数理方程习题综合.docx

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数理方程习题综合

例1.1.1设v=v（线x,y）,二阶性偏微分方程Vxy=xy的通解。

解原方程可以写成

e/ex（ev/ey）=xy

两边对x积分，得

2

Vy=C（y）+1/2XY

其中C（y）是任意一阶可微函数。

进一步地，两边对y积分，得方程得通解为

°°22

v（x,y）=/vydy+f（x）=/C（y）dy+f（x）+1/4xy

22

=f（x）+g（y）+1/4xy

其中f（x）,g（y）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2

例1.1.2设rn）,求下列徧佬分肖翟旳谨解：

4

口的-AutP,

具中帛戡®a

解原方程■可UZ写毎

—AuV^^=0厂1

两边碎积分」仔

^u/dr}-du=屮

萼式两边同时羨总一小右

Q）/dr\==一丽屮［书屮

两边对叮积分.得Z7屋的瞬巻

e-^u（^，n）=Je一切屮（ri）dri+F慣）=F（^）+Gj（q）*4

即u（En）=F（E）+G（n）,

其中F（E）,G（n）是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。

试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是Oxu,弦的平衡位置为x轴，弦的长度为L,两端固定在O,L

两点。

用u（x,t）表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。

由于弦做微小横振动，故UxP.因此

a召,COSa屯sina相na=UxP,其中a表示在x处切线方向同x轴的夹角。

下面用微元法建立U所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧MM',考虑作用在这段弧上的力。

作用在这段弧上的力有张力和外

力。

可以证明，张力T是一个常数，即T与位置x和时间t的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段MM'的弧长

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。

于是由Hooke定律，张力T与

时间t无关。

因为弦只作横振动，在x轴方向没有位移，故合力在x方向上的分量为零，即

T（X+.：

x）COSa'（x）cosa=0.

由于co'sa"I,cosa牝所以T（X+Ax）=T（x）,故张力T与x无关。

于是，张力是一个

与位置x和时间t无关的常数，仍记为T.

作用于小弧段MM'的张力沿u轴方向的分量为

Tsina'sina"（ux（x+x,t）-ux（x,t））.

设作用在该段弧上的外力密度函数为F（x,t）那么弧段MM'在时刻t所受沿u轴方向

的外力近似的等于F（x,t）.vx.由牛顿第二定律得

T（ux（x+.：

x,t）-ux（x,t）+F（x,t）.■:

x=PuttLX,

其中P是线密度，由于弦是均匀的，故P为常数。

这里utt是加速度utt在弧段MM'上

的平均值。

设u=u（x,t）二次连续可微。

由微分中值定理得

Tuzz（x+氏x,t）二X+F（x,t）.：

X=Puttx,0<0<1.

消去Cx,并取极限xT0得

Tuxx（x,t）+F（x,t）=Putt,

即

2

utt=auxx+?

（x,t）,00,

其中常数a2=T/p，函数？

（x,t）=F（x,t）/p表示在x处单位质量上所受的外力。

上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波

动方程。

当外力作用为零时，即？

=0时，方程称为弦的自由横振动方程。

类似地，有二维波动方程

utt=a2（uxx+uyy）+?

（x.y.t）,（x,y）",t>°,

电场E和磁场H满足三维波动方程

『E

=C2、2E和-

；：

2h

-:

t2

=c2V2H

5

其中

c是光速和

-2

-2-2

一2_

-0R—A—

C

-2

-2-2。

-x

.y:

z

例1.2.2设物体Q在内无热源。

在Q中任取一闭曲面S（图1.2）。

以函数u（x,y,z,t）表示物体在t时刻，M=M（x,y,z）处的温度。

根据Fourier热传导定律，在无穷小时段dt内流过物

体的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,曲面面积dS以及物体温度u沿曲面的外法线

n的方向导数三者成正比，即

-kdSdt「n

其中k=k（x,y,z）是在物体M（x,y,z）处的热传导系数，取正值。

我们规定外法线n方向所

指的那一侧为正侧。

上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。

故当

'0时，热量实际上是向

.:

n

对于Q内任一封闭曲面S,设其所包围的空间区域为V，那从时刻t1到时刻t2经曲面

流出的热量为

t2一

Qj=-iiikddSdt

t1S由

设物体的比热容为c（x,y,z），密度为P（x,y,z），则在区域V内，温度由u（x,y,z,t1）到u（x,y,z）

所需的热量为

t2-Q2：

ii.ic'U（x,y,Z,t2）-u（x,y,z,ti）dv.1111—dvdt.

