第十四讲 一元一次方程的实际应用小升初数学衔接教材人教版.docx

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第十四讲一元一次方程的实际应用小升初数学衔接教材人教版

第十四讲一元一次方程的实际应用

知识

掌握解应用题的步骤.

方法

1.能够找出不同类型的等量关系；

2.能够正确列出方程，并正确解出方程.

1.用方程解决实际问题的步骤

◆审：

理解并找出实际问题中的等量关系；

◆设：

用代数式表示实际问题中的基础数据；

◆列：

找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；

◆解：

求解；

◆验：

考虑求出的解是否具有实际意义；

◆答：

实际问题的答案.

2.用方程解决实际问题的常见类型

◆配套问题：

关键在于找出配比关系；

◆数字问题：

关键在于数字的表达方式；

◆年龄问题：

日历问题需要熟悉日历中的数字关系；

◆工程问题：

关键在于找到每个工程队的工作时间；

◆销售问题：

关键在于记住销售问题中的五个量（进价、标价、售价、利润、利润率）之间的关系.

【方法总结】若配比关系是a：

b，那么最后在列方程的时候，左边乘b，右边乘a.（反着乘）

例1

新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳．一个口罩面需要配两根耳绳，为使每天生产的口罩面与耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？

【答案】15名．

【分析】根据人每天可以生产1000个口罩面或1200根耳绳，一个口罩面需要配两根耳绳，可以列出相应的方程，然后解方程，即可解答本题．

【解答】解：

设应安排x名工人生产口罩面，则安排（40-x）名工人生产耳绳，

1000x×2=1200（40-x），

解得x=15，

答：

应安排15名工人生产口罩面．

例2

某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？

【答案】见试题解答内容

【分析】设应分配x人生产甲种零件，则（60-x）人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解．

【解答】解：

设分配x人生产甲种零件，则共生产甲零件24x个和乙零件12（60-x），

依题意得方程：

24x＝

•12（60−x），

解得x=15，

60-15=45（人）．

答：

应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．

变式1

某车间有44人，生产一种桌子，每人每天平均生产桌面20个或桌子腿30个，如何分配工人，正好使一天生产的桌面桌腿配套？

【答案】见试题解答内容

【分析】设出未知数，根据等量关系：

桌子腿的总数量=4×桌子面的总数量，列出方程即可解决问题．

【解答】解：

设λ人生产桌面，（44-λ）人生产桌子腿，

正好使一天生产的桌面桌腿配套；

由题意得：

30（44-λ）=4×20λ，

解得：

λ=12，44-λ=32；

即12人生产桌面，32人生产桌子腿，正好使一天生产的桌面桌腿配套．

变式2

螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？

【答案】安排25名工人去加工汤料包．

【分析】设安排x人去加工生产汤料包，则安排（80-x）人生产配料包，根据每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

设安排x人去加工生产汤料包，则安排（80-x）人生产配料包

依题意，得：

4×110x=200（80-x）

解得：

x=25，

答：

安排25名工人去加工汤料包．

【方法总结】1.一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b；

2.一个三位数，百位数字是x,十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z.

例1

一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．

【答案】63．

【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10×2x+x）中即可求出结论．

【解答】解：

设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），

依题意，得：

（10×2x+x）-（10x+2x）=27，

解得：

x=3，

∴2x=6，

∴10×2x+x=63．

答：

这个两位数为63．

例2

一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数

字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x.

（1）原三位数可表示为　　，新三位数可表示为　　；

（2）列方程求解原三位数．

【答案】见试题解答内容

【分析】

（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，根据三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；

（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可．

【解答】解：

（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，

又∵十位数字是0，

∴原三位数可表示为100x+2x=102x．

∵新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，十位数字是0，

∴新三位数可表示为100•2x+x=201x．

故答案为102x，201x；

（2）由题意，得201x=2•102x-9，

解得x=3．

则102×3=306．

答：

原三位数为306．

变式1

一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求这个两位数.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为2x，则原两位数可表示为10×2x+x，数字对调后所得两位数是（10x+2x），再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：

