12运用锐角三角函数解决实际问题doc.docx
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12•运用锐角三角函数解决实际问题
第1题.某屮学九年级学生在学习“肓角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动.他们要测虽学校一幢教学楼的高度.如图，他们先在点C测得教学楼的顶点/的仰角为30。
，然后向教学楼前进60米到达点又测得点/的仰角为45°•请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度.（计算过程和结果均不取近似值）
誥呼即込皿
答案：
解：
如图，由已知，可得
ZACB=30°,MDB=45°
・••在RtA/BD中，BD=AB.
AQ
乂在Rt/\ABC中，Vtan30°=——BC
VBC=CD+BDt:
.4iAB=CD^AB即（73-1）^5=60.
答：
（或・・・）教学楼的高度为30（V3+1）米.1分
第2题.在数学活动课上，九年级
（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度,设计的测量方案及数据如下：
（1）在人树前的平地上选择一点测得由点力看大树顶端C的仰角为30°；
（2）在点/和人树之间选择一点3（力、B、D在同一肓线上），测得由点B看人树顶端C的仰角恰好为45°；
（3）量出/、〃间的距离为4米.请你根据以上数据求出大树CQ的高度.
（精确到0.1,参考数据：
V2^1.41~1.73）
答案：
解：
设C*x米
B
CD
在Rt/XCBD中，tan45°=——
BD
:
.BD=CD=x^3分
:
.AD=AB+BD=（4+x）4分
在Rt/\ADC中
CD
*.*tanZ^=
AD
Atan30°
—-—n—=—-—=>4-J3+y/ix=3x
4+x34+x
・・・x~5.4
・・・CD的高度即树高约5.4米.
第3题.如图，某学习小组为了测量河对岸塔的高度，在塔底部点B的止对岸点C处，测得塔顶点A的仰角为Z/CB=60°.
（1）若河宽BC是36米，求塔的高度；（结果精确到0」米）
（2）若河宽3C的长度不易测量，如何测量塔的高度呢？
小强思考了一种方法：
从点C出发，沿河岸前行。
米至点D处，若在点D处测出ZBDC的度数0,这样就可以求出塔的高度了.小强的方法可行吗？
若行，请用a和&表示塔如？
的高度，
若不能，请说明理由.
A
答案：
解：
（1）在△/CB中，AB丄BC,Z4CB=60。
BC=36米,.•・^=fiCnan60o=36V3.
取巧〜1.732,
・•・MB〜36xl・732~62.352〜62.4（米）
答：
塔的高度约为62.4米.
（2）在中，BCLCD,ZBDC=0,CD=af:
.BC=atmd.
在Rt/\ABC屮，AB=5C-tan60°=tan3（米）・
答：
塔//B的高度约为J^QtanC米.
第4题.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在必V上的点/处测得C在/的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上.
（1）是否穿过原始森林保护区？
为什么？
（参考数据：
73^1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需耍多少天？
C
答案：
（1）理由如下：
在Rt△叱中，"BC鳴
在RtZXHBC中,
如图，过C作CH丄于设CH=X,由已知有ZEAC=45\ZFBC=60°则ZCAH=45°,ZCB4=30°,
•••AH+HB=AB
在Rt^ACH中，AH=CH=x,
."+屈=600解得x=（米）＞200（米）.
1+V3
:
.MN不会穿过森林保护区.
（2）解：
设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（夕-5）天.
根据题意得：
丄=（1+25%）x丄
卩-5丿
解得：
夕=25
经检验知：
y=25是原方程的根.
答：
原计划完成这项工程需要25犬.
第5题.海船以5海里/小时的速度向正东方向航行，在/处看灯塔B在海船的北偏东60°的方向，2小时后船行到C处，发现此时灯塔B在北偏西45°的方向，求此时灯塔B到C处的距离.
答案：
解：
如图，过B点作丄/C于D
・・・ZW90°—60°=30°
ZDC5=90°-45=45°.
设BD=x,
在RtAABD中，
AD=—-—=y/ix.
tan30°
在RtA^DC中，
BD=DC=x,BC=\[2x.
又Q=5x2=10,
y/ix+X=10・
得x=5（V3-l）.
AfiC=V2-5（V3-1）=5（76-72）（海里）.
答：
灯塔B距C处5（76-72）海里.