Vt,V「t

根据热量守恒定律，有

Q^-_Qii.iic'U（x,y,z,t2）—u（x,y,z,ti）dv二k土dSst

vt1sn

那么由

假设函数u（x,y,z,t）关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数,

高斯公式得

t2

HH[c"

tiV

cu

cu

（cu\

k——

k—

—

k——]dvdt=0

ex

列）

cz

'、、czJ

-：

U

-t

t,在

由于时间间隔ti,t21及区域V是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻

（1.2.6）

2k

数，令a2=—，则方程（126）化为

cPcu2心2ue2uB2U"2.——=a—+—+—=aAu,ct內程丿

它称为三维热传导方程

若物体内有热源，其热源密度函数为，则有热源的热传导方程为

2

ut=atuf（x,y,乙t）

（1.2.8）

（1.2.7）

Fc7

类似地，当考虑的物体是一根均匀细杆时如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同，那么温度只与有关，方程变成一维热传导方程

2

u^auxx

（129）

同样，如果考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维热传导方程

2

ut=a（uxxuyy）（1.2.10）

（P16）例1.3.1一长为L的弹性杆，一端固定，另一端被拉离平衡位置b而静止，放手任其振动。

试写出杆振动的定解问题。

解取如图1.3所示的坐标系。

OLL+bx

泛定方程就是一维波动方程（杆的纵振动方程）

2

utt=auxx,°

在初始时刻（即放手之时），杆振动的速度为零，即ut（x,0）=0,0致<.

而在x=L端拉离平衡位置，使整个弹性杆伸长了bo这个b是来自整个杆各部分伸长后

的贡献，而不是x=L一端伸长的贡献，故整个弹性杆的初始位移为

u|

b

t=0=x,

L

0$<.

u（0,t）=0,0致

再看边界条件。

一端x=0固定，即该端位移为零，故有

utt=auxx,

00,

bx,ut（x,o）=o,

0

u（O,t）=O,ux（L,t）=o,I

的均匀弦，两端x=o和x=L固定，弦中张力为T,在x=xO达到稳定后放手任其振动。

试写出初始条件。

F

7

*

1

（P17）例1.3.2:

长为

处以横向力F拉弦，

解：

建立如图坐标系。

设弦在xo点受到横向力T作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为

hx,o

h（L-x）,xx

L-xo

其中h待求。

由牛顿第二定律得

F-Tsina1-Tsina2=o,

在微小振动的情况下，

Sina1

〜tana1=h,sin

a2~tana2=h

xo

L-xo

所以F=Th+Th

xoL-xo因此h=Fxo（L-xo）.

TL

从而初始位移为u（x,o）=

F（L-xo）,

TL

0

而初始速度Ut（x,O）=O.

Fxo（L-x）,

TL

（P18）例1.3.3考虑长为L的均匀细杆的热传导问题。

若

（1）杆的两端保持零度；

（2）杆的两端绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热。

试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。

解：

设杆的温度为u（x,t）,则

（1）u（x,t）=0,u（L,t）=o.

（2）当沿杆长方向有热量流动时，由Fourier实验定律得

-o,q2…k\u

cx

其中q1,q2分别为x=0和x=L处的热流强度。

而杆的两端绝热，这就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦没有热量的流动，故有q1=q2=0和

Ux（o,t）=0,ux（L,t）=0.

⑶显然，此时有

u（0,t）二0,Ux（L,t）二0.

