专题06 全等三角形动点型问题解读解析版.docx

1、专题06 全等三角形动点型问题解读解析版专题06 全等三角形动点型问题解读一、基础知识点综述 动点型问题是近几年来中考的一个热点问题. 其中的几何动态问题是以几何基础知识与具体图形为背景，将运动变化的观点渗透其中，通过点、线、形的运动，以及图形的翻折、旋转、平移等，对相关图形的性质、数量关系、位置关系等进行探究. 全等三角形的动态问题是将几何、代数相结合，数形结合，具有较强的综合性，题目灵活多变，能考查学生的想象能力以及综合分析问题的能力.全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题，通过动点在运动过程中引起的角度变化，线段长度变化，探究其中不变的量（角度、长度、性状等），在解题过程中，要善

2、于抓住图形中的变与不变，以不变解决变. 本专题从浅入深，由简单到复杂，以三角形为载体，以动态问题展开，借以提高学生的思维能力，让不同层次的学生都有收获.二、典型例题解析 例1. （2018江苏期末）如图，在ABC中，ABC=90，AB=BC=8cm，BD是ABC的高，动点P在线段AB上由A向B运动，速度为1cm/s；动点Q从点B出发沿射线BC运动，速度为2cm/s. 动点P、Q同时出发，当点P停止运动时，点Q随之停止. 连接AQ，交射线BD于点E，设点P的运动时间为t秒，（1）在运动过程中，BQE的面积始终是APE面积的2倍，为什么？（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，BPE和BQE相

3、等.【答案】见解析.【解析】解：（1）过E作EMAB于M，ENBC于N，ABC=90，AB=BC=8cm，BD是ABC的高，BD平分ABC，ENBC，EMAB，EN=EM，AP=t，BQ=2t，SBEQ=2SAPE;（2）由（1）知，PBE=QBE，在BPE和BQE中，PBE=QBE，BPE=BQE，BE=BE，BPEBQE，BP=BQ，即8t=2t，解得，t=，当t=时，BPE和BQE相等.例2. 如图，在平面直角坐标系中，点B(a,0)，点C(0,b)，点A在第一象限，若a、b满足(at)2+|bt|=0（t0）.（1）求证：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作ADAB交y轴于D，在

4、射线AD上截取AE=AB，连接EC，取EC的中点F，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，求证：OAF的大小不变；（3）如图2，B与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB的延长线上，且BM=NB，连接MN交x轴于点T，过T作TQMN交y轴于点Q，求点Q的坐标. 图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：(at)2+|bt|=0，(at)20，|bt|0，at=0，bt=0，a=b=t，即OB=OC；（2）证明：延长AF至点P，使PF=AF，连接PC,OP,OF，在AEF和PCF中，EF=CF，AFE=PFC，AF=PF，AEFPCFAE=PC=AB，AEF=PCF

5、，AEPC，PCO=CDA=180ODA，ABO=360BODBADADO=180ADOPCO=ABO，在PCO和ABO中，OC=OB, PCO=ABO，PC=AB，PCOABO，OP=OA，POC=AOB，AOP=90，即AOP是等腰直角三角形，OAF=45，大小不变.（3）过N作NPBM，交x轴于P，连接QN，MQ，BQ，BQ，BOC是等腰直角三角形，B、B关于y轴对称，BC=BC，BB=2OB，BBC是等腰直角三角形，BBC=BBC=45，NPBM，BPN=PBN，NP=NB=BM，PTNBTM，NT=MT，即T为MN中点，QTMN，QT是MN的垂直平分线，MQ=NQ，BQ=BQ，BQM

6、BQN，NBQ=MBQ，在BCQ和BCQ中，BC=BC，BCQ=BCQ，CQ=CQ，BCQBCQ，MBQ=CBQ=NBQ，CBQ+NBQ=180，MBQ=NBQ=90，OBQ=45，即OBQ是等腰直角三角形，OQ=OB=t，即Q(0,t).例3. （2019江苏期末）如图，点P是MON内的一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B，且OA=OB，图1 图2 图3（1）如图1，求证：PA=PB；（2）如图2，点C是射线AM上一点，点D是线段OB是一点，且CPD+MON=180，若OC=8，OD=5，求OA的长；（3）如图3，若MON=60，将PB绕点P以每秒2的速度顺时针旋转，12秒后，PA开

7、始绕点P以每秒10的速度顺时针旋转，PA旋转270后停止，此时PB也随之停止旋转. 在旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H，问PB旋转几秒时，PG=PH?【答案】见解析.【解析】解：（1）连接OP，PAOM，PBON，OAP=ABP=90，在RtAOP和RtBOP中，OP=OP，OA=OB，RtAOPRtBOPPA=PB；（2）CPD+MON=180，ACP+ODP=180，BDP+ODP=180，ACP=BDP，PA=PB，PAC=PBD=90，ACPBDP，AC=BD，OC=8，OD=5，OA=OCAC=OCBD= OC（OBOD）=O

8、COA+OD，OA=（OC+OD）2=6.5；（3）（3）如图3，若MON=60，将PB绕点P以每秒2的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10的速度顺时针旋转，PA旋转270后停止，此时PB也随之停止旋转. 在选择过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H，问PB旋转几秒时，PG=PH?（3）当0t12时，PA未开始运动，故不存在PG=PH；当G、P、B三点共线时，t=21，当12t21时，APG=BPH时，APGBPH，此时，PG=PH，如下图所示，由题意知，10t120=2t，解得，t=15；当H与点O重合时，t=30，当21t30时

