离散数学AB卷.docx
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离散数学AB卷
A卷
一、选择题：
（30分）
1取个体域为整数集，给定下列公式
（1）xy（x*y=O）
（2）xy（x*y=1）
（3）yx（x*y=2）
（4）xyz（x-y=z）
（5）x-y=-y+x
（6）xy（x*y=y）
（7）x（x*y=x）
（8）xy（x+y=2y）
在一
上面
的公式中，真命题的为A
假命;
题的为
Bo
A:
①
（1）、（3）、
（4）、
（6）;②
（3）、
（4）、
（5）;
③
（1）、（3）、
（4）、
（5）;④
（3）、
（4）、
（6）、
（7）
B:
①
（2）、（3）、
（6）;
笑
（2）、
（6）、
（8）;
③
（1）、
（2）、
（6）、
（7）;④
（2）、
（6）、
（8）、
（7）
2、
设
S1={1,2,
8,9},S2={2
4,
6,8}
S3={1,3,5,7,9},
S4={3,4,5},S5={3,5}o确定在以下条件下X可能与S1,…,S5中哪个集合相等。
（1）若XAS5=，则A；
（2）若XS4但XAS2=，则B;
（3）若XS1但XS3,贝UC;
（4）若X-S3=，则D;
（5）若XS3但XS1,贝UE;
A、B、CDE:
1X=S2或者S3;②X=S4或者S5;③X=S1,S2或者S4;
④X与其中任何集合都不等；⑤X=S2;⑥X=S5;⑦X=S3或者S5;
⑧X=S2或者S4;
3、
（1）设S={1,2},R为S上的二元关系，且xRy。
如果R=ls，则A—;如果R是数的
小于等于关系，则B—;如果R=Es,则Co
（2）设有序对＜x+2,4＞与有序对＜5,2x+y＞相等，则x=D,y=E。
AB、C:
①x与y可任意选择1或2:
②x=1,y=1:
③x=1,y=1或2;x=y=2;
④x=2,y=2:
⑤x=y=1或x=y=2;®x=1,y=2:
⑦x=2,y=1;
DE:
⑧3趨9;⑩-2
4、设S=＜1,2,3,4＞,R为S上的关系，其关系矩阵是
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
则
（1）
R的
关系表达式是A
（2）domR=B;ranR=;
（3）RR中有D个有序对；
（4）R-1的关系图中有E个环。
AV{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>};
2殳<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>};
BC:
3殳1,2,3,4};1,2,4};⑤殳1,4};®{1,3,4};
DE:
⑦1;®3;⑨6;⑩7
5、在有理数集合Q上定义二元运算*,x,y€Q有
x*y=x+y-xy
则
（1）2*（-5）=A,7*1/2=B。
（2）*在Q上是C;
（3）关于*的幺元是D;
（4）Q中满足E;
AB:
①4;②7;③-13;
C:
④可结合的；⑤不可结合的；
D:
⑥1:
⑦0;
E:
⑧所有的元素都有逆元；⑨只有唯一的逆元；
⑩x€Q,x1时，有逆元X-1。
6、下图给出一个格L,则
（1）L是A兀格；
（2）L是B;
（3）b的补元是C,a的补元是D,1的补元是E
A:
①5:
②6;
B:
③分配格；④有补格；⑤布尔格；⑥以上都不对；
CD、E:
⑦不存在；⑧c和d;⑨0:
⑩c;
A—个,
7、6个顶点11条边的所有可能的非同构的连通的简单的非平面图有其中有B个含子图K33,有C个含与K5同胚的子图。
AB、C:
①1;笑2;③3;④4;⑤5;®6;⑦7;⑧8;
二、填空题：
（20分）
1、设p=1,q=0,r=1,s=0，有下列命题公式
（1）（pAq—（sAr）
（2）（pAqArAs）V（sfq）
（3）（pAqAr）（pVs）
那么，
（1）的真值为;
（2）的真值为;（3）的真值为
2、已知命题公式A含有3个命题变项，其成真赋值为000,010,100,110。
则A的主析取范式为，主合取范式为。
3、设S={1,2,3},定义SXS上的等价关系R
,€SxS有：
〜a+d=b+c
则由R产生了SxS的一个划分。
在该划分中共有_个划分块，
其中最大的块有个元素，并且含有元素。
最小的划分块有块，
每块含有个元素。
4、设W=<{1,2,3},,1>,其中xy表示取x和y之中较大的数，V2=<{5,6},*,
6>,其中x*y表示取x和y之中较小的数。
（1）V1含有个子代数，其中平凡的真子代数有个；
V2含有个平凡的子代数。
（2）
积代数V1XV2中有个元素，其幺元是。
