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为ymm.
（1）只放入大球，且个数为x大，求y关于x大的函数解析式；（不必写出x大的取值范围）
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球的个数为x小．
①求y关于x小的函数解析式；（不必写出x小的取值范围）
②限定水面高不超过260mm，最多能放入几个小球？
第2题图
解：
（1）根据题意，得y＝4x大＋210.
（2）①根据题意，得y＝3x小＋4×6＋210＝3x小＋234.
②依题意，得3x小＋234≤260.
解得x小≤8
.
∵x小为自然数，
∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．
3.（2011，河北）已知A，B两地之间的路程为240km.某经销商每天都要用汽车或火车将xt保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（km）与行驶时间t（h）的函数图象（如图①）、上周货运量折线统计图（如图②）等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价/
[元/（t·km）]
冷藏费单价/
[元/（t·h）]
固定费用/
（元/次）
汽车
2
5
200
火车
1.6
5
2280
（1）汽车的速度为60km/h，火车的速度为100km/h；
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽，y火关于x的函数解析式（不必写出x的取值范围），及x为何值时y汽＞y火；（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用）
（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下一周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省．
第3题图
解：
（1）60 100
（2）依据题意，得y汽＝240×2x＋
×5x＋200＝500x＋200，y火＝240×1.6x＋
×5x＋2280＝396x＋2280.
若y汽＞y火，则500x＋200＞396x＋2280.
解得x＞20.
（3）上周货运量
＝（17＋20＋19＋22＋22＋23＋24）÷7＝21＞20.
从平均数分析，建议下一周预定火车，可以使每天的运输总费用较省．
从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20t且呈上升趋势，建议下一周预订火车，可以使每天的运输总费用较省．
图象型一次函数应用题
例1（2019，长春）已知A，B两地之间有一条270km长的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60km/h的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为75km/h，a＝3.6，b＝4.5；
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3）当甲车到达距B地70km处时，求甲、乙两车之间的路程．
例1题图
解：
（1）75 3.6 4.5
（2）60×3.6＝216（km）．
当2＜x≤3.6时，设y＝k1x＋b1.
根据题意，得
解得
∴y＝135x－270（2＜x≤3.6）．
当3.6＜x≤4.5时，y＝60x.
∴甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y＝
（3）甲车到达距B地70km处时行驶的时间为（270－70）÷60＝
（h），此时甲、乙两车之间的路程为135×
－270＝180（km）．
答：
当甲车到达距B地70km处时，甲、乙两车之间的路程为180km.
针对训练1（2019，大连）甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行．图①是甲离开A处后行走的路程y（单位：
m）与行走的时间x（单位：
min）之间的函数图象，图②是甲、乙两人之间的距离（单位：
m）与甲行走时间x（单位：
min）之间的函数图象，则a－b＝（
）.
训练1题图
【解析】由题图①，知甲的速度为
＝60（m/min）．由题图②可以看出，当x＝
时，两人相遇，即（60＋v乙）×
＝120.解得v乙＝80（m/min）．由题图②，知乙用了bmin走完全程，甲用了amin走完全程，∴a－b＝
－
＝
.
表格型一次函数应用题
例2（2019，邯郸一模）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x天销售量为p件，销售单价为q元．经跟踪调查发现，这40天中p与x的关系保持不变，前20天（包含第20天），q与x的关系满足关系式q＝30＋ax；从第21天到第40天中，q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x成反比，且得到下表中的数据.
第x天
10
21
35
q/（元/件）
35
45
35
（1）a的值为0.5；
（2）求从第21天到第40天中，q与x满足的关系式；
（3）若该网店第x天获得的利润为y元，并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝－
x2＋15x＋500.
①这40天中p与x的关系式为p＝50－x；
②求这40天里该网店第几天获得的利润最大．
解：
（1）0.5
（2）设从第21天到第40天中，q与x满足的关系式为q＝b＋
.
把（21，45）和（35，35）分别代入，得
解得
∴从第21天到第40天中，q与x满足的关系式为q＝20＋
.
（3）①p＝50－x
②当1≤x≤20时，y＝－
x2＋15x＋500＝－
（x－15）2＋612.5.
当x＝15时，y取得最大值612.5.
当21≤x≤40时，y＝（50－x）
＝
－525.
∵y随x的增大而减小，
∴当x＝21时，y取得最大值725.
综上所述，这40天里该网店第21天获得的利润最大．
针对训练2（2019，威海）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380m的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度制作而成的.
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/m
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（D）
A.甲队每天修路20m
B.乙队第一天修路15m
C.乙队技术改进后每天修路35m
D.前七天，甲、乙两队修路长度相等
【解析】由表格数据，可得第五天乙队停工一天，则甲队每天修路160－140＝20（m），故选项A说法正确．乙队第一天修路35－20＝15（m），故选项B说法正确．乙队技术改进后每天修路215－160－20＝35（m），故选项C说法正确．前七天，甲队修路20×7＝140（m），乙队修路270－140＝130（m），故选项D说法错误．
文字型一次函数应用题
例3某公司在甲、乙两个仓库共存放某种原料450t．如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30t.
