材料力学柴国钟答案.docx
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材料力学柴国钟答案
材料力学柴国钟答案
【篇一：
材料力学（柴国钟、梁利华）第5章】
mmax10?
10610?
106
（a）?
1?
?
y1?
?
90?
15.4mpa；?
2?
?
y2?
?
60?
10.3mpa
120?
1803120?
1803iziz
1212
6
m10?
10?
3?
?
maxy3?
?
?
90?
?
15.4mpa
120?
1803iz
12
3
120?
18045?
1203
（b）iz?
?
2?
?
45360000mm4
1212
6
mmaxmmax10?
1010?
106
?
1?
?
y1?
?
90?
19.8mpa；?
2?
?
y2?
?
60?
13.2mpa
iz45360000iz45360000
mmax10?
10
6
?
3?
?
y3?
?
?
90?
?
19.8mpa
iz45360000
（c）yc?
30?
150?
75?
120?
30?
165
?
115mm
30?
150?
120?
3030?
1503120?
30322
iz?
?
30?
150?
?
115?
75?
?
?
120?
30?
?
165?
115?
?
24907500mm4
1212
mmaxmmax10?
10610?
106
?
1?
?
y1?
?
65?
26.1mpa；?
2?
?
y2?
?
35?
14.1mpa
iz24907500iz24907500
mmax10?
106
?
3?
?
y3?
?
?
115?
?
46.2mpa
iz24907500
5.2如图所示，圆截面梁的外伸部分系空心圆截面，轴承a和d可视为铰支座。
试求该轴横截面
上的最大正应力。
解：
剪力图和弯矩图如下：
fs
m1.344
mb?
1.344kn?
m，md?
0.9kn?
m
?
b,max
mb32mb32?
1.344?
106
?
?
?
?
63.4mpawz?
d3?
?
603
48
?
d,max
md32md32?
0.9?
106?
?
?
?
62.1mpawz?
d31?
?
4?
?
603?
1?
0.754故，?
max?
63.4mpa
5.3图示简支梁受均布载荷作用。
已知材料的许用应力[?
]=160mpa。
（1）设计实心圆截面的直径d；
（2）设计宽度与高度之比b/h=2/3的矩形截面；（3）设计内径与外径之比d/d=3/4的空心圆截面；（4）选择工字形截面的型钢；（5）分析以上4种截面的合理性。
11
解：
最大弯矩为mmax?
ql2?
?
10?
42?
20kn?
m88
mmaxmmax20?
106
?
max?
?
?
?
?
?
wz?
?
?
125000mm3
?
wz160
实心圆截面：
wz?
?
d3
32
bh2h3
?
h?
?
104mm，wz?
17.3；矩形截面：
wz?
?
，故?
b?
?
69.4mm，
a69
3434
w?
d?
1?
?
?
?
d?
1?
0.75?
空心圆截面：
wz?
，故?
d?
?
124mm，z?
24.2；?
a3232
w
工字形截面：
选16号，z?
54.0。
a
由以上计算可见，工字形截面的单位面积抗弯能力最强。
5.4图示20a工字钢简支梁。
已知材料的许用应力为[?
112
解：
最大弯矩为mmax?
fa?
?
f?
2?
f?
kn?
m?
3333
20a工字钢：
wz?
237cm
26f?
10
m
?
max?
max?
?
?
?
?
?
f?
56.9kn
wz237?
103
5.5图示t形截面悬臂梁。
材料为铸铁，其抗拉许用应力[?
t]=40mpa，抗压许用应力[?
c]=160mpa，cm4，h1?
9.64cm。
试按正应力强度条件计算梁的许可载荷f。
截面对形心轴z的惯性矩iz?
10180
?
mmax?
mb?
2f?
kn?
m?
c截面：
mc2f?
106t
?
c,max?
h2?
?
153.6?
?
?
t?
iz10180?
104f?
13.3kn
mc2f?
106c
?
c,max?
h1?
?
96.4?
?
?
c?
iz10180?
104
f?
84.5kna截面：
mb2f?
106t
?
b,max?
h1?
?
96.4?
?
?
t?
，f?
21.2kn
iz10180?
104
，故?
d?
?
109mm，
wz
?
13.6；a
?
解：
mmax?
mc?
2f?
kn?
m?
?
c
b,max
故，取?
f?
?
13.3kn。
5.6起重机导轨梁由两根工字钢组成。
起重机自重f1?
50kn，起重量f2?
10kn。
已知材料的许
49
mb2f?
106?
h2?
?
153.6?
?
?
c?
，f?
53.0kniz10180?
