春中考数学《 一次函数的实际应用》.docx

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春中考数学《一次函数的实际应用》

第三单元函数

第12课时一次函数的实际应用

【备考策略】

求一次函数解析式，先设函数解析式y=kx+b:

①文字型：

从题干中，提取两组有关的量（不同的自变量及对应的函数值），将其代入解析式中列方程组求解；对于阶梯费用问题，注意选取的关系量是同一标准的，然后根据上述方法求解；

②图象（图表）型：

任意找出函数图象（图表）上的两个点，将其坐标分别代入解析式中列方程组求出函数解析式；若函数图象为分段函数，注意要选同段函数图象上两点坐标，代入求值，依照此方法分别计算出各段函数的解析式，最后记得加上各段函数图象对应的自变量的取值范围.

1.行程问题

行程问题多以分段函数形式呈现，其用到的基本公式为：

路程＝速度×时间，首先要明白函数图象中的横、纵坐标代表的量，明白图象上的拐点、水平线、交点的意义，列出一次函数解析式，然后代入相应的值即可顺利地解题.

2.阶梯费用问题

阶梯收费问题确定解析式时，首先要弄清收费标准发生变化的分界点，然后根据不同的收费标准利用费用＝单价×用量分别求出其解析式.其常见设问为已知用量求费用、已知费用求用量.

已知用量求费用：

根据用量的取值范围弄清其的对应的函数关系式，然后代入相应的函数关系式求解即可.

已知费用求用量：

分别将费用代入每段函数关系式，求出用量，与每段自变量的取值范围进行比较，找出其对应的函数关系式，代入即可求得用量.

3.方案择优问题

当给定x值选取方案时，将x值代入解析式，判断结果大小；当给定y值选取方案时，将y值代入解析式，判断结果大小；当x、y值均未给定时，若为两种方案的选取，分别求出y1y2，根据结果选取方案，若为三种方案的选取，可画出一次函数图象，求出交点坐标，利用图象性质解答.

4.费用最少问题

一般由图象、题干信息或不等式（组）解得自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性求最少费用（最大利润）.

类型1行程问题

1.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的函数关系如图所示，给出以下结论：

①a＝8，②b＝92，③c＝123，其中正确的是（）

第1题图

A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③

2.赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B.在整个行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示.请结合图象解答下列问题：

（1）起点A与终点B之间相距多远？

（2）哪支龙舟队先出发？

哪支龙舟队先到达终点？

（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；

（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？

第2题图

类型2阶梯费用

3.为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动.自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续前行至目的地丙地.自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地.自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍.如图表示自行车队、邮政车离甲地的距离y（km）与自行车队离开甲地时间x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：

（1）自行车队行驶的速度是km/h；

（2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？

（3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？

第3题图

4.如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省______元.

第4题图

5.某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月用水量超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；

（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？

类型3方案选取或设计问题

6.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y（元）与通话时间x（分钟）

第6题图

之间的函数关系如图所示.小红根据图象得出下列结论：

①l1描述的是无月租费的收费方式;

②l2描述的是有月租费的收费方式;

③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱.

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种.设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟.

（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式;

（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？

（3）什么情况下A套餐更省钱？

8.黔东南州某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元；2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：

购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

9.都匀某校准备组织学生及家长代表到桂林进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁.高铁单程票价格如下表所示，二等座学生票可打7.5折.已知所有人员都买一等座单程火车票需6175元，都买二等座单程火车票需3150元；如果家长代表与教师的人数之比为2∶1.

运行区间

票价

起点站

终点站

一等座

二等座

都匀

桂林

95（元）

60（元）

（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？

（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x<参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式.

（3）在

（2）的方案下，请求出当x=30时，购买单程火车票的总费用.

类型4工程问题

10.某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队，若两队合作，8天就可完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成.

（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？

（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工作甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值.