第6题.小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度.如图，他在同一水平线上选择了一点儿使/与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上.小明测得/处的仰角为ZA=30°.已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC=30米,则此树的高度约为米.（结果保留两个有效数字，、代#1.732）
□□□□□□
答案：
3.7
第7题.一艘小船从码头/出发，沿北偏东53。
方向航行，航行一段时间到达小岛3处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上,求此吋小船与码头Z间的距离（72^1.4,73^1.7,结果保留整
数）.
答案：
解：
由题意知：
Z5/IC=53o-23o=30oZC=23°+22°=45。
过点3作丄AC,垂足为D,则=
・・•BC=IO
.・.CD=
.・./C=/D+CD=l1.9+7.0=1&9~19
答：
小船到码头的距离约为19海里
第8题.某楼梯的侧面视图如图所示，其＞1^5=4米，ZB/C=30°,ZC=90°,因某种
活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为.
答案：
（2+V3）米（或5.464米）
第9题.如图,A.B是公路/（/为东西走向）两旁的两个村庄,&村到公路/的距离JC=lkm,
B村到公路/的距离BD=2km,B村在力村的南偏东45°方向上.
（1）求出3两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,耍求该站到两村的距离相等,请用尺规在图屮作出点卩的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.
答案：
解：
（1）方法一：
设与CD的交点为O,根据题意可得ZA=ZB=45\:
./\ACO和△EDO都是等腰直角三角形.
:
.40=逅,50=2^2.
A,〃两村的距离为AB=AO+BO=4i+2近=3迈（km）.方法二：
过点B作总线/的平行线交/C的延长线于E.
易证四边形CDBE是矩形，
CE=BD=2.
在RtA/EB中，由ZA=45af可得BE=EA=3.
AB=\/32+32=3>/2（km）
/.A,B两村的距离为3V2km.
（2）作图正确，痕迹清晰.
作法：
①分别以点力，b为圆心，以大于Lab的长为
2
半径作弧，两弧交于两点M,N,作直线
②直线交/于点F,点P即为所求.
第10题.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度.他们首先从力处安置测倾器，测得塔顶C的仰角ZCF£=21°,然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角乙CGE=37°,已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度.
3393
（参考数据：
sin37°^-,tan37°^-,sin21°=—,tan21°~—）
54258
答案「解：
Itl题意知CQ丄AD,EF//AD,
・•・上CEF=90°,设CE=在RtZXCEF中，
CE
J,则EF二o
tanZCFEtan21°3
tanACFE-
EF在RtMEG中，
tanZCG£=—GE
CE则GE=
CE
8-x；
4
c~x；
tanZCGEtan37°3
•・•EF=FG+EG,
abd
笫19题图
C
—兀=50—x.
33
x=37.5,
・・・CD=CE+EQ=37.5+1.5=39（米）.答：
古塔的高度约是39米.
笫11题.如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障.已知
港口/处在B处的北偏西37°方向上，距B处20海里；C处在/处的北偏东65°方向上.
求间的距离（结果精确到0」海里）.
参考数据：
sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,
sin65«0.9Leos65°»0.42,tan65«2.14.
答案：
解：
过点/作力。
丄EC,垂足为Q.在RtA/ISZ）中，AB=20,25=37°,
・•・AD=AB^sin37°=20sin37°~12.
BD-/B・cos37°=20cos37°=16.
在Rt/XADC中，厶CD=65。
“AD12tan65°2.14
5C=5Z）+CD^5.61+16=21.61^21.6（海里）答：
B,C之间的距离约为21.6海里.
第12题.如图,-•艘核潜艇在海面500米/点处测得俯角为30。
正前方的海底有黑祖子信号发出，继续在同一深度总线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑亜子C点处距离海血•的深度？
（精确到米，参考数据：
0=1.414,
73^1.732,75^2.236）
答案：
解:
|I|C点向作垂线，交的延长线于E点，并交海面于F点.
已知力2二4000（米），Zj5/4C=30°,ZEBC=60°.
•・•ZBCA=ZEBC-ABAC=30°,
.・.ABAC=ABCA・/.BC=BA=4000（米）.
在RtABEC中
EC=5C-sin60°=4000x—=2000^3（米）.2
.・.CF=CE+EF=2000^3+500~3964（米）.