104
用正应力[?
]=160mpa，许用切应力[?
]=100mpa。
不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选择工字钢的型号，并进行切应力强度校核。
解：
剪力图和弯矩图如下。
fs
m?
m1?
x?
?
50?
12x1?
0，x1?
4.17m，m1,max?
104.2kn?
m?
x
?
m2?
x?
m2?
x?
?
?
10?
6x?
?
8?
x?
，?
38?
12x2?
0，x2?
3.17m，m1,max?
140.2kn?
m?
x
故，当x?
3.17m，弯矩最大，其值为
mmax?
140.2kn?
m
m1?
x?
?
?
50?
6x?
x，
mmaxmmax140.2?
106
?
max?
?
?
?
?
?
wz?
?
?
438020.8mm3
2wz2?
2?
160
i
查表，可选取28a工字钢，wz?
508000mm3，z?
246mm，b?
8.5mm。
sz
当x?
8m，fs,max?
58kn，
?
max
fs,maxsz58?
103?
?
?
13.9mpa?
?
?
?
biz2?
8.5?
246
结构满足剪切强度条件。
5.7图示由三根木条胶合的悬臂梁，其长度l＝1m。
木材的许用正应力[?
]=10mpa，许用切应力[?
]=1mpa，胶合面的许用切应力[?
胶]=0.34mpa。
试求许可载荷f。
解：
mmax?
fl?
f?
kn?
m?
木材弯曲正应力校核：
mmax6?
f?
106
?
max?
?
?
?
?
?
?
f?
3.75knwz100?
1502
木材切应力校核：
ff?
103
?
max?
1.5?
1.5?
?
?
?
?
f?
10kn
a100?
150
胶合面切应力校核：
fszf?
103?
50?
100?
50?
s胶?
?
?
?
?
胶?
?
f?
3.825kn
biz100?
100?
1503/12
综合，可得?
f?
?
3.75kn。
5.8图示槽形截面外伸梁。
已知材料的抗拉许用应力[?
t]=50mpa，抗压许用应力[?
c]=120mpa，
许用切应力[?
]=30mpa。
试校核梁的强度。
解：
剪力图和弯矩图如图。
?
mmax?
md?
10kn?
m
?
m
max?
mb?
20kn?
m
50
150?
250?
125?
100?
200?
100
?
153.6mm，y1?
250?
153.6?
96.4mm
150?
250?
100?
200150?
2503100?
200322
iz?
?
150?
250?
?
153.6?
125?
?
?
100?
200?
?
153.6?
100?
1212?
101860119mm4
d截面弯曲强度校核：
md10?
106t
?
?
?
d,max?
y2?
?
153.6?
15.1mpa?
?
t
iz101860119
y2?
c
?
d,max
m10?
10
?
dy1?
?
96.4?
9.47mpa?
?
?
c?
iz101860119
6
fsmb截面弯曲强度校核：
mb20?
106t
?
b,max?
y1?
?
96.4?
18.9mpa?
?
?
t?
iz101860119
?
c
b,max
mb20?
106?
y2?
?
153.6?
30.2mpa?
?
?
c?
iz101860119
切应力强度校核：
153.6
?
589604.6mm32
fmaxsz,max20?
103?
589604.6?
max?
?
?
2.32mpa?
?
?
?
biz50?
101860119
故，梁满足强度条件。
5.9图示18号工字钢梁，其上作用着可移动的载荷f。
为提高梁的承载能力，试确定a的合理数值及相应的许可载荷f。
设材料的许用应力为[?
]=160mpa。
解：
两种情况可能弯矩最大，如图。
f?
6?
a?
类似题4.4，只有当最大弯矩最?
fa时，2小，即a?
2m。
mmax?
2f?
kn?
m?
查表，18号工字钢截面：
wz?
185000mm3
则，
mmax2f?
106
?
max?
?
?
?
?
?
wz185000f?
14.8kn.m
5.10我国晋朝的营造法式中，给出矩形截面梁的高度与宽度之比为3:
2。
试用正应力强度条件证明：
从圆木中锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
bh2b?
d2?
b2?
解：
wz?
?
66?
wzd2?
3b26
?
?
0?
b?
d，h?
d2?
b2?
d?
b633h
?
2?
1.5b
sz,max?
2?
25?
153.6?
51
5.11均布载荷作用下的等强度简支梁，材料的许用正应力为[?
]，许用切应力为[?
]。
假设其横截面为矩形，宽度b保持不变。
试求截面高度h
112
解：
m?
x?
?
qlx?
qx
22
112qlx?
qx
m?
x?
lx?
x2?
max?