（1）求甲、乙两个仓库各存放原料多少吨；
（2）现公司需将300t原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/t和100元/t.经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/t（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变．设从甲仓库运mt原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式；（不要求写出m的取值范围）
（3）在
（2）的条件下，请根据函数的性质说明：
随着m的增大，W的变化情况．
解：
（1）设甲仓库存放原料xt，乙仓库存放原料yt.
根据题意，得
解得
答：
甲仓库存放原料240t，乙仓库存放原料210t.
（2）若从甲仓库运mt原料到工厂，则从乙仓库运（300－m）t原料到工厂．
根据题意，得W＝（120－a）m＋100（300－m）＝（20－a）m＋30000.
（3）①当10≤a<20时，20－a>0，
W随m的增大而增大．
②当a＝20时，20－a＝0，W＝30000，是定值，
W随m的增大不发生变化．
③当20＜a≤30时，20－a＜0，W随m的增大而减小．
针对训练3实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为xcm.现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是（y＝
或
y＝
（6≤x＜8））．
训练3题图
【解析】①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，则铁块浸在水中的高度为8cm.此时，水位上升了（8－x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80y（cm3）．∴80y＝30×20×（8－x）．∴y＝
.∵y≤15，∴x≥6.∴y＝
（6≤x＜8）．②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，同①的方法得y＝
.
一、选择题
1.2017年某省财政收入比2016年增长8.9%，2018年比2017年增长9.5%.若2016年和2018年该省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a，b之间满足的关系式为（C）
A.b＝a（1＋8.9%＋9.5%）
B.b＝a（1＋8.9%×9.5%）
C.b＝a（1＋8.9%）（1＋9.5%）
D.b＝a（1＋8.9%）2（1＋9.5%）
【解析】∵2016年该省财政收入为a亿元，2017年该省财政收入比2016年增长8.9%，∴2017年该省财政收入为a（1＋8.9%）亿元．∵2018年该省财政收入比2017年增长9.5%，2018年该省财政收入为b亿元，∴b＝a（1＋8.9%）（1＋9.5%）．
2.等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系式是（B）
A.y＝20－2x
B.y＝20－2x（5＜x＜10）
C.y＝10－0.5x
D.y＝10－0.5x（10＜x＜20）
【解析】∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.由底边长为正数，得20－2x＞0.解得x＜10.由两边之和大于第三边，得x＋x＞20－2x.解得x＞5.∴5＜x＜10.
3.（2019，聊城）某快递公司每天上午9：
00—10：
00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（min）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（B）
第3题图
A.9：
15B.9：
20C.9：
25D.9：
30
【解析】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（min）之间的函数关系式为y1＝k1x＋40.根据题意，得60k1＋40＝400.解得k1＝6.∴y1＝6x＋40.设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（min）之间的函数关系式为y2＝k2x＋240.根据题意，得60k2＋240＝0.解得k2＝－4.∴y2＝－4x＋240.联立
解得
∴此刻的时间为9：
20.
4.某工厂加工一批零件，为了提高工人工作的积极性，工厂规定每名工人每天薪金如下：
生产的零件不超过a件，则每件3元；超过a件，超过部分每件b元．如图所示的是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的零件数量x（件）之间的函数关系，则下列结论错误的是（D）
第4题图
A.a＝20
B.b＝4
C.若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产零件50件
D.若工人乙一天生产零件m件，则他获得薪金4m元
【解析】根据题意和图象可得，a＝
＝20，b＝
＝4.故选项A，B正确．由（20，60）和（40，140）可得出一名工人一天获得薪金y与其生产的零件数量x之间的函数关系式为y＝
进而可判断选项C正确，选项D错误．
5.（2019，宜宾模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，P为BC上的一点．设BP＝x（0＜x＜2），则△APC的面积S与x之间的函数关系式是（D）
第5题图
A.S＝
x2B.S＝2x
C.S＝2（x－2）D.S＝2（2－x）
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.∵BC＝2，BP＝x，∴PC＝BC－BP＝2－x.∵AB＝4，∴S△APC＝
PC·AB＝
（2－x）×4＝2（2－x），即S＝2（2－x）．
6.（2019，辽阳）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；
②出发1.25h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8km；
④相遇后，乙又骑行了15min或65min两人相距2km.
其中正确的有（D）
第6题图
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解析】由图象可知A村、B村相距10km，故①正确．当出发1.25h时，甲、乙相距0km，即甲、乙两人相遇，故②正确．由题意和图象知，1.25h甲比乙多骑行10km，所以甲每小时比乙多骑行10÷1.25＝8（km），故③正确．当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0），（2，6）．设一次函数的解析式为s＝kt＋b，则
解得
∴s＝8t－10.当s＝2时，2＝8t－10.解得t＝1.5（h）.1.5－1.25＝0.25（h）＝15（min）．当2≤t≤2.5时，设一次函数的解析式为s＝k1t＋b1.将点（2，6），（2.5，0）的坐标代入s＝k1t＋b1，得
解得
∴s＝－12t＋30.当s＝2时，2＝－12t＋30.解得t＝
（h）.