D
第13题•如图，、、
请按要求完成下歹
（1）用签字笔画
海面
△ABC的三个顶点均在格点上,
UE
答：
海底黑11子C点处距离海面的深度约为3964米.
（2）线段CQ的-、、、£
（3）请你在门寸二‘|/yijT’iH心‘Ipcjij,H你所选的锐角是,贝U它所对应的
正弦函数值是.
（4）若E为BC屮点，则tanZCJF的值是
答案：
（1）如图
（2）V5
（4）
第14题.如右图，两建筑物的水平距离BC是30m,从/点测得D点的俯角Q是35。
，测得
C点的俯角0为43。
，求这两座建筑物的高度.（结果保留整数）
答案：
解：
作DE丄AB于点E
在RX/XABC中，ZACB=P=43°
AB
*.*tanZACB=
BC
:
.AB=BC^n^ACB
=30tan43°
二30~「・厶4DE・=・g^s二35°
a
=28
在RtAJPE中「・
..AE
.tan乙£）E=
DE
:
.AE=DE^nZADE
=30tan35°E
=21
・•・CD=BE=AB-AE=^-21=7答：
建筑物力B的高约是28m,建筑物CD的高约是7m.
（本题中使用等号或使用约等号均不扣分）
第15题.某人学计划为新牛配备如图
（1）所示的折叠椅.图
（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其屮椅腿M和CD的长相等，O是它们的中点.为使折柱椅既舒适又牢固，厂家将撐
开后的折叠椅高度设计为32cm,ZD03=100。
，那么椅腿的tM和篷布面的宽/D各应设计
图
（1）
答案：
解法1：
连接/C,BD
•：
OA=OB=OC=OB
・・・四边形ACBD为矩形
JNW3=100。
，・•・ZABC=^°
由已知得AC=32
在RtAABC中，劝7厶BC=££
AB
・\AB=—竺_=32^41.8（cm）sinZABCsin50°
tanZABC=—,:
・BC=——=32=26.9（cm）
BCtanZABCtan50°
C.AD=BC=26.9（cm）
答:
椅腿M的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.解法2：
作OE丄MD于E.
•：
OA=OB=OC=OD,ZAOD=ZBOC
:
./\AOD^ABOC
JZD03=100。
，・•・ZOAD=50°:
.OE=丄x32=162
在Rt/\AOE^tsinZ0^E=.2£
AO
:
.AO=———=16~2089
sinZOAEsin50°
:
.AB=2AO^41.8（cm）
tanZOME=空，4E=——=16^13.43
AEtanZOAEtan50°
:
.AD=2AE=26.9（cm）
答:
椅腿/B的长为41.8cm,篷布面的宽4D为26.9cm.
第16题.如图所示，电工李帅傅借助梯了安装天花板上距地Iftl2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用吋梯脚的固定跨度为1H1,矩形血与地血所成的角Q为78°.李师傅的身高为1.78m,当他攀升到头顶距天花板0.05〜0.20m时，安装起來比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？
（参考数据：
sin78°^0.98,cos78°~0・21,tan78°4.70.）
2.90m
h为0.05-0.20m时安装比较方便！
答案：
过点/作/E丄BC于点E,过点D作DF丄BC于点F.
CM,，心冷心0.5.
在RtAJ£C和RtADFC中,
Vtan78°=
AE
~EC
:
.AE=ECxtan78°〜0.5x4.70=2.35.
u・・・AEdf
乂.sma==,
ACDC
DC3
・・・DF=——AE=-xAE^1.007・
AC7
7师傅站在第三级踏板上时，头顶距地而高度约为:
1.007+1.78=2.787.
头顶与天花板的距离约为2.90-2.787^0.11.
V0.05<0.11<0.20,.-Jill安装比较方便.
第17题.如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于C处折断倒下树顶落在地|AiB处，测得
B处为树的底端A相距25米，ZABC=24°.
（1）求大树折断倒下部分的长度；（楮确到1米）
（2）问人树在折断之前高多少米？
（精确到1米）
答案：
解：
如图，在RtA^^C中，ZCAB=90°.ZABC=24°.AB=25X
、AB
（1）*.*cosZABC=
BC
:
.BC=———=—=27（米）
cosZ.ABCcos24即大树折断倒下部分BC的长度约为27米.