10×2x+x-（10x+2x）=36，解方程得到个位数，进而可得十位数字．

【解答】解：

设个位数字为x，则十位数字为2x，由题意得：

10×2x+x-（10x+2x）=36，

解得：

x=4，

则2x=8，

答：

原两位数是84．

故答案为84．

变式2

小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：

（1）它的千位数字为2；

（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决．

【解答】解：

设原来数字为x，

2x-1478=（x-2000）×10+2

解得，x=2315

答：

小明的考场号是2315．

例1

今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x

岁，则可列方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】设今年儿子x岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【解答】解：

设今年儿子x岁，

依题意，得：

3x-5=4（x-5）+1．

故选：

B．

例2

古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记栽着：

“他生命的六分之一是幸福的童年；再

活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他

有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，

也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：

（1）丢番图的寿命；

（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；

（3）儿子死时丢番图的年龄．

变式1

今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄．

【答案】60．

【分析】设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是

x岁，根据12年之后小李的年龄变成爷爷的年龄三分之一，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是

x岁，

依题意，得：

x+12=

（x+12），

解得：

x=60．

答：

爷爷今年60岁．

变式2

爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，

爸爸笑笑说：

“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”．那么小莉的爷爷的生

日是在（）

A．16号

B．18号

C．20号

D．22号

【答案】C

【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右4个日期”的排布方法．依此列方程求解．

【解答】解：

设那一天是x，则左日期=x-1，右日期=x+1，上日期=x-7，下日期=x+7，

依题意得x-1+x+1+x-7+x+7=80

解得：

x=20

故选：

C．

工程问题

题型四

【方法总结】工做总量=工作效率×工作时间，工作效率是很好找的，工程问题最重要的是找到工作时间.

例1

一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作

的

．若设甲一共做了x天，则所列方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

变式1

一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任

务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（）天才能完成该工程．

A．

B．

C．

D．

例2

新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某口罩生产厂家接到一批口罩定制任务，要求10天完成．如果安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；如果安排第二车间单独加工，则会延期5天完成．

（1）为了尽快完成任务，厂长安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，那么该厂家可以提前几天完成任务？

（2）已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：

方案一：

第一车间单独加工；

方案二：

第二车间单独加工；

方案三：

两个车间同时加工．

如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又在规定时间内完成这批口罩加工任务？

请通过计算说明理由．

变式2

修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独需要12天完成，丙队单独修需15天完成，现在先由甲队单独修2.5天，再由乙队接着修，最后还剩下一段路，由三队合修2天才完成任务，乙队在整个修路工程中工作了多少天？

【方法总结】利润=售价-进价；利润率=利润÷进价.

例1

某种商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润率为15.2%，这种商品每件的标价是（）

A．38元

B．250元

C．288元

D．320元

【答案】D

【分析】等量关系为：

标价×9折=进价×（1+利润率），把相关数值代入计算即可．

【解答】解：

设这种商品每件的标价是x元，依题意有

x×90%=250×（1+15.2%），

解得x=320．

故这种商品每件的标价是320元．

故选：

D．

例2

某商品的价格标签已丢失，售货员只知道”它的进价为80元，打七折出售后，仍可获利5％”你认为售货员应标在标签上的价格为（）

A．110元

B．120元

C．130元

D．140元

【答案】B

【分析】设标签上的价格为x元，根据打折后售价=成本+利润即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

设标签上的价格为x元，

根据题意得：

0.7x=80×（1+5%），

解得：

x=120．

故选：

B．

变式1

某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（）

A．30元

B．31元

C．32元

D．33元

【答案】D

【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

设这本新书的标价为x元，

依题意得：

0.8x-24=24×10%，

解得：

x=33．

故选：

D．

变式2

某种商品的进价为120元，若按标价九折降价出售，仍可获利20%，该商品的标价为（）

A．140元

B．150元

C．160元

D．170元

【答案】C

【分析】设该商品的标价为x元，根据若按标价九折降价出售，仍可获利20%，列出方程，求解即可．

【解答】解：

设该商品的标价为x元，

0.9x=120×（1+20%），

解得：

x=160，

答：

该商品的标价为160元，

故选：

C．

例3

某商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（）

A．亏损10元

B．不赢不亏

C．亏损16元

D．盈利10元

【答案】A

【分析】设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出x（y）的值，再将两件衣服的利润相加即可得出结论．