9、，APG=BPH时，APGBPH，此时，PG=PH，如下图所示，由题意知，180（10t120）=2t，解得：t=25；当PA旋转270时，t=39，同理，APG=BPH时，APGBPH，此时，PG=PH，10t300=2t，解得：t=37.5；综上所述，当t=15秒,25秒,37.5秒时，PG=PH.例4. （2018济南期末）如图，在ABC中，ABC为锐角，点D是直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，DAE=90，AD=AE.（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时，如图1，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.当点D在线段BC的延长线上时

10、，如图2，判断线段CE、BD的位置关系及数量关系.（2）如图3，如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动，探究：当ACB为多少度时，CEBC？图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）CEBD，CE=BD，理由如下，BAD+DAC=90，CAE+DAC=90，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，ABDACE，ACE=B=45，BD=CE，ECB=90，即CEBD.CEBD，CE=BD，理由如下，BAC=DAE，BAC+DAC=DAE+DAC，即BAD=CAE，AD=AE，AB=AC，ABDACE，CE=BD，B=ACE，BD=CE，ACE+ACB=90，即CEBD，CE=BD

11、；（2）当ACB=45时，CEBC，理由如下，过点A作AGAC交CB延长线于G，GAC=90，ACB=45，G=45，AG=AC，在GAD和CAE中，AG=AC，DAG=EAC，AD=AE，GADCAE，ACE=AGC=45，BCE=ACB+ACE=90，即CEBC.例5. （2019山东期末）如图，已知BADBCE，BAD=BCE=90，ABD=BEC=30，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N，如图，当点A、B、E三点在同一直线上时，求证：MENMDA；判断AC与CN的数量关系，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：BADBCE，BC=AD，EC=AB，ENAD，ME

12、N=MDA，ME=MD，EMN=DMA,MENMDA；AC=CN，由MENMDA，得EN=AD，EN=BC，ABD=BEC=30ABC=CEN=120，AB=EC， ABCCEN，AC=CN.例6. 如图1，已知C是线段AB的中点，过点C作AB的垂线CN，在射线CN上有一动点P（不与C重合），连接PB，过点A作PB的垂线，垂足为D，在射线AD上取点E，使得AE=BP，已知CPB=，AB=8，（1）当=15时，求BAE的度数.（2）过E作EFAB于F，在点P的运动过程中，的大小随点P的运动而变化，在这个变化过程中线段EF的长度是否发生变化？若不变求出EF的长，若变化，说明理由.（3）如图2，当0

13、45时，设直线PE与直线AB相交于点G，求G的度数.【答案】见解析.【解析】解：（1）PCAB，ADPB，B+BAE=90，+B=90，BAE=15；（2）线段EF的长度不变，EF=4，理由如下，由（1）知，FAE=BPC，EFAB，PCAB，EFA=BCP=90，AE=BP，EFABCP，EF=BC，C是AB中点，BC= AB=4.即EF=4，长度不变.（3）连接PA，PE并延长交直线AB于点G，C是AB中点，PCAB，PC是线段AB的垂直平分线，PA=PB=AE，APC=CPB=EAG，APG=2APC+BPG，PEA=EAG+EGA=BPC+EGA，PEA=APE=2BPC+BPG，EG

14、A=BPC+BPG=CPG，PCAB，EGA=45.例7. （2019福建期末）如图，在ABC中，ADE，AD=DE=DI，BDAI，BD平分ABI，A=BID，AB=BI，BID=C+IBCC，AC，与题意不符.综上所述，AF=DF+FG.例8. （2018四川期末）如图1，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E.（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（2）如图2，当D、E两点在直线BC的异侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系，并说明理由.（3）如图3，BA

15、C=90，AB=22，AC=28，点P从点B出发沿BAC路径向终点C运动；点Q从C点出发沿CAB路径向终点B运动；点P和点Q分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，只要有一个点到达终点时两点同时停止运动，在运动过程中，分别过P和Q作PFl于F，QGl于G. 问：点P运动多少秒时，PFA和QAG全等？ 图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）DE=BD+CE，理由如下，BAC=90，DAB+EAC=90，BDl，CEl，BDA=AEC=90，ACE+EAC=90，DAB=ACE，AB=AC，ABDCAE，CE=AD，BD=AE，DE=AD+AE=CE+BD；（2）DE=CEBD，理由如下，BAC=90，DAB+EAC=90，BDl，CEl，BDA=AEC=90，ACE+EAC=90，DAB=ACE，AB=AC，ABDCAE，CE=AD，BD=AE，DE=ADAE=CEBD；（3）设运动时间为t，当0t时，如下图所示，当AP=AQ时，PFAAGQ，即222t=283t，解得：t=6；当t11时，如下图所示，当P与Q重合时，PFAQGA，即AP=AQ，222t=3t28，解得：t=10；当11t时，如下图所示，当AP=AQ时，PFAAGQ，即2t22=3t28，解得：t=6（不合题意，舍去）；综上所述，当点P运动6秒、10秒时，PFA和QAG全等.