硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析.docx
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硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题及答案解析
一、选择题：
1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）函数的可去间断点的个数为
.1.2.3.无穷多个
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse
【答案】C
【解析】
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse
则当取任何整数时，均无意义
故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解
故可去间断点为3个，即
（2）当时，与是等价无穷小，则
.，.，
.，.，
【答案】
【解析】为等价无穷小，则
故排除。
另外存在，蕴含了故排除。
所以本题选A。
（3）使不等式成立的的范围是
....
【答案】
【解析】原问题可转化为求
成立时的取值范围，由，时，知当时，。
故应选.
（4）设函数在区间上的图形为：
则函数的图形为
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：
①时，，且单调递减。
②时，单调递增。
③时，为常函数。
④时，为线性函数，单调递增。
⑤由于F（x）为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为。
（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
..
..
【答案】B
【解析】根据，若
分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆
故答案为B。
（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为
..
..
【答案】A
【解析】，即：
（7）设事件与事件B互不相容，则
..
..
【答案】
【解析】因为互不相容，所以
，因为不一定等于1，所以不正确
当不为0时，不成立，故排除
只有当互为对立事件的时候才成立，故排除
，故正确。
（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为
.0.1.2.3
【答案】B
【解析】
独立
（1）若，则
（2）当，则
为间断点，故选（B）
二、填空题：
9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）.
【答案】
【解析】
（10）设，则
【答案】
【解析】
方法一：
由，故
代入得，
方法二：
由于
故.
（11）幂级数的收敛半径为
【答案】
【解析】
由题意知，
所以，该幂级数的收敛半径为
（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元
【答案】12000
【解析】所求即为
因为，所以
所以
将代入有。
（13）设,，若矩阵相似于，则
【答案】2
【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为
3，0，0。
而为矩阵的对角元素之和，，。
（14）设，,…，是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则
【答案】
【解析】
三、解答题：
15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。
【解析】
故
则
而
二元函数存在极小值
（16）（本题满分10分）
计算不定积分
【解析】
即
（17）（本题满分10分）
计算二重积分，其中.
【解析】由得，
（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：
若函数在上连续，在可导，则存在，使得
（Ⅱ）证明：
若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。
【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：
；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。
根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即
（Ⅱ）任取，则函数满足；
在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：
存在，使得……
又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：
故存在，且。
（19）（本题满分10分）
设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。
【解析】旋转体的体积为
曲边梯形的面积为：
，则由题可知
两边对t求导可得
继续求导可得，化简可得
，解之得
在式中令，则，代入得。
所以该曲线方程为：
。
（20）（本题满分11分）
设，
（Ⅰ）求满足的所有向量，
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：
线性无关。
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令，由解得，
求特解，令，得
故，其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令，由得
令，由得
求特解故，其中为任意常数
（Ⅱ）证明：
由于
故线性无关.
（21）（本题满分11分）
设二次型
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。
【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。
则
1）若，则，，不符题意
2）若，即，则，，符合
3）若，即，则，，不符题意
综上所述，故
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量的概率密度为
求条件概率密度
求条件概率
【解析】
（I）由得其边缘密度函数
故
即
（II）
而
（23）（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布。
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
X
Y
0
1
2
0
1/4
1/6
1/36
1
1/3
1/9
0
2
1/9
0
0
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Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.
NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.
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