【解答】解：

设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，

依题意，得：

120-x=20%x，120-y=-20%y，

解得：

x=100，y=150，

∴120-x+120-y=-10．

故选：

A．

变式3

某超市两个进价不同的书包都卖84元，其中一个盈利40%，另一个亏本25%，在这次买卖中，这家超市（）

A．不赚不赔

B．赚了4元

C．赚了52元

D．赔了4元

【答案】D

【分析】设进价低的书包进价为x元，进价高的书包进价为y元，根据“其中一个盈利40%，另一个亏本25%，且售价均为84元”，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再利用利润=售价-进价，即可求出结论．

【解答】解：

设进价低的书包进价为x元，进价高的书包进价为y元，

根据题意得：

（1+40%）x=84，（1-25%）y=84，

解得：

x=60，y=112，

∴84×2-x-y=-4．

故选：

D．

例4

学友书店推出售书优惠方案：

①一次性购书不超过100，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明同学一次性购书付款171元，那么他所购书的原价为_____________.

【答案】190元或213.75元．

【分析】三种方案中只有两种方案符合条件，分别列出方程，解之即可得出答案．

【解答】解：

设他所购书的原价为x元，

根据题意，①171＞100，不符合条件；

②当100＜x≤200时，9x=171，

解得，x=190，

∵100＜190＜200，

∴190符合条件；

③当x＞200时，0.8x=171，

解得，x=213.75，

213.75＞200，

∴213.75符合条件．

故答案为：

190元或213.75元．

例5

元旦期间，某超市推出如下优惠方案：

（1）一次性购物价值超过100元但不超过300元，原价基础上一律9折.

（2）一次性购物超过300元，原价基础上一律8折.王老师购物后付款252元，则他所购物品的原价是_____________元．

【答案】见试题解答内容

【分析】首先设他所购物品的原价是x元，计算出王老师购物应该付款的数额，然后根据优惠方案

（1）或优惠方案

（2）即可求解．

【解答】解：

设他所购物品的原价是x元，分两种情况：

①如果是第

（1）种优惠，可得0.9x=252，解得x=280（符合超过100不高于300）；

②如果是第

（2）种优惠，可得0.8x=252，解得x=315（符合超过300元）．

他所购物品的原价是：

280或315元．

故答案为：

280或315．

变式4

某超市的促销活动规定：

（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；

（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律打九折；

（3）一次性购物超过300元，一律八折．

购物付款261元，则原价是_____________元．

【答案】见试题解答内容

【分析】购物付款261元，两种可能，方案

（2）或方案（3），

即在“一次性购物超过100元但不超过300元，一律打九折”，用261÷90%=290（元），

在“一次性购物超过300元，一律八折”购物付款261元，用261÷80%=326.25（元）．

【解答】解：

方案

（2）购物：

261÷90%=290（元）；

方案（3）购物：

261÷80%=326.25（元）；

答：

则原价是290或326.25．

故答案为：

290或326.25．

第十四讲一元一次方程的应用作业

1.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或者2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，安排生产螺钉的工人为x人，则可列方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】设分配x名工人生产螺母，则（22-x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，可以列出方程求出即可．

【解答】解：

设安排x人生产螺钉，则（22-x）人生产螺母，

由题意得，2×1200x=2000（22-x），

故选：

D．

2.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在18天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？

【答案】甲种零件生产 10天，乙种零件生产 8天．

【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“甲乙两种零件分别取3个和2个才能配套”和“要在18天生产最多的成套产品”，列方程求解即可．

【解答】解：

设甲种零件生产 x天，由题意得：

2×120x=3×100（18-x），

解得：

x=10，

答：

甲种零件生产 10天，乙种零件生产 8天．

1.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，求原来的两位数．

【答案】35

2.一个两位数，个位数上的数字是十位上的数字的二倍，先将这个两位数的两个数字对调，得到第二个两位数，再将第二个两位数的十位数字加上一，个位数字上减去一，得到第三个两位数，若第三个两位数恰好是原来两位数的二倍，求原来两位数.

