四年级高思奥数之幻方与数阵图扩展含答案.docx
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四年级高思奥数之幻方与数阵图扩展含答案
第20讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
典型问题兴趣篇
1.把1，2，⋯，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和
都相等．
2.
（1）如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
（2）如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号是多少?
4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．
5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：
方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、
5恰好各出现一次．请问：
标有符号“△”
，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是
么
?
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?
7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的
两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．
8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
相等的．请问：
这个和最小是多少?
最大是多少?
9．请在图20-10中的六块区域内填人相邻的区域内的数之和都相等．
10．将0至9填入图20-11的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是
?
拓展篇
1．将1，2，3，⋯，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“。
＊”的方格内所填的数是多少
3个
方格中的各数之和都相等．
2．请在图20-13的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的
3个方格中
3．
（1）在图20-14的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的的各数之和都等于19．95．那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?
（2）请在图20-15的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的
个方格中的各数之和都相等。
3
4.如图20-16，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是,把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．
6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中（9已经填好）的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
7．在图20-19的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
8．请将1个1，2个2，3个3，⋯，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填人图20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的和与每条直线上的3个数之和都相等。
10．将1至9填人图20-22中的9个圆圈内，使
11．图20-23中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?
请给出一种填法．
方格中的各数之和都相等．
2.图20-26是有名的“六角幻方”：
将1至19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每
条直线上圆圈中的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用
4个顶点上的
3．在图20-27中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的数字之和都相等．
4．在图20-28的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
5．将1至9分别填人图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈
内所填数之和都相等，那么这个和是多少
6．将0，1，2，⋯，9这10个数分别填人图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少填法．
7．在图20-3l中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面的数之和等于43．
8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：
（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
（3）
请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
第20讲幻方与数阵图扩展
内容概述
掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
典型问题
兴趣篇
2.
（1）如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
（2）如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对
5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：
方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种?
答案：
8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
答案：
中间小圆圈为5，和为10
9．请在图20-10中的六块区域内填人相邻的区域内的数之和都相等．
答案：
拓展篇
1．将1，2，3，⋯，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“。
＊”的方格内所填的数是多少
答案：
4.
根据五阶幻方各行各列及对角线之和相等，剩余数为
又∵a+12+23+9+20=24+10+16+d+13∴d－a=1∴a只能为1，d只能为2，c为21∴和为1+12+23+9+20=65,进而根据幻方求出各数。
方格中的各数之和都相等．
3个
2．请在图20-13的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的
答案：
3．
（1）在图20-14的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中
的各数之和都等于19．95．那么，标有“t”的方格内所填的数是多少?
（2）请在图20-15的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3
4.如图20-16，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是,把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆
6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内
答案：
3个数，居中的数是旁
7．在图20-19的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之
答案：
8．请将1个1，2个2，3个3，⋯，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少?
答案：
6732489
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填人图和与每条直线上的3个数之和都相等。
答案：
答案：
11．图20-23中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?
请给出一种填法．
答案：
4
12．如图20-24，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相
加的和相等．这5个数的和最大可能是多少?
请给出一种填法．
超越篇
1．请在图20-25的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个
方格中的各数之和都相等．
2.图20-26是有名的“六角幻方”：
将1至19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．
答案：
答案：
1，并
答案：
4．在图20-28的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
5．将1至9分别填人图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈
内所填数之和都相等，那么这个和是多少
答案：
6．将0，1，2，⋯，9这10个数分别填人图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的
3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少?
最小是多少?
请分别给出使得和最大、最小的
填法．
答案：
和最大14，中心数是3，和最小是13，中心数是6.
7．在图20-3l中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2个
圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆圈中的数之和等于43．
答案：
8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：
（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
答案：
（1）不能；
（2）不能；（3）和是19,20或21，答案不唯一，例如：
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