AC
（2）・・・tanZ/BC=——
AB
:
.AC=AB^nZABC=25^n24°^]1」（米）・・・BC+/O27+11.1=38（米）
即大树折断之前高约为38米.
第18题.法航客机失事引起全球高度关注，为调查失事原因，巴西军方派出侦察机和搜救船在失事海域同吋沿同一方向配合搜寻飞机残骸（如图）•在距海面900米的高空/处，侦
察机测得搜救船在俯角为30啲海面C处，当侦察机以150侖米/分的速度平行海血飞行
20分钟到达B处后，测得搜救船在俯角为60。
的海而D处,求搜救船搜寻的平均速度.
（结果保留三个有效数字，参考数据：
、伍=1.414,JJul.732）.
答案:
过点C作CGIAE,垂足为G,过点D作DF丄4E,垂足为F,得矩形CDFG.CD=GFfCG=DF=900（米）
在RtA/GC中，VZ^=30°,・・・Z/CG=60°.
:
.AG=CGtan60°=900^3（米）.
同理，在Rt/XBFD中，BF=DFtan30°=300^3（米）.
V=150^3x20=3000^3（米）・
:
.CD=GF=AB+BF-AG=2400壬（米）・
・•・搜寻的平均速度为2400^3-20=120>/3~208（米份）.
答：
搜救船搜寻的平均速度为208米/分.
（其它方法可参照此答案给分）
第19题.将一个含30°介的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，ZACB与上DCE完全重合,ZC=90°,=45°,ZEDC=60°,AB=4^2,DE=6,则.
答案：
3^3-4
笫20题.如图，大楼的高为16米，远处冇一塔CQ,小李在楼底/处测得塔顶D处的仰角为60°,在楼顶B处测得塔顶Q处的仰角为45。
•其中/、C两点分别位于B、D两点正下方，且/、C两点在同一水平线上，求塔CD的高度.
D
答案：
解：
作BE丄CD于E,
可得R3ED和矩形ACEB,
则冇CE=AB=\6,AC=BE,
在RtA5EZ）中，ZDBE=45°,DE=BE=AC
在RtAZ）^C>|',ZD4C=60°,DC=ACtan60°=^3ACf
•/16+DE=DC,/.16+JC=V3/JC,解得：
MC=8希+8,所以塔CD的高度为（8^3+24）米.
第21题.如图，为了确保行人通行安全，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天
3
桥的坡ihiAC与地liiiBC的夹角为ZACB,且sinZACB=-f则坡lliiAC的长度为m.
答案：
10
A.8米B.8命米
°歿米
D-
半米
答案：
C
第23题.一架5米长的梯了斜靠在墙上，测得它与地面的夹用是40°,则梯了底端到墙的距离为（）
55
A.5sin40°B.5cos40°C.D.
tan40°cos40°
答案：
B
第24题.如图，大楼的高为16米，远处有一塔CD,小李在楼底/处测得塔顶D处的仰角为60°,在楼顶3处测得塔顶。
处的仰九为45°.其屮/、C两点分别位于B、Q两点正下方，KAC两点在同一水平线上，求塔CD的高度.
答案：
解：
作BE丄CQ于E,
可得Rt/XBED和矩形ACEB,
则有CE=MB=16,AC=BE,
在Rt厶BED屮，ZDBE=45°,DE=BE=AC在RtZ\D4C中，ZDAC=60°,DC=ACtan60°=y/3ACf
-16+DE=DCf.\16+AC=y/3AC,解得：
AC=8^3-1-&
所以塔CD的高度为（8a/3+24）米.
第25题.如图，在一次数学课外活动屮，小明同学在点卩处测得教学楼/位于北偏东60。
方向，办公楼〃位于南偏东45。
方向.小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼/恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向.求教学楼/少办公楼3Z间的距离（结果精确到0.1米）.
A
（供选用的数据：
V2^1.414,V3^1.732）
答案：
解：
由题意可知
A
ZACP=ZBCP=90。
Z/PC=30。
，ZBPC=45°在RtA^PC中，IZBCP=90。
ZBPC=45。
・•・BC=PC=60
在RtA/iCP中，VZACP=90°,Z/PC=30。
，
・・・AC=2043
:
.M=/C+BC=60+20VJ
~60+20x1.732=94.64=94.6（米）
答：
教学楼/与办公楼B之间的距离大约为94.6米.
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