类型5利润问题

11.某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，

如图所示.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

第11题图

12.已知某厂现有A种金属70吨，B种金属52吨，现计划用这两种金属生产M、N两种型号的合金产品共80000套.已知做一套M型号的合金产品需要A种金属0.6kg，B种金属0.9kg，可获利润45元；做一套N型号的合金产品需要A种金属1.1kg,B种金属0.4kg，可获利润50元.若设生产N种型号的合金产品套数为x，用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）在生产这批合金产品时，N型号的合金产品应生产多少套，该厂所获利润最大？

最大利润是多少？

13.某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y（万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x（吨）

10

20

30

y（万元/吨）

45

40

35

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：

总成本＝每吨成本×总产量）

（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系.该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨，请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润.（注：

利润＝售价-成本）

第13题图

答案

1.A【解析】甲先行，中途a时与乙相遇，则V乙>V甲；b点时距离最大，则此时乙到达终点；甲的速度为8÷2＝4m/s；乙的速度为500÷100＝5m/s；b＝5×100-4×（100＋2）＝92m；5a-4×（a＋2）＝0，解得a＝8;c＝100＋92÷4＝123s，所以正确的有①②③．

2.解：

（1）观察题图可知，起点A与终点B之间相距3000米;（2分）

（2）观察题图可知，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；（4分）（3）设甲龙舟队y与x之间的函数关系式为y甲＝k1x.

将点（25，3000）代入上式可得k1=120，

∴甲龙舟队y与x之间的函数关系式为y甲＝120x.

设乙龙舟队y与x之间的函数关系式为y乙＝k2x+b2.

将点（5,0）和点（20,3000）代入上式可得5k2+b2=0

20k2+b2=3000，解得k2=200，b2=-1000，

∴乙龙舟队y与x之间的函数关系式为y乙＝200x-1000;（10分）

（4）①当甲在乙前面时，120x-（200x-1000）=200，

解得x=10;

②当乙在甲前面时，200x-1000-120x=200，

解得x=15,

综上所述，当甲龙舟队出发10分钟或15分钟时，两支龙舟队相距200分钟.（14分）

3.解：

（1）24；（2分）

（2）由题可知,邮政车的速度为24×2.5=60km/h,

设邮政车出发xh与自行车队首次相遇,

则24（x+1）=60x,（3分）

解得x=

.（4分）

∴邮政车出发

h与自行车队首次相遇；（5分）

（3）∵邮政车的速度是60km/h,

∴走完全程需135÷60=

h,2h完成装卸任务,

∴装卸完后点的坐标为（

135）,

返回后与x轴的交点为（

0）,（6分）

设邮政车返回时直线的解析式为y1=kx+b（k≠0）,

由题可得

解得k=-60

b=450,

∴y1=-60x+450,（7分）

自行车队速度为24　km/h,走完全程需

135÷24+0.5=

h,

∴休息完后的坐标为（3.5,72）,到达丙地的坐标为，（498,135）,（8分）

设自行车队补给后图象中,直线的解析式为y2=mx+n（m≠0）,

由题可得

，

解得m=24，n=-12，

∴y2=24x-12,（9分）

解方程组

，得x=5.5，y=120.

∴邮政车在返途中与自行车队再次相遇时距离甲地120km.（10分）

4.4【解析】根据题意得，点B（4,20），则直线OB的关系式为y=5x；设直线BE的关系式为y=kx+b，E（10,44），则有

∴k=4,b=4，∴y=4x+4.

一次购买8本，则y=4×8+4=36（元），

每次购买一本，则需要花费：

5×8=40（元），故可节省的钱数是：

40-36=4（元）.

5.解：

（1）设每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别为a元和b元.（1分）

由题意得：

，（3分）

解得a=1，b=2.5，（4分）

答：

每吨水的政府补贴优惠价为1元,市场调节价为2.5元；（5分）

（2）当0≤x≤12时,y=x;

当x>12时,y=12+2.5（x-12），

即y=2.5x-18.

故y与x之间的函数关系式为y=

；（10分）

（3）当x=26时,y=2.5×26-18=65-18=47（元）.（13分）

答:

他家应交水费47元.（14分）

6.D【解析】l1表示月租为0元，l2表示月租为20元,所以①、②都正确，当通话时间＜400分钟时,没有月租的省钱，当通话时间>400分钟时，有月租的比无月租的省钱，则当通话时间为500分钟时，有月租的比没月租的省钱，故选D.

7.解：

（1）y1=15+0.1x,y2=0.15x；（4分）

（2）令y1=y2,即15+0.1x=0.15x,

解得x=300（分钟）.

∴当通话时间为300分钟时,A、B两种套餐收费一样；（7分）

（3）令y1

解得x＞300.

则当通话时间超过300分钟时,A套餐更省钱.