例1.5.1求Poisson方程Uxx+Uyy=XA2+XY+YA2的通解

解:

先求出方程的一个特解V=V（x，y）,使其满足

Vxx+Vyy=XA2+XY+YA2

具有形式

由于方程右端是一个二元二次齐次多项式，可设V（x，y）

其中a,b,c是待定常数

Vy=bXA3+4cYA3

V（x,y）=aXA4+bXA3丫+。

丫人4,

Vx=4aXA3+3bXA2Y

Vxx=12aXA2+6bXYVyy=12cY人2

得Vxx+Vyy=12aXA2+6bXY+12cYA2=XA2+XY+YA2

比较两边系数，可得

a=1/12,b=1/6,c=1/12

于是V（x,y）=1/12（XA4+2XA3丫+丫人4）

下面求函数W=W（x,y）,使其满足Wxx+Wyy=0.作变量代换e=x,n=iy（以下的偏导的符号.二记为d）

Ue=du/de=du/dx=UxUn=du/dn=du/dy*dy/dn=-iy

Uee=dUe/de=UxxUnn=-Uyy

可得Wee-Wnn=0

再作变量代换

s=e+n,t=e-nUe=du/de（s,t）=Us+UtUn=du/dn=Us-Ut

Uee=dUe/de=d（Us+Ut）/de=Uss+Utt+2Ust

Unn=dUn/dn=d（Us-Ut）/dn=Uss+Utt-2Ust

那么方程进一步化为Wst=0

其通解为W=f（s）+g（t）=f（e+n）+g（e-n）=f（x+iy）+g（x-iy）,其中f,g是任意两个二阶可微函数。

那么根据叠加原理，方程的通解为u（x,y）=V+W=f（x+iy）+g（x-iy）+1/12（XA4+2XA3丫+丫人4）

（P32）例2.1.1判断方程Uxx+2Uxy-3Uyy+2Ux+6Uy=0（2.1.22）的类型，并化简。

解：

因为an=1,a12=1,a22=-3,所以=a212-a11a22=4>0,故方程为双曲型方程。

对应的特

a12-■■■a212—■a11a22

a11

征方程组为

dya12、a12—a11a22

—==3,

dxa11dx

该方程组的特征曲线（即通解）为y-Sx^Csy•x=c2.作自变量变换

=y_3x,=yx则

uxx=-3uu;uy=uu,

Uyy=u^+2u加+Um.

将上述各式带入方程（2.1.22），得第一种标准形式

1c

UUv=■0.（2.1.23）

2

卄入C+ht-n一

右令s,t',则得到第二种标准形式

22

Uss—Utt—UsUt=O.（2.1.24）

sP

下面对式（2.1.24）进一步化简。

令U=Ve,则

Us=（Vs■V）e'a，Ut=（Vt」V）es',Uss=（Vss2■Vs■2V）es',Utt=（Vtt2」Vt」2V）es*

代入方程，得

Vss-Vtt（2■-1）Vs（1一2」）Vt（■2-」2」-■）V=0.

1

我们取、，则式（2.1.24）化简为

2

Vss—Vtt=0，（2.1.25）

该方程不含一阶偏导数项。

例2.1.2

化方程叫忠如=0为标潢形式*

解因为A—y,所以当X0时』方程（2.1.26〉为双曲线方程*方

程（2.L26）为抛物线方程，此时方程〔2L2D己是标准形式。

当

y>0时*方程（2.1.26）为捕圆型方程。

方程〔21,26）的特征方程

组为2

dxydxy

当y<0时，

该方程组的通解为•

諾上虫巴（-y）3/2=^

作变量代换"

身=x-|（~y）s/z-叭=x^（-y）a/1,*

则方程（2L2E）可比为取曲线型方程的篥一标准形式^

当y>05特征方程组的通解为#

m,n%叭*

3

则方程（21•⑹变为椭圆型方程的标准形式対

utt+u>'1—u-=0.*

例2.1.4求值问题

2221

4yVxx+2（1-y）Vxy-Vyy-2y/（1+y）（2vx-Vy）=0,x&R，丫>0

i

v（x,o）=$（x,vy（x,o）=eX）,x&r的解，其中$（x）是已知任意二阶可微函数，C（X）是任意一阶可微函数。

解先把所给方程化为标准型。

特征方程组为

dy/dx二1/2,dy/dx=1/2y八2.

