专题06 全等三角形动点型问题解读解析版.docx
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专题06全等三角形动点型问题解读解析版
专题06全等三角形动点型问题解读
一、基础知识点综述
动点型问题是近几年来中考的一个热点问题.其中的几何动态问题是以几何基础知识与具体图形为背景,将运动变化的观点渗透其中,通过点、线、形的运动,以及图形的翻折、旋转、平移等,对相关图形的性质、数量关系、位置关系等进行探究.
全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合,数形结合,具有较强的综合性,题目灵活多变,能考查学生的想象能力以及综合分析问题的能力.
全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题,通过动点在运动过程中引起的角度变化,线段长度变化,探究其中不变的量(角度、长度、性状等),在解题过程中,要善于抓住图形中的变与不变,以不变解决变.
本专题从浅入深,由简单到复杂,以三角形为载体,以动态问题展开,借以提高学生的思维能力,让不同层次的学生都有收获.
二、典型例题解析
例1.(2018·江苏期末)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=8cm,BD是△ABC的高,动点P在线段AB上由A向B运动,速度为1cm/s;动点Q从点B出发沿射线BC运动,速度为2cm/s.动点P、Q同时出发,当点P停止运动时,点Q随之停止.连接AQ,交射线BD于点E,设点P的运动时间为t秒,
(1)在运动过程中,△BQE的面积始终是△APE面积的2倍,为什么?
(2)当点Q在线段BC上运动时,t为何值时,∠BPE和∠BQE相等.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)过E作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N,
∵∠ABC=90°,AB=BC=8cm,BD是△ABC的高,
∴BD平分∠ABC,
∵EN⊥BC,EM⊥AB,
∴EN=EM,
∵AP=t,BQ=2t,
∴S△BEQ=2S△APE;
(2)由
(1)知,∠PBE=∠QBE,
在△BPE和△BQE中,
∵∠PBE=∠QBE,∠BPE=∠BQE,BE=BE,
∴△BPE≌△BQE,
∴BP=BQ,
即8-t=2t,
解得,t=
,
当t=
时,∠BPE和∠BQE相等.
例2.如图,在平面直角坐标系中,点B(a,0),点C(0,b),点A在第一象限,若a、b满足(a-t)2+|b-t|=0(t>0).
(1)求证:
OB=OC;
(2)如图1,连接AB,过A作AD⊥AB交y轴于D,在射线AD上截取AE=AB,连接EC,取EC的中点F,连接AF,OA,当点A在第一象限内运动(AD不过点C)时,求证:
∠OAF的大小不变;
(3)如图2,B’与B关于y轴对称,M在线段BC上,N在CB’的延长线上,且BM=NB’,连接MN交x轴于点T,过T作TQ⊥MN交y轴于点Q,求点Q的坐标.
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)证明:
∵(a-t)2+|b-t|=0,(a-t)2≥0,|b-t|≥0,
∴a-t=0,b-t=0,
∴a=b=t,
即OB=OC;
(2)证明:
延长AF至点P,使PF=AF,连接PC,OP,OF,
在△AEF和△PCF中,
∵EF=CF,∠AFE=∠PFC,AF=PF,
∴△AEF≌△PCF
∴AE=PC=AB,∠AEF=∠PCF,
∴AE∥PC,∠PCO=∠CDA=180°-∠ODA,
∵∠ABO=360°-∠BOD-∠BAD-∠ADO=180°-∠ADO
∴∠PCO=∠ABO,
在△PCO和△ABO中,
∵OC=OB,∠PCO=∠ABO,PC=AB,
∴△PCO≌△ABO,
∴OP=OA,∠POC=∠AOB,
∴∠AOP=90°,
即△AOP是等腰直角三角形,
∴∠OAF=45°,大小不变.
(3)过N作NP∥BM,交x轴于P,连接QN,MQ,BQ,B’Q,
∵△BOC是等腰直角三角形,B、B’关于y轴对称,
∴BC=BC’,BB’=2OB,
∴△BB’C是等腰直角三角形,∠BB’C=∠B’BC=45°,
∵NP∥BM,
∴∠B’PN=∠PB’N,
∴NP=NB’=BM,
∴△PTN≌△BTM,
∴NT=MT,即T为MN中点,
∵QT⊥MN,
∴QT是MN的垂直平分线,
∴MQ=NQ,
∴BQ=B’Q,
∴△BQM≌△B’QN,
∴∠NB’Q=∠MBQ,
在△BCQ和△B’CQ中,
BC=B’C,∠BCQ=∠B’CQ,CQ=CQ,
∴△BCQ≌△B’CQ,
∴∠MBQ=∠CB’Q=∠NB’Q,
∵∠CB’Q+∠NB’Q=180°,
∴∠MBQ=∠NB’Q=90°,
∴∠OBQ=45°,
即△OBQ是等腰直角三角形,
∴OQ=OB=t,
即Q(0,-t).