（10分）

8.解：

（1）设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得

（2分）

解得x=30，y=27，（4分）

答：

每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；（5分）

（2）当0＜x≤20时，y=30x；（7分）

当x＞20时，y=20×30+（x-20）×30×0.7=21x+180；（9分）

（3）设购进玩具x件（x＞20），则乙种玩具花费27x元；

当27x=21x+180时，解得x=30，

所以当购进玩具正好30件时，选购其中任一种即可；（10分）

当27x＞21x+180时，解得x＞30，

所以当购进玩具超过30件时，选购甲种玩具省钱；（11分）

当27x＜21x+180时，解得x＜30，

所以当购进玩具超过20件，少于30件，选购乙种玩具省钱．（12分）

9.解：

（1）设参加社会实践活动的老师有m人，学生有n人，则家长代表有2m人，（1分）

根据题意得

，（3分）

解得m=5，n=50.

答：

参加社会实践的老师5人、家长代表10人，学生50人；（4分）

（2）由

（1）知，所有参与人员总共有65人，其中学生有50人.

①当50≤x＜65时，最经济的购票方案为：

买二等座学生票50张，买二等座成人票（x-50）张，买一等座火车票（65-x）张.

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：

y=60×0.75×50+60（x-50）+95（65-x），

即y=-35x+5425（50≤x＜65）；（6分）

②当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：

买二等座学生票共x张，其余所有人购买一等座单程火车票共（65-x）张.

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：

y=60×0.75x+95（65-x），

即y=-50x+6175（0＜x＜50）.（8分）

∴购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是

；（9分）

（3）∵x=30＜50，（10分）

∴y=-50x+6175=-50×30+6175＝4675.（11分）

答：

当x=30时，购买单程火车票的总费用为4675元.（12分）

10.解：

（1）设甲单独完成这项工程需x天，乙单独完成这项工程需y天，则

，解得x=12，y=24，

∴甲的工作效率为

，乙的工作效率为

；（5分）

（2）∵甲的工作效率为

，乙的工作效率为

，

∴

=1，即n=24-2m，

（6分）

∴w=3000m+1400n=200m+33600，（8分）

∵学校要求12天内完成任务，∴m≤12，n≤12，即24-2m≤12

解得6≤m≤12，（10分）

∵w=200m+33600，6≤m≤12,

∴当m=6时，w有最小值，此时w=200×6+33600=34800（元）

（11分）

∴w=200m+33600，其中6≤m≤12，w的最小值为34800元.（12分）

11.解：

（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，

∵点（20,60），（80,0）在函数图象上，

∴

，解得k=-1，b=80，

∴y关于x的函数关系式为y=-x+80（20≤x≤80）；（6分）

（2）根据题意得（x-20）（-x+80）=800，

解得x1=40,x2=60.

∴要使利润达到800元，可定价为40元或60元.（12分）

12.解：

（1）由题意得：

y=45（80000-x）+50x=5x+3600000,（2分）

，（4分）

由①得x≤44000,（5分）

由②得x≥40000,（6分）

∴40000≤x≤44000，

∴y与x的函数关系式为：

y=5x+3600000,自变量x的取值范围是：

40000≤x≤44000；（7分）

（2）∵在函数y=5x+3600000中,y随x的增大而增大,（8分）

∴当x=44000时,所获利润最大.

所获最大利润为：

5×44000+3600000=3820000（元）.

答：

N型号的产品生产44000套,该厂所获利润最大,最大利润为3820000元.（10分）

13.解：

（1）设y=kx+b.

把x=10,y=45;x=20,y=40代入得:

解得k=

，b=50,

∴y=

x+50（10≤x≤55）；（3分）

（2）由题意得:

xy=1200,

即x（

x+50）=1200,

x2+50x-1200=0,

解得x1=40,x2=60（不符合题意，舍去）.

∴该产品总产量为40吨；（7分）

（3）设m与n间的函数关系式为m=an+b,把（40，30）和（55，15）分别代入得

，

解得a=-1，b=70,

∴m=-n+70.（9分）

当卖出产品25吨时，25=-n+70,解得n=45,

y=

×25+50=37.5（万元）.

售价=25×45=1125（万元），

成本=25×37.5=937.5（万元），

故该厂第一个月销售这种产品获得的利润=1125-937.5=187.5（万元）.（12分）