排列组合解题技巧和办法.docx

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排列组合解题技巧和办法

运用两个基本原理

例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）

（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种

解决排列组合问题的基本规律，即：

分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

特殊元素（位置）的“优先安排法”：

特殊优先，一般在后

例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A．24个B.30个C.40个D.60个

例2．1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．

例3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.

例4．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

相邻问题用捆绑法：

例5计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（　　）．

A．

　　B．

　　C．

　　D．

例6?

四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？

例7．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种．

例8．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

例9．8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

例10．?

5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？

不相邻问题用“插空法”：

例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。

这样的八位数共有（）个．

例12．4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？

例13．排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

例14．?

5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？

例15．?

马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

六．顺序固定用“除法”：

例16．6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

例17．4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

元素定序，先排后除或选位不排或先定后插

例18．?

5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

练习6?

要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？

七．分排问题用“直排法”：

把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。

例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？

八．逐个试验法：

题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例20.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）

A．6B.9C.11D.23

九、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例21．方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

例．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？

例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？

相同元素进盒，用档板分隔

例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？

练习9?

从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．

例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种．

A．140种B．80种C．70种D．35种

例25．求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

例26．100件产品中有3件是次品，其余都是正品。

现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

例27．8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？

十二．一一对应法：

例29.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？

十三、多元问题——分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例30．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）

A．42B．30C．20D．12

例31．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？

（以数字作答）

多类元素组合，分类取出

例32．车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。

今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？

十四、混合问题——先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例33．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）

A．种B．种C．种D．种

例34．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）

A．24种B．18种C．12种D．6种

分组分配问题:

例18名同学,

（1）平均分成三组,有____________种分法.

（2）平均分给数、理、化小组有___________种分法.（3）分配给化学小组7人,物理小组6人,数学小组5人,有__________种分法.（4）分给数、理、化小组,其中一个组为5人,一个组为6人,一个组为7人,有_________种分法.

用多种方法解

1.某班上午要上语文、数学、体育和英语,又体育教师因故不能上第一节和第四节,则不同的排课方案有_________________种.

2.从5位女同学,6位男同学中选出3位女同学和2位男同学担任五种不同的职务,

有____________________种选法.

3.从甲、乙,......,等6人中选出4名代表,那么

（1）甲一定当选,共有___________种选法.

（2）甲一定不入选,共有_________种选法.

（3）甲、乙二人至少有一人当选,共有_____________种选法.

4.将5本不同的数学书,4本不同的物理,3本不同的化学书排成一排,

（1）各类书必须排成一起,问有________________________种排法.

（2）化学书不全排在一起,问有________________________种排法.

（3）化学书每两本都不相邻,问有________________种排法.

5.有男女售票员各4人,被分配在四辆公共汽车上,要求每辆车上男、女各1人,则有

________________种分法.

6.四个男孩和三个女孩站成一列,男孩甲前面至少有一个女孩站着,并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩的个数,则有_______________________种站法.

排列组合1　

1．某段街道旁边规划树立10块广告牌，广告底色选用红、绿两种颜色，则相邻两块广告底色不同为绿色的配色方案的种数为（　　）

A．72B．78C．143D．156

2．在如图所示的10块地上选出6块种植A1、A2、…、A6等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若A1、A2、A3必须横向相邻种在一起，A4、A5横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（　　）

A．3120B．3360C．5160D．5520　

3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有　　种（用数字作答）．

4．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是　　．（用数字作答）．

5．从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有　　个．（用数字作答）

6．安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是　　．（用数字作答）

7．安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有　　种（用数字作答）．

8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有　　种．（以数作答）

9．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有　　种．

10．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有　　种．

11．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有　　种．

12．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有　　个．（用数字作答）

13．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有　　种．（用数字作答）

14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　　种（用数字作答）．

15．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为　　．（以数字作答）

16．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是　　（用数字作答）．

17．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有　　种（用数字作答）．

18．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有　　种．（用数字作答）．

19．10个相同的小球分给3个人，每人至少2个，有　　种分法．

20．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有　　种（用数字作答）．

21．将4个相同的红球，5个相同的白球，6个相同的黑球放入到4个不同的盒子里，每个盒子中小球的颜色齐全，则不同的放法共有　　种．（用数字作答）

22．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有　　种．（用数字作答）

23．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中球数不能少于2个，那么所有不同的放法的种数为　　．

24．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有　　种．

25．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有　　种．

26．有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，教师对A说：

“你没能得第一名”．又对B说：

“你得了第三名”．从这个问题分析，这五人的名次排列共有　　种可能（用数字作答）．

27．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　　（用数字作答）．

28．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有　　种（用数字作答）．

29．中国从5名外交官中选派4人去日本、韩国、菲律宾参加公益活动，每人只去一个国家，要求去日本两人参加，去韩国一人参加，去菲律宾一人参加，则不同的选派方法共有　　（用数字作答）．

30．

（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？

（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率；

参考答案

1．C；2．C；3．144；4．8424；5．36；6．78；7．2400；8．48；9．1320；10．600；11．100；12．576；13．60；14．390；15．288；16．266；17．216；18．96；19．15；20．140；21．40；22．30；23．18；24．114；25．31；26．18；27．590；28．30；29．60；