其通解为

x+2y=C1,x-2yA3/3=C

做自变量变换

E=x+2y,n=x-2yA3/3,

这样给定的方程化为标准型

VEn=0

依次关于n和E积分两次，得通解v=F（E）+G（n）.代回原自变量x,y得原方程得通解

v?

（x,y）=F（x+2y）+G（x-2yA2/3）

其中F,G是任意两个可微函数。

进一步，由初始条件得

$（x）=v（x,0）=F（x）+G（x）,0x）=Vy（x,0）=2F'（x）

从而求出

F（x）=F（0）+1/2/xcC（t）dt,G（x）珂（x）-F（0）-1/2/xcC（t）dt.

所以原定解问题的解为

v（x,y）=©（x-2yA3/3）+1/2/Vx-2yA3/30（t）dt.

例2.1.3设常数A,B,C满足BA2-4ACM0,mi,m2是方程

AmA2+Bm+C=0①

的两个根。

证明二阶线性偏微分方程

Au

的通解具有如下形式：

u=u（x,y）=f（m1X+y）+g（m2x+y）,③

其中f,g是任意两个二阶可微函数。

证不失一般性，设心0和BA2-4AC>0.其它情况可以类似的处理。

令E=mx+y,n=mx+y.贝卩

U=mUE+m2Un,Uy=UE+Un,Ux=mA2uEs+2mm>uEn+mA2unn

Uyy=UEE+2UEn+Unn,Uxy=mUEE+（m1+m）UEn+Unn

上述式代入②得：

（AmA2+Bm+C）uee+（AmA2+Bm+C）unn+（2Am1m>+B（m+n2）+2C）uen=0④

由题意得

AmA2+Bm+C=0,AraA2+Bm+C=0,m+m=B/A,m1m=C/A

上述式代入④得

（1/A）（4AC-BA2）uen=0

又由题意得4AC-BA2M0

故UEn=0

对该方程两边分别关于和积分，得通解u=f（E）+g（n），代回自变量x,y,得方程②的

通解是

u=u（x,y）=f（m1X+y）+g（m2X+y）,③

其中f,g是任意两个二阶可微函数。

证毕。

端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解问题

r-2

Utt=aUxx+f（X,t）«u（x,0）=%x,Ut（x,0）=®（x）

Ux（0,t）=0,

0：

：

：

x：

：

：

：

：

t0,

0空x：

：

：

二，（3.1.22）

t_0.

Fx,t/x和中x如下:

因为ux0,t=0,我们对函数f,,「关于x做偶延拓。

定义

"*（x）x^O,%_x）xcO.

F（x）xXO,®（-x）xcO.

卩（小=「（小XAQE,f（—x,t）xcO,tKO.

函数Fx,tjx,「x在-:

:

:

x：

：

：

:

:

上是偶函数。

由推论

3.1.1，Ux,t是关于x

的偶函数，且ux0,t二Ux0,t=0.这样得到

问题（3.1.22）的解

ux,tAUx,t（x_0,t一0）.所以,

当X_at时,

x:

；；at

11

ux,t=一\'[xat广口x-at一，丨沖d

22ax」t

1txat-

f,dd（3.1.23）

2a0x_at

当0乞x：

：

at时,

1

ux,txatLiat-x-—

2一

'at-xx“at

2aJd；d

1

2a

k（3.1.24）

1txat-■

—f,dd.2a

2at_xx…

a

例4.2.3

例423设边界固定，均匀且柔软的矩形膜，其长为b,宽

为a,作微小横振动，初始位移为0（x,y）,初始速度

为p（x,y），求膜作自由振动的规律。

解设"=为膜的位移，则上述物理问题可归结

为求解下列定解问题：

utt="〈+竹）Ovxvq00,

2心尹,0）=滋乙尹），叫（x,y,0）=i//（x4,0

Iz/（0j,/）=tKctyJ）=Q00,

”（兀0,/）=他$/）=0,00.