6、在下面所示的各图中，是二部图的为,在二部图中存在完美匹配的是_,它的匹
配数是。
三、判断下列句子中哪些是命题（5分）
（1）2是素数
（2）血是黑色的
（3）明年10月1日是晴天
（4）这朵花多好看呀！
（5）X+y>5
四、求下面命题公式的主析取范式和主合取范式（6分）
（（pVq）fr）fp
五、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下：
（1）甲或乙盗窃了录音机
（2）若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前
（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭
（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前
（5）午夜时屋里灯光灭了
推理证明，谁盗窃了录音机。
（6分）
六、将下列语句用谓词表达式符号化（4分）
（1）如果2大于3,贝U2大于4
（2）没有不吃饭的人
（3）有些人喜欢所有的花
（4）凡是对顶角都相等
七、设A={1,2,3,…，11,12},R为A上整除关系，画出哈斯图。
（6分）
八、对于给定集合A和B,构造从A到B的双射函数。
（4分）
A=Z,B=N其中Z,N分别表示整数集和自然数集；
九、设R的关系图如所示，试给出r（R）、s（R）、t（R）的关系图。
（4分）
十、设A={1,2,3,4,5},构成群，其中为集合的对称差。
（6分）
（1）求解方程{1,3}X={3,4,5};
（2）令B={1,4,5},求由B生成的循环子群;
补图G中有几个奇数度顶点（5分）
十二、画出度数列为1，1，1，1，2，2，4的所有非同构的7阶无向树。
（4分）
A卷答案
、选择题：
（30分）
1、
A:
③;
2、
A:
⑤;
3、
A:
⑤;
4、
A:
②;
5、
A:
②;
6、
A:
②;
7、
A:
④;
B:
②;
B:
⑥;
B:
③;
B:
③;
B:
①;
B:
⑥;
B:
②;
C:
③;
C:
①;
C:
⑤;
C:
④;
C:
⑦;
C:
②;
D:
⑦;
D:
⑧;
D:
⑩;
D:
⑦;
D:
⑦;
E:
④;
E:
⑩;
E:
⑦;
E:
⑩;
E:
⑨;
二、填空题:
（20分）
1、
（1）1;
（2）1;（3）0;
2、
主析取范式为mOVm2Vm4Vm6
主合取范式为M1AM3AM5AM7;
3、
5；3；＜1，1＞，＜2，2＞，＜3，3＞；2；1；
4、
（1）4；2；2；
（2）6；＜1，6＞；
5、
（c）、（e）为欧拉图；
（b）、（c）、（d）、（e）、（f）为哈密顿图；
6、
二部图的为（c）、（d）、（e）;完美匹配的是（d）;3;
三、是命题:
（1）、
（2）、（3）；不是命题（4）、（5）；
四、主析取范式：
m2^m4Vm5Vm6Vm7;
V（pAqAr）
乙的证词正确;
或者：
（pAqAr）V（pAqAr）V（pAqAr）V（pAqAr）主合取范式：
MOAMAM3;
或者：
（pVqVr）A（pVqVr）A（pVqVr）
五、
p：
甲盗窃了录音机；q:
乙盗窃了录音机；r:
作案时间发生在午夜前；s:
t：
午夜时屋里灯光灭;
则前提为：
pVq;pfr;sft;str;t;
推理过程：
（1）t前提
（2）sft前提
（3）s
（1）
（2）
（4）sfr前提
（5）r（3）（4）
（6）pfr前提
（7）p（5）（6）
（8）pVq前提
（9）q（7）（8）
结论为：
乙盗窃了录音机
六、
（1）p（x,y）:
表示x大于y;a=2;b=3;c=4;
p（a，b）fp（a，c）
（2）m（x）：
x是人;e（x）：
x吃饭;
x（m（x）te（x））或者（x（m（x）Ae（x）））
（3）m（x）：
x是人;h（x）：
x是花;p（x，y）：
x喜欢y;
x（m（xAy（h（yfp（x，y
（4）p（x,y）:
x与y是对顶角，q（x,y）:
x与y相等;
xy（p（x，y）fq（x，y））
七、
八、f:
ZfN，f（x）=2x,xO,
2x1,xO,
九、
所以，由B生成的循环子群为{{1,4,5},}
由于G中有r个奇数度顶点，所以，补图G中有r个奇数度顶点。
十二、
B卷
一、选择题：
（30分）
1、给定语句如下：
（1）15是素数
（2）10能被2整除，3是偶数
（3）你下午有会吗
（4）2x+3>0
（5）2是素数或是合数
（6）这个男孩真勇敢呀！
（7）如果2+2=6，则5是奇数
（8）只有4是偶数，3才能被2整除
（9）明年5月1日是晴天
（10）圆的面积等于半径的平方与的乘积