?
6?
3q2?
?
?
?
wzbh2xbhx
lx?
x2
?
h?
x?
?
3q
b?
fs?
x?
?
11ql?
qx，fs,max?
ql22
?
max
1
qlfs,max3ql3ql?
1.5?
1.5?
?
?
?
?
?
h?
axbh4bh4b?
52
【篇二：
材料力学（柴国钟、梁利华）第9章】
许用应力[?
]?
100mpa。
试选择横梁工字钢的型号（不考虑工字钢的自重）。
解：
由?
mc?
0可得
fax?
3?
tan30?
?
f?
1.5?
0，fax?
13kn
由?
mb?
0可得
fay?
3?
f?
1.5?
0，fay?
7.5kn
横梁的跨中截面上有最大弯矩mmax?
7.5?
1.5?
11.25kn?
m
横梁上的最大压应力
fm
?
max?
ax?
max?
[?
]
awz
上述强度条件中截面面积a和抗弯截面系数wz都是未知的，因此首先忽略轴力的影响来选取工字钢型号，然后再利用上式做强度校核。
mmax11.25?
106
wz?
?
?
11.25?
104mm3?
112.5cm3
[?
]100
查表，选取16号工字钢，其wz为141cm3，a为26.131cm2，代入
（1）式得到
1300011.25?
106
?
max?
?
?
84.8mpa?
[?
]
2613.1141000
因此，最终选择16号工字钢。
9.2如图所示的链环，其截面直径d?
50mm，受拉力
f?
10kn
作用，试求链环的最大正应力。
解：
最大拉应力：
fm1000010000?
60
?
max,t?
n?
max?
?
?
54.0mpa
awz?
?
502/4?
?
503/32
最大压应力：
fm1000010000?
60
?
max,c?
n?
max?
?
?
?
43.8mpa
awz?
?
502/4?
?
503/32
9.3如图所示夹具，夹紧力为f?
2kn，材料的许用应力为[?
]?
170mpa，试校核m-m截面的强度。
解：
m-m截面上的最大正应力（拉应力）为
fm20002000?
50
?
max,t?
?
max?
?
awz10?
2010?
202/6
?
160.0mpa?
[?
]
故夹具满足强度条件。
9.4图示简支梁，已知：
q?
20kn/m，f?
1500kn，e?
80mm。
求
（1）f和q分别作用时，跨中截面的正应力分布图；
（2）f和q同时作用时，跨中截面的正应力分布图。
解：
（1）f单独作用时，上、下表面的应力为：
?
?
?
fmmax1500?
10001500?
1000?
80?
0
?
?
?
?
?
2
25mpaawz250?
480250?
480/6?
跨中横截面上正应力分布图如图（a）。
q单独作用时，上、下表面的应力为：
?
?
?
?
mmaxwz
1
?
20?
100002?
?
26.0mpa
?
?
?
?
250?
4802/6?
26.0mpa
跨中横截面上正应力分布图如图（b）。
（2）f和q共同作用时，上、下表面的应力为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
26.0mpa
51.0mpa?
跨中横截面上正应力分布图如图（c）。
9.5如图所示托架，ab为矩形截面梁，宽度b?
20mm，高度h?
40mm；杆cd为圆管，外径d=30mm，内径d=24mm；两者的材料相同，许用应力[?
]?
160mpa。
试确定该结构的许可载荷[q]。
解：
（1）横梁ab的受力图如图，由?
ma?
0可得
821
q?
kn?
fn?
sin45?
?
0.6?
?
q?
0.82?
0，fn?
152
这里q的单位默认为m。
由竖向的受力平衡方程可得fn?
sin45?
?
q?
0.8?
fy?
0，8224
?
q?
q?
kn?
15215
横梁ac段的弯矩方程为fy?
q?
0.8?
41
m1（x）?
qx?
qx2，x
?
[0,0.6]
152
由
4?
m1（x）4
?
q?
qx?
0，可得x?
m；?
x1515
4
15
最大弯矩为：
m1max
x?
441?
4?
8q?
q?
?
q?
?
?
kn?
m15152?
15?
225
2
横梁bc段的弯矩方程为
112
m2（x）?
?
q?
0.8?
x?
?
?
qx2?
0.8qx?
0.32q?
kn?
m?
，x?
[0.6,0.8]
22
最大弯矩为
m2max?
?
0.02q?
kn?
m?
可见，最大弯矩为mmax?
8q4
，位于x?
m处，此横截面上的最大正应力（拉应力）为
15225
?
max
fxmmaxfnmmax82q?
10328q?