例3.(2019·江苏期末)如图,点P是∠MON内的一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,且OA=OB,
图1图2图3
(1)如图1,求证:
PA=PB;
(2)如图2,点C是射线AM上一点,点D是线段OB是一点,且∠CPD+∠MON=180°,若OC=8,OD=5,求OA的长;
(3)如图3,若∠MON=60°,将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转,12秒后,PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转,PA旋转270°后停止,此时PB也随之停止旋转.在旋转过程中,PA所在直线与OM所在直线的交点记为G,PB所在直线与ON所在直线的交点记为H,问PB旋转几秒时,PG=PH?
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)连接OP,
∵PA⊥OM,PB⊥ON,
∴∠OAP=∠ABP=90°,
在Rt△AOP和Rt△BOP中,
∵OP=OP,OA=OB,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB;
(2)∵∠CPD+∠MON=180°,
∴∠ACP+∠ODP=180°,
∵∠BDP+∠ODP=180°,
∴∠ACP=∠BDP,
∵PA=PB,∠PAC=∠PBD=90°,
∴△ACP≌△BDP,
∴AC=BD,
∵OC=8,OD=5,
∴OA=OC-AC=OC-BD=OC-(OB-OD)=OC-OA+OD,
∴OA=(OC+OD)÷2=6.5;
(3)
(3)如图3,若∠MON=60°,将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转,12秒后,PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转,PA旋转270°后停止,此时PB也随之停止旋转.在选择过程中,PA所在直线与OM所在直线的交点记为G,PB所在直线与ON所在直线的交点记为H,问PB旋转几秒时,PG=PH?
(3)①当0≤t<12时,PA未开始运动,故不存在PG=PH;
②当G、P、B三点共线时,t=21,当12∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,如下图所示,
由题意知,10t-120=2t,解得,t=15;
③当H与点O重合时,t=30,当21≤t<30时,
∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,如下图所示,
由题意知,180-(10t-120)=2t,
解得:
t=25;
④当PA旋转270°时,t=39,同理,∠APG=∠BPH时,△APG≌△BPH,此时,PG=PH,
∴10t-300=2t,
解得:
t=37.5;
综上所述,当t=15秒,25秒,37.5秒时,PG=PH.
例4.(2018·济南期末)如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D是直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时,如图1,判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.
(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,探究:
当∠ACB为多少度时,CE⊥BC?
图1图2图3
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)①CE⊥BD,CE=BD,理由如下,
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠CAE+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,
∴∠ECB=90°,即CE⊥BD.
②CE⊥BD,CE=BD,理由如下,
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,
∵AD=AE,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE,
∴CE=BD,∠B=∠ACE,BD=CE,
∴∠ACE+∠ACB=90°,
即CE⊥BD,CE=BD;
(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BC,理由如下,
过点A作AG⊥AC交CB延长线于G,∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,
∴∠G=45°,
∴AG=AC,
在△GAD和△CAE中,
∵AG=AC,∠DAG=∠EAC,AD=AE,
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGC=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BC.
例5.(2019·山东期末)如图,已知△BAD≌△BCE,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N,
如图,当点A、B、E三点在同一直线上时,
①求证:
△MEN≌△MDA;
②判断AC与CN的数量关系,并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
①∵△BAD≌△BCE,
∴BC=AD,EC=AB,
∵EN∥AD,
∴∠MEN=∠MDA,
∵ME=MD,∠EMN=∠DMA,
∴△MEN≌△MDA;
②AC=CN,
由△MEN≌△MDA,得EN=AD,
∴EN=BC,
∵∠ABD=∠BEC=30°
∴∠ABC=∠CEN=120°,
∵AB=EC,
∴△ABC≌△CEN,
∴AC=CN.
例6.如图1,已知C是线段AB的中点,过点C作AB的垂线CN,在射线CN上有一动点P(不与C重合),连接PB,过点A作PB的垂线,垂足为D,在射线AD上取点E,使得AE=BP,已知∠CPB=α,AB=8,
(1)当α=15°时,求∠BAE的度数.
(2)过E作EF⊥AB于F,在点P的运动过程中,α的大小随点P的运动而变化,在这个变化过程中线段EF的长度是否发生变化?
若不变求出EF的长,若变化,说明理由.