以上10个语句中，是简单命题的为A，是复合命题的为B,
是真命题的为C,是假命题的为D,真值待定（真值客观存在，只是现在不知道）
的命题为E。
AV
（1）、（4）、（8）笑（4）、（6）、（9）、（10）3
（1）、（9）、（10）
BV（3）、（10）笑
（2）、（5）、（7）、（8）3（7）、（8）
CV
（2）、（5）、（9）、（10）笑（7）、（8）、（10）3
（2）、（9）、（10）@（5）、（7）、（8）、（10）
D:
©
（1）、
（2）、（8）笑
（1）、
（2）3
（1）、（5）
E:
©（4）、（9）笑（9）3（7）、（8）
2、设S={1,2},则S上可定义A_个不同的二元关系，其中B_个等价关系，
C个偏序关系，Is是D_。
AB、C:
①1;笑2;③3;④4;⑤8:
⑥16
D:
7等价关系但不是偏序关系；⑧偏序关系但不是等价关系；
⑨等价关系和偏序关系；⑩既不是等价关系也不是偏序关系；
3、设S={1,2，…，9,10},是S上的整除关系，则＜S,＞的哈斯图是A_，其中最
大兀是B，最小兀是C，最小上界是D，最大下界是E。
A:
①一棵树；②一条链；③以上都不对；
BC、DE:
4：
⑤1;⑥10;⑦6,7,8,9,10；⑧6;⑨0;⑩不存在
4、设Z={x|x€ZAx＞0},*表示求两个数的最小公倍数的运算，则
（1）4*6=;
（2）*在Z+上B;
（3）对于*运算的幺元是C，零元是D;
（4）在Z+中E；
A:
①24;②12;
B:
③只满足交换率；④只满足结合律；
5满足交换率、结合律和幕等律；
CD:
⑥0;⑦1;⑧不存在；
E:
⑨不存在逆元；⑩只有唯一的逆元
5、对以下定义的集合和运算判断它们是不是代数系统。
如果是，是哪一种
（1）S仁{1,1/2,2,1/3,3,1/4,4},*为普通乘法，则S1是A_;
（2）S2={a1,a2,…,an},n》2,ai€R,i=1,2,…,n,
ai,aj€S2,有aiaj=ai,贝US2是B;
（3）S3={0,1},*为普通乘法,则S3是C_;
（4）S4={1,2,3,6},为整除关系，则S4是D_;
（5）S5={0,1},+、*分别为模2加法和乘法，贝US5是E。
A、B、CDE:
①半群，但不是独异点；②是独异点，但不是群；③群；
④环，但不是域；⑤域；⑥格，但不是布尔代数；⑦布尔代数；
8代数系统，但不是以上7种；⑨不是代数系统；
6、给定有向带权图如图所示，
图中b到a的最短路径的权为A;b到d的最短路径的权为B;
b到e的最短路径的权为C;b到g的最短路径的权为D;
A、B、C、D:
①4;②5;③6;④7;⑤8;®9;⑦10;
7、
（1）非同构的无向的4阶自补图有A个；
（2）非同构的无向的5阶自补图有B个；
AB:
①0;②1;③2;④3;
二、填空题：
（20分）
1、给定命题公式如下：
（ptq）f（pVq）
该命题公式的主析取范式中含极小项的个数为，主合取范式中含极大
项的个数为，成真赋值个数为，成假赋值个数为。
2、对于下面的语句，
（1）只要4V3，就有3>2。
真值是。
（3）只有4V3，才有3>2。
真值是。
（6）4>3仅当3<2。
真值是。
（7）4V3当且仅当3>2。
真值是。
3、下列命题
（1）；
（2）；（3）{};（4）{}
正确的是;错误的是。
4、设A、B为集合，
（1）A-B=B，成立的充分必要条件是;
（2）A-B=B-A，成立的充分必要条件是;
（3）AUB=AAB,成立的充分必要条件是;
5、设S={a,b},则S上可以定义个二元运算，其中有4个运算f1,f2,f3,f4,其运算表如下：
则只有满足交换律，满足幕等律，有幺元，有零元。
6、下列各组数中，哪些能构成无向图的度数列哪些能构成
无向简单图的度数列
（1）1,1,1,2,3;
（2）2,2,2,2,2;
（3）3,3,3,3;
（4）1,2,3,4,5;
（5）1,3,3,3；
三、将下列命题符号化（6分）
（1）2是素数和偶数
（2）李芳学过英语或日语
（3）小王是游泳冠军或者百米赛跑冠军
（4）小王现在在宿舍或者在图书馆
（5）如果明天天气好，我们去郊游。
否则，不去郊游
（6）你爱我，我就嫁给你
四、利用真值表求主析取范式和主合取范式（4分）
（pAq）Vr
五、指出下列各合式公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的自由出现和约束出现。
（6分）
（1）x（F（x）tyH（x,y））
（2）xF（x）AG（x，y）
六、计算以下幂集（6分）
（1）P（）；（3）P（{,{}}）;
七、设A=（1,2,3},求出A上的所有的等价关系（4分）