10622q
?
?
?
?
?
?
?
?
1602
awza2wz15?
20?
402225?
20?
40/63
由上式可得，q?
21.8knm。
（2）由压杆cd的强度条件，确定许可载荷。
82
q?
1000
fn?
?
?
?
160a?
?
302?
242?
4
由上式可得，q?
53.98m
因此，该结构的许可载荷为?
q?
?
21.8m。
9.6试确定如图a、b所示截面的截面核心。
9.6解：
（a）梯形面积为
1
a?
?
（200?
400）?
300?
90000mm2
2
形心位置
sy200?
300?
150?
100?
300?
100zc?
?
?
133.33mm
a90000
对形心轴的惯性矩
（b2?
4bb?
b2）h3（2002?
4?
400?
200?
4002）?
3003
iy?
?
?
6.5?
108mm4
36（b?
b）36?
（200?
400）
c
2
?
111?
100?
?
33
iz?
?
300?
200?
2?
?
?
300?
100?
?
100?
300?
?
?
100?
?
?
7.5?
108mm4
122?
3?
?
?
?
36?
c
2
iy?
c
iy
c
a
?
7.22?
103mm2，iz2?
c
iz
c
a
?
8.33?
103mm2
利用公式：
ycf?
?
iz2cayc
，zcf?
?
2iyc
azc
确定力作用点的坐标：
当中性轴与ab边重合时，中性轴在yc、zc坐标轴上的截距分别是
az?
133.3mm，ay?
?
c
c
所以力的作用点坐标是
ycf?
?
iz2
c
?
?
0，zcf?
54.3mm
当中性轴与cd边重合时，中性轴在yc、zc坐标轴上的截距分别是
az?
167mm，ay?
?
c
c
所以力的作用点坐标是
ycf?
?
iz2
c
?
?
0，zcf?
?
43.2mm
当中性轴与ad边重合时，中性轴在yc、zc坐标轴上的截距分别是
az?
467mm，ay?
?
156mm
c
c
所以力的作用点坐标是
ycf?
53.4mm，zcf?
?
15.5mm
当中性轴与bc边重合时，情况和与ad边重合相同，只是力作用点坐标在数值上相等，ycf符号相反，即
ycf?
?
53.4mm，zcf?
?
15.5mm
截面核心如图所示。
（b）半圆面积为
a1?
?
r22
?
?
?
1502
2
?
35300mm2
形心c1的位置
4r4?
0.15?
?
63.7mm（c1至cd边的距离）3?
3?
半圆面积对形心轴的惯性矩（查附录一）
z1iy?
0.1098r4?
0.1098?
1504?
5.56?
107mm4
1c
iz?
1c
?
r48
?
?
8
1504?
1.99?
108mm4
矩形面积：
a2?
300?
250?
75000mm2
250
?
125mm（c2至ab边的距离）2
矩形面积对形心轴的惯性矩：
形心c2的位置：
z2?
iy?
2c
1
?
300?
2503?
3.91?
108mm412
1
?
25?
3003?
5.63?
108mm412
图形面积的形心：
a（z?
0.25）?
a2z235300?
（63.7?
250）?
75000?
125zc?
11?
?
186mm
a1?
a235300?
75000
iz?
2c
图形面积对形心轴的惯性矩
iz?
iz?
iz?
1.99?
108?
5.63?
108?
7.62?
108mm4
c
1c
2c
iy?
iy?
a1（z1?
0.25?
zc）2?
iy?
a2（zc?
z2）2
c
1c
2c
?
5.56?
10?
35300?
（63.7?
250?
186）?
3.91?
10?
75000?
（186?
125）?
130?
10mm
2
应用i?
ia的关系确定图形面积对形心轴的回转半径
728274
i
2yc
130?
107130?
107
?
?
?
?
1.18?
104mm2aa1?
a2110000
c
iy
76.2?
10776.2?
107
i?
?
?
?
6.93?
103mm2
aa1?
a2110000
2
zc
c
iz
2iyiz2
利用公式：
yf?
?
，zf?
?
，确定力作用点的坐标。
ayaz
当中性轴与ab边重合时，中性轴在yc、zc坐标轴上的截距分别是
az?
186mm，ayc?
?
c
所以力作用点的坐标是
ycf?
0，zcf
1.18?
104?
?
63.4mm
186
当中性轴与半圆周的e点相切时，中性轴在yc、zc坐标轴上的截距分别是
az?
150?
250-186?
214mm，ayc?
?
c
所以力的作用点坐标是
ycf?
0，zcf
1.18?
104?
-?