－1.25＝
（h）＝65（min）．故相遇后，乙又骑行了15min或65min两人相距2km，故④正确．
二、填空题
7.某商户购进一批苹果到农贸市场零售．已知卖出的苹果数量x（kg）与收入y（元）的关系如下表：
数量x/kg
1
2
3
4
5
…
收入y/元
2＋0.1
4＋0.2
6＋0.3
8＋0.4
10＋0.5
…
则收入y（元）与卖出苹果数量x（kg）之间的函数关系式是y＝2.1x.
【解析】由表格易得卖出1kg苹果的收入是2.1元，那么卖出xkg苹果的收入y＝2.1x.
8.（2019，重庆B）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的
快步赶往学校，并在从家出发后23min到学校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（m）与小明从家出发到学校的步行时间x（min）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为2080m.
第8题图
【解析】设小明的原速度为xm/min，则小明拿到书后的速度为
xm/min，则小明家到学校的路程为11x＋（23－11）×
x＝26x（m）．设爸爸的速度为ym/min.由题意，得
解得
∴小明家到学校的路程为80×26＝2080（m）．
三、解答题
9.某新建小区要修一条1050m长的路，甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经了解得到下表所示信息：
工程队
每天修路的
长度/m
单独完成
所需天数
每天所需
费用/元
甲队
30
n
600
乙队
m
n－14
1160
（1）甲队单独完成这项工程所需天数n＝35，乙队每天修路的长度m＝50m；
（2）甲队先修了xm之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程（其中x，y为正整数）．
①当x＝90时，求出乙队修路的天数；
②求y关于x的函数解析式；（不用写出x的取值范围）
③若总费用不超过22800元，求甲队至少要先修多少米．
解：
（1）35 50
（2）①乙队修路的天数为
＝12.
②由题意，得x＋（30＋50）y＝1050.
∴y关于x的函数解析式为y＝
，即y＝－
＋
.
③由题意，得600×
＋（600＋1160）×y≤22800，即20x＋1760×
≤22800.
解得x≥150.
答：
若总费用不超过22800元，甲队至少要先修150m.
10.小明放学后从学校回家，出发5min后，同桌小强发现小明的数学作业忘记拿了，他立即拿着数学作业按照同样的路线去追赶小明．小强出发10min后，小明才想起没拿数学作业，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程y（m）与小强所用时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中a的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段AB的解析式，并写出自变量的取值范围．
第10题图
解：
（1）a＝
×（10＋5）＝900.
（2）小明的速度为300÷5＝60（m/min），
小强的速度为（900－60×2）÷12＝65（m/min）．
（3）由
（1）
（2），得A（10，900），B（12，780）．
设线段AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．
把A（10，900），B（12，780）的坐标代入，得
解得
∴线段AB的解析式为y＝－60x＋1500（10≤x≤12）．
1.（2019，襄阳）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类
进价/（元/kg）
售价/（元/kg）
甲
m
16
乙
n
18
（1）该超市购进甲种蔬菜10kg和乙种蔬菜5kg需要170元；购进甲种蔬菜6kg和乙种蔬菜10kg需要200元．求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20kg，且不大于70kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60kg的部分，当天需要打五折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润y（元）与购进甲种蔬菜的数量x（kg）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院．若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值．
解：
（1）由题意，得
解得
即m的值是10，n的值是14.
（2）当20≤x≤60时，
y＝（16－10）x＋（18－14）（100－x）＝2x＋400.
当60＜x≤70时，
y＝（16－10）×60＋（16×0.5－10）×（x－60）＋（18－14）（100－x）＝－6x＋880.
∴y＝
（3）当20≤x≤60时，y＝2x＋400.
∴当x＝60时，y取得最大值，此时y＝520.
当60＜x≤70时，y＝－6x＋880.
∴y＜－6×60＋880＝520.
综上可得，当x＝60时，y取得最大值，y最大＝520.
此时，购进甲种蔬菜60kg，购进乙种蔬菜40kg.
由题意列不等式，得
≥20%.
解得a≤1.8，即a的最大值是1.8.
2.（2019，石家庄43中模拟）如图，水平桌面上有底面积比为1∶2的甲、乙两个圆柱形容器，高都为10cm，它们用一根管子在容器的6cm高度处连通（即管子离容器底6cm，管子的体积不计），容器甲中已有高2cm的水．若每分钟同时向甲、乙容器中注入相同量的水，到两个容器都注满水停止．开始注水1min后，乙容器的水位上升了1cm.
（1）开始注水1min后，甲容器的水位达到了4cm；
（2）注水2min后，甲与乙的水位差最大；
（3）写出乙容器中的水位h（cm）与注水时间t（min）之间的函数关系式．
第2题图
解：
（1）4
（2）2
（3）当0≤t≤2时，h＝t.
当2＜t≤4时，h＝2（t－2）＋2＝2t－2.
当4＜t≤7时，甲容器和乙容器中水面一直持平．
设每个容器每分钟注入水的体积为V，甲容器的底面积为S，则乙容器的底面积为2S.
可知
＝2cm.
∴
＝
cm，即水位每分钟上升
cm.
∴h＝
（t－4）＋6＝
t＋
.
综上所述，h＝
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