【答案】见试题解答内容

【分析】设原两位数的十位上的数字为a，则个位上的数字为2a，这个两位数表示为10•a+2a，于是可表示出第二个两位数10•2a+a，所以第三个两位数10•（2a+1）+a-1，根据第三个两位数恰好是原来两位数的二倍列方程10（2a+1）+a-1=2（10a+2a），然后解方程求出a即可得到原两位数．

【解答】解：

设原两位数的十位上的数字为a，则个位上的数字为2a，这个两位数表示为10•a+2a，

根据题意得10（2a+1）+a-1=2（10a+2a），

解得a=3，

所以原两位数为10a+2a=36．

故答案为36．

1.3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？

【答案】见试题解答内容

【分析】设3年前儿子年龄为x岁，根据3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，得出3年前父亲的年龄是4x岁，进而根据3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍列出方程解答即可．

【解答】解：

设3年前儿子年龄为x岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，

3年前父亲的年龄为4x岁，

3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，

4x+6=3×（x+6），

  4x+6=3x+18

4x+6-3x=3x+18

     x=12，

 4×12=48，

儿子：

12+3=15岁，父亲的年龄，48+3=51岁

答：

儿子今年的年龄为15岁，父亲51岁．

2.父亲和儿子的年龄和为91岁，当父亲的年龄是儿子现在年龄的2倍时，儿子的年龄是父亲现在年龄的

，求儿子现在的年龄.

【答案】28

【分析】设儿子现在的年龄为x岁，父亲现在的年龄为（91-x）岁，当父亲2x岁时，儿子

（91-x）岁，分别计算出两次的年龄差，利用年龄差不变列出方程即可．

【解答】解：

设儿子现在的年龄x岁，则父亲的年龄为91-x岁，

父亲比儿子大（91-x）-x=91-2x（岁），

当父亲2x岁时，儿子

（91-x）岁，

父亲比儿子大2x-

（91-x）岁；

∴2x-

（91-x）=91-2x．

故答案为：

2x-

（91-x）=91-2x．

解得x=28

1.一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要12天完成．现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成．剩下的部分合作还需要几天完成？

【答案】6

2.为了治理大气污染，提升空气质量，现在广大农村正在实施“煤改气”工程．甲、乙两个工程队共同承接了某村“燃气壁挂炉注水”任务．若甲队单独施工需10天完成；若乙队单独施工需15天完成．

（1）甲、乙两队合做需要几天完成？

（2）若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，还需要几天完成？

1.某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10元，则该商品每件的进价为（）

A．100元

B．105元

C．110元

D．120元

【答案】A

【分析】设该商品每件的进价为x元，根据题意可知商品按零售价的8折再降价10元销售即销售价=150×80%-10，利用售价-进价=利润得出方程为150×80%-10-x=10，求出即可．

【解答】解：

设该商品每件的进价为x元，则

150×80%-10-x=10，

解得x=100．

即该商品每件的进价为100元．

故选：

A．

2.某商场将一种商品以每件60元的价格售出，盈利20%，那么该商品的进货价是（）

A．36元

B．48元

C．50元

D．54元

【答案】C

【分析】设该商品的进货价是x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：

设该商品的进货价是x元，

依题意，得：

60-x=20%x，

解得：

x=50．

故选：

C．

3.一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为416元，这件商品卖出后获得利润（）元．

A．16

B．18

C．24

D．32

【答案】A

【分析】此题可设原价为x元，提高30%后标价，实际上是按原价的130%标价，又以8折销售是以原价的80%销售，根据题意列方程解答即可．

【解答】解：

设原价