(3)如图2,当0°<α<45°时,设直线PE与直线AB相交于点G,求∠G的度数.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)∵PC⊥AB,AD⊥PB,
∴∠B+∠BAE=90°,α+∠B=90°,
∴∠BAE=α=15°;
(2)线段EF的长度不变,EF=4,理由如下,
由
(1)知,∠FAE=∠BPC,
∵EF⊥AB,PC⊥AB,
∴∠EFA=∠BCP=90°,
∵AE=BP,
∴△EFA≌△BCP,
∴EF=BC,
∵C是AB中点,
∴BC=
AB=4.
即EF=4,长度不变.
(3)连接PA,PE并延长交直线AB于点G,
∵C是AB中点,PC⊥AB,
∴PC是线段AB的垂直平分线,
∴PA=PB=AE,
∴∠APC=∠CPB=∠EAG,
∠APG=2∠APC+∠BPG,
∵∠PEA=∠EAG+∠EGA=∠BPC+∠EGA,
∠PEA=∠APE=2∠BPC+∠BPG,
∴∠EGA=∠BPC+∠BPG=∠CPG,
∵PC⊥AB,
∴∠EGA=45°.
例7.(2019·福建期末)如图,在△ABC中,∠A<∠C,BD⊥AC,垂足为D,点E是BC边上的一个动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交AB的延长线于点F,连接DF交BC于点G,
(1)请根据题意补全示意图;
(2)当△ABD和△DEF全等时,
①若AD=FE,∠A=30°,∠AFD=40°,求∠C的度数;
②探究GF、AF、DF之间的数量关系,并说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)如图所示.
(2)①∵△ABD与△DEF全等,
∴AB=DF,
∵DE⊥EF,BD⊥AC,
∴∠DEF=∠ADB=90°,
∵AD=EF,
∴∠ABD=∠EDF,BD=DE,
∴∠ABD=90°-∠A=60°=∠EDF,
∴∠ABD=∠BDF+∠AFD,
∠AFD=40°,
∴∠BDF=20°,
∴∠BDE=80°,
∴∠BED=∠DBE=50°,
在Rt△BCD中,∠C=90°-∠DBE=40°;
②GF+DF=AF,理由如下,
∵AB=DF,
(i)若BD=DE,
∵△ABD与△DEF全等,
∴∠ABD=∠FDE,
∵BD=DE,
∴∠BED=∠DBE,
∴∠FBG=180°-∠ABD-∠DBE,
∵∠DGE=180°-∠FDE-∠DEB,
∴∠FBG=∠DGE,
∵∠DGE=∠FGB,
∴∠FBG=∠FGB,
∴FB=FG,
∴AF=AB+BF=DF+GF;
(ii)若AD=DE,延长FE交AC于H,在CD上截取DI=DE,连接BI,
∵DE⊥FH,
∴DH>DE,
∵AD=DE=DI,BD⊥AI,
∴BD平分∠ABI,∠A=∠BID,AB=BI,
∵∠BID=∠C+∠IBC>∠C,
∴∠A>∠C,
与题意不符.
综上所述,AF=DF+FG.
例8.(2018·四川期末)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线,垂足为D、E.
(1)如图1,当D、E两点在直线BC的同侧时,猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当D、E两点在直线BC的异侧时,猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,∠BAC=90°,AB=22,AC=28,点P从点B出发沿B→A→C路径向终点C运动;点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动;点P和点Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动,只要有一个点到达终点时两点同时停止运动,在运动过程中,分别过P和Q作PF⊥l于F,QG⊥l于G.问:
点P运动多少秒时,△PFA和△QAG全等?
图1图2图3
【答案】见解析.
【解析】解:
(1)DE=BD+CE,理由如下,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠ACE,
∵AB=AC,
∴△ABD≌△CAE,
∴CE=AD,BD=AE,
∴DE=AD+AE=CE+BD;
(2)DE=CE-BD,理由如下,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠ACE,
∵AB=AC,
∴△ABD≌△CAE,
∴CE=AD,BD=AE,
∴DE=AD-AE=CE-BD;
(3)设运动时间为t,
①当0≤t<
时,如下图所示,
当AP=AQ时,△PFA≌△AGQ,
即22-2t=28-3t,解得:
t=6;
②当
≤t<11时,如下图所示,
当P与Q重合时,△PFA≌△QGA,
即AP=AQ,
22-2t=3t-28,解得:
t=10;
③当11≤t≤
时,如下图所示,
当AP=AQ时,△PFA≌△AGQ,
即2t-22=3t-28,解得:
t=6(不合题意,舍去);
综上所述,当点P运动6秒、10秒时,△PFA和△QAG全等.