硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析.docx

1、硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数的可去间断点的个数为 . 1 . 2 . 3 .无穷多个For personal use only in study and research; not for commercial use【答案】C 【解析】 For personal use only in study and research; not for commercial use则当取任何整数时，均无

2、意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则.， .， .， .， 【答案】 【解析】为等价无穷小，则 故排除。另外存在，蕴含了故排除。所以本题选A。（3）使不等式成立的的范围是. . . .【答案】 【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，。故应选.（4）设函数在区间上的图形为：则函数的图形为【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：时，且单调递减。时，单调递增。时，为常函数。时，为线性函数，单调递增。由于F(x

3、)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为。（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为. . . .【答案】B【解析】根据，若分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆故答案为B。（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为. . . .【答案】 A【解析】，即：（7）设事件与事件B互不相容，则. . . .【答案】 【解析】因为互不相容，所以，因为不一定等于1，所以不正确当不为0时，不成立，故排除只有当互为对立事件的时候才成立，故排除，故正确。（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为. 0 . 1 . 2 .

4、3【答案】 B【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） .【答案】【解析】 （10）设，则 【答案】【解析】方法一：由，故代入得，方法二：由于故.（11）幂级数的收敛半径为 【答案】【解析】由题意知， 所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元【答案】12000【解析】所求即为因为，所以所以将代入有。（13）设,，若矩阵相似于，则 【答案】2【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0

5、，0。而为矩阵的对角元素之和，。 (14)设，,，是来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 【答案】 【解析】三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数的极值。【解析】故则而二元函数存在极小值（16）（本题满分10 分）计算不定积分【解析】即（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.【解析】由得，（18）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。【解析】（）作辅助函

6、数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：故存在，且。（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得 继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得。所以该曲线方程为：。（20）（本题满分11 分）设， （）求满足的所有向量，（）对（

7、）中的任一向量，证明：线性无关。【解析】（）解方程故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得 故，其中为任意常数 解方程故有两个自由变量，令，由得令，由得求特解故 ，其中为任意常数（）证明：由于 故线性无关.（21）（本题满分11 分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。【解析】（） （） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1) 若，则 ， ，不符题意2) 若，即，则，符合3) 若，即，则，不符题意综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为求条件概率密度求条件概率【解析】（I）由 得其边缘密度函数 故 即 （II）而（

8、23）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求；（）求二维随机变量的概率分布。【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 （）X，Y取值范围为0，1，2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文