用分离变呈法求解.设解"=A^（A-）y（j/）r（z）工o代入到定解问题（4.2.27）中的方程，得

3-（°=x”a）+""（，）=_几—

.丹⑺x（x）心）

其中兄，“为分离常数，记了=几+".从而得到关于

T（F）,X（A7）,YO浙常徴分方程

T”0）+yc'TQ、=O,r>0,

Y"O）+“Y（_y）=O,O

由边界条件，得X（O）=X（c）=O.因此得特征值问题

JV"（x）+=（XC）vxve

[x（o）=X（c）=O・

求得特征值干口对应的特征函数为

nurx

类似地，我们得到X（0）=X（6）=0以及关于Y{y）的特征值问题

YU）+“Ya）=0,0pv»y（o）=Y（b）=o.

其特征值和对应的特征函数为

打°）二Qsin努

代入关于T的方程，得

T爲⑴+5

其通解为几y十醞

于是得到给©砂鳥0）爲Q

利用叠加原理，得到定解问题的形式解

班忑”0=左f%（x,y.t）=£XX林（x）I；0）7^„（0

m=1m=ln=lm=l

也罟x.錚ittx.n/ry

=H（口如cosset+bmnsillsin——

«=im=i口b

其中系数％”=Qi廿务百门=Q»赵禺•利用初始条件确定系数Clmn,b»

mn

m=1m=l

因为0）=0（x,j9=文丈％sinsin

ab

_-■.njry

由三角函数系

g〔九”。

）=屮g，）=H勺比Nt卫*msin-—-

*在矩形区域」0g]x[0』]

上的正交性”得

J=£j；j：

0g，”in

4血

abex^

其中n.tn=1,2<

.my

Sin—CZV£Tl\

b八

m^rx・wjtv」,

-sm—

ab

端点固定的半无限长的均匀弦振动的定解问题

考虑定解问题

h撑+y（x；4oo,

£o）=桃d叫（兀o）=岁（边0

i4o,/）=o3/>o-

求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数f巖叭使其在旳<■x<0上也有定

义，，这样把半无界区域0^x

m上的初值问题。

然后利

用达朗贝尔公式（3.1.15），求出在曲—上的解u（x,t）。

同时使此解u（o,t）满足u（0,t）=0.这样当x限制在0|D上就是我们所要求的半无界区域0I丄<|D上的

解。

由微积分知识可知，如果一个连续可微函数g（x）在（^切）上是奇函数，则必有g（0）

=0.因此要使解u=u（x,t）满足u（0,t）=0，只要u（x,t）是x的奇函数便可。

而由推论3.1.1,只

貞工］

呎4x>o,一机一远JTCO_

/tSjt>o,/>q,

显然函数f（"1凰M和飒工）在D“一.!

曲上是奇函数。

然后考虑初值问题

-ot0,

«（rs0）=

（3.1.17）

由（3,1,15），问题（3.1.17）的解是

如）=£唸+of）+紙-皿））+2口^也+舟［UH虹跑T

（3.1.18）

所以问题（3.1.16）的解u（x,t）在00上的限制。

于是当1>^时,如=\徹+皿）怖-皿））+£口^也+£IX：

二兔咖T

（3.1.19）

当0

n（x^）=扌叙"远）-虱at-工））*J二试£血+j訂二事"层匸二^3也

（3.1.20）

例2.2.1确定下列方程标准型

（1）Uxx+2Uxy-2Uxz+2Uyy+6Uzz=0

⑵4u&「4jxy「2UyzUyuz=0.

解：

（1）方程对应的系数矩阵是

i'11—1

A=〔120.Uxx+2Uxy—2Uxz+2Uyy+6Uzz=0,

（—106J

1

_1

00

10

11'22」

则BABt二E,这里E为三阶矩阵，令

r\

%、

I

x

n

=b

y