八、设S=（1,2，…，9,10},问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算（5分）
（1）x*y=gcd（x，y），x与y的最大公约数；
（2）x*y=lcm（x，y），x与y的最小公倍数；
（3）x*y=大于等于xy的最小整数；
（4）x*y=max（x，y）；
（5）x*y=质数P的个数，其中x九、设＜B,A,V,',0,1＞是布尔代数，
（1）a,b€B,公式f为bA（aV（a'A（bVb'）））,在B中化简f;
（2）在B中等式（aAb'）V（a'Ab）=0成立的条件是什么（5分）
十、画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有向简单图；（4分）
5名同
十一、某中学有3个课外小组：
物理组、化学组、生物组。
今有张、王、李、赵、陈学。
若已知：
（1）张、王为物理组成员，张、李、赵为化学组成员，李、赵、陈为生物组成员；
（2）张为物理组成员，王、李、赵为化学组成员，王、李、赵、陈为生物组成员；
（3）张为物理组和化学组成员，王、李、赵、陈为生物组成员；问在以上3中情况下能否各选出3名不兼职的组长（5分）
十二、求带权为2、3、5、7、8、8的最优二元树；（5分）
B卷答案
一、选择题：
（30分）
1、
A
:
③；
B:
②；
C
:
④；
D:
②；
E:
②；
2、
A
:
⑥；
B:
②；
C
:
③；
D:
⑨；
3、
A
:
③；
B:
⑩；
C
:
⑤；
D:
⑩；
E:
⑤；
4、
A
:
②；
B:
⑤；
C
:
⑦；
D:
⑧；
E:
⑩；
5、
A
:
⑨；
B:
①；
C
:
②；
D:
⑦；
E:
⑤；
6、
A
:
①；
B:
⑥；
C
:
②；
D:
④；
7、
A
:
②；
B:
③；
、填空题：
（20分）
1、
极小项的个数3；极大项的个数1；3；1；
2、
（1）1；
（2）0；（3）0；（4）0；
3、正确的是
（1）、（3）、（4）；错误的是
（2）；
4、
（1）A=B=；
（2）A=B；（3）A=B；5、
16；f1、f2、f3；f4；f2；f1；
6、
（1）、
（2）、（3）、（5）；
（1）、
（2）、（3）；将下列命题符号化（6分）
（1）p:
2是素数；q:
2是偶数；pAq;
（2）p:
李芳学过英语；q:
李芳学过日语；可兼或；pVq；
（3）p:
小王是游泳冠军；q：
小王是百米赛跑冠军；可兼或；pVq；
（4）p:
小王现在在宿舍；q：
小王现在在图书馆；不可兼或；（pq）；
（5）p:
明天天气好；q：
我们去郊游；（pq）A（pq）；
（6）p:
你爱我；q：
我就嫁给你；pq；
主析取范式为:
m7Vm6Vm5Vm3Vm1；主合取范式为:
M0AM2AM4；
五、
（1）在yH（x,y）中，指导变项y、量词的辖域H（x,y）、个体变项的自由出现x和约束出现y;在整个公式中，指导变项x、量词的辖域（F（x）tyH（x,y））、约束出现x、y；
（2）在xF（x）中，指导变项x、量词的辖域F（x）、约束出现x;在G（x,y）中，自由出现x、y；
六、
（1）P（）={}；
}}，{，{}}}
（2）P（{,{}}）={,{},{{七、由集合A的所有5中划分来确定其等价关系。
（1）
IA={<1,
1>,
<2,
2>,<3,3>}
（2）
EA={<1,
1>,
<2,
2>,<3,3>,<1,2>,
<2,1>,<1,3>,<
3,1>,<2,
3>,<3,2>}
（3）
R1={<1，
2>,
<2,
1>}UIA
（4）
R1={<1,
3>,
<3,
1>}UIA
（5）
R1={<2,
3>,
<3,
2>}UIA
八、
（1）
是
（2）
不是
（3）
不是
（4）
是
（5）
不是
九、
（1）
bA（aV
（a'
A（
bVb'）））=bA（a
V（a'A1））=bA
（aVa'）
=bA1=b
（2）
因为（aAb'
）V（
（a'Ab）=0,所以a,
Ab'=0,a'Ab=0,
而对aAb'
求补可以得
到a'
Vb=1,由
a'
Ab=0和a'Vb=1可知,
b与a'为补元，而
a与a'为补
元,由布尔
代数补元的唯一性，得到a=b。
十、
设v1、v2、v3、v4、v5分别表示张、王、李、赵、陈，u1、u2、u3分别表示物理组、化学生物组。
在3中情况下作出其相应的二部图为G1、G2、G3，
G1中满足t=2的t条件，能选出；
G2不满足t条件，但满足相异性条件，能选出；
G3不能；
十二、
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