-55.1mm214
【篇三：
材料力学（柴国钟、梁利华）第10章】
100?
200393?
1863
解：
ix?
?
?
16796532.7mm4
12127?
1003186?
73
iy?
2?
?
1171983.2mm4
1212
因为iy?
ix，故i?
iy
?
2ei?
2?
208?
103?
1171983.2fcr?
?
?
49.1?
103n?
49.1kn22
?
l0.7?
10000
10.2两端固定的圆截面钢质压杆，直径为50mm，受轴向压力f作用。
已知e?
210gpa和?
p?
200mpa，试确定能够使用欧拉公式的最短压杆长度l。
4?
l4?
0.5?
l?
2e?
2?
210?
103
解：
?
?
?
?
?
?
p?
?
?
101.8
id50?
p200
?
l
可得：
l?
2545mm
10.3截面为矩形b?
h的压杆，两端用柱销联接（在x?
y平面内弯曲时，可视为两端铰支；在x?
z
h?
50mm平面内弯曲时，可视为两端固定）。
已知e?
200gpa，试求：
（1）当b?
30mm，?
p?
200mpa，时，压杆的临界压力；
（2）若使压杆在两个平面（x?
y和x?
z面）内失稳的可能性相同时，求b和
h的比值。
bh330?
503
解：
iz?
?
?
312500mm4，?
z?
1，故
12122
?
eiz?
2?
200?
103?
312500fcr1?
?
2
?
zl1?
23002
?
117?
103n?
117kn
hb350?
303
iy?
?
?
112500mm4，?
y?
0.5，故
12122
?
eiy?
2?
200?
103?
112500fcr2?
?
?
yl20.5?
23002
?
168?
103n?
168kn
故fcr?
117kn。
若使压杆在两个平面（x?
y和x?
z面）内失稳的可能性相同，则要求
2
?
2eiz?
eiybh3hb3b1
?
?
iz?
4iy?
?
4?
?
22
1212h2?
zl?
yl
10.4两端铰支的细长压杆，圆形横截面的直径为d。
假设压杆只发生弹性变形，材料的热膨胀系数为?
。
若温度升高?
t，求临界压力与?
t的关系。
fnl解：
?
?
?
tl?
?
?
e?
?
t
ea
?
?
e?
?
t?
?
cr
fcr?
e?
?
t
?
d24
5pa。
试求可用经验公式10.5图示圆截面压杆d?
40mm，材料?
s?
23m
?
cr?
304?
1.12?
计算临界应力时的最小杆长。
解：
?
cr?
304
?
1.12?
?
?
s
1
304?
?
s304?
235
?
?
61.61.121.12?
l0.7?
l?
?
?
?
61.6?
l?
880mm
i10
?
?
10.6图示结构，圆杆bd的直径d?
50mm，材料e?
200gpa，?
p?
100，试求结构的临界压力fcr。
解：
fnb?
2.5f
?
l1?
2000?
4?
?
?
?
160?
?
p，故适用欧拉公式i50
?
2e?
2?
200?
103?
5023
fnbcr?
?
cra?
2a?
?
?
151?
10n
?
16024
ffcr?
nbcr?
60.6kn
2.5
10.7由三根细长压杆构成的支架，a、b、c位于同一水平面，三杆截面均为圆形，直径为d，材料的弹性模量为e，?
p?
90。
a、b、c、d均为铰链节点。
竖直力f的作用线恰好通过等边三角
形abc的形心g。
已知dg?
ab?
h，h?
20d。
试确定最大允许的力f
。
解：
由于对称性，三杆轴力相同，不妨假设为fn。
三杆的杆长均为
?
?
23l?
?
h?
?
h2?
h
?
3?
3?
?
由竖直方向的平衡方程，有
f?
3fncos?
?
gdb?
?
3fn
h3
?
3f
n?
fnl22
2
1?
2h?
48h3?
?
?
92.4
i3?
d3d3
因为?
?
?
p，适用于欧拉公式，故
?
?
?
l
?
fncr
即，
?
2e?
3ed2
?
?
cra?
2a?
?
4?
2
33?
3ed2
fcr?
fncr?
28?
2
10.8图中ab为刚杆，圆截面细长杆1、2为两端铰支约束，材料、长度、直径均相同，求临界压力fcr。
解：
只有当1、2杆均失稳，整个结构才失稳。
?
2ei?
3ed4
fcr1?
fcr2?
?
?
l264l2
由平衡方程，有
fcr1?
2fcr2?
3ed4
fcr?
3a?
fcr1?
a?
fcr2?
2a?
fcr?
?
364l2
10
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