高考数学一轮复习第5章数列54数列求和学案文.docx
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高考数学一轮复习第5章数列54数列求和学案文
2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和学案文
[知识梳理]
1．基本数列求和公式法
（1）等差数列求和公式：
Sn＝
＝na1＋
d.
（2）等比数列求和公式：
Sn＝
2．非基本数列求和常用方法
（1）倒序相加法；
（2）分组求和法；（3）并项求和法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法．
常见的裂项公式：
①
＝
；
②
＝
；
③
＝
；
④
＝
（
－
）．
3．常用求和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝
；
（2）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2；
（3）12＋22＋32＋…＋n2＝
；
（4）13＋23＋33＋…＋n3＝
2.
[诊断自测]
1．概念辨析
（1）已知等差数列{an}的公差为d，则有
＝
.（ ）
（2）推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.（ ）
（3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．（ ）
（4）若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是（n>1，n∈N*）首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝
.（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）× （4）√
2．教材衍化
（1）（必修A5P47T4）数列{an}中，an＝
，若{an}的前n项和为
，则项数n为（ ）
A．xxB．2015C．xxD．xx
答案 D
解析 an＝
－
，Sn＝1－
＝
，又前n项和为
，所以n＝xx.故选D.
（2）（必修A5P61T4）已知数列：
1
，2
，3
，…，
，…，则其前n项和关于n的表达式为________．
答案
＋1－
解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋
＝
＋1－
.
3．小题热身
（1）数列{an}的通项公式为an＝ncos
，其前n项和为Sn，则Sxx等于（ ）
A．－1010B．2018C．505D．1010
答案 A
解析 易知a1＝cos
＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….
所以数列{an}的所有奇数项为0，前xx项中所有偶数项（共1008项）依次为－2,4，－6,8，…，－xx,xx.故Sxx＝0＋（－2＋4）＋（－6＋8）＋…＋（－xx＋xx）＝1008.axx＝0，axx＝xx×cos
＝－xx，∴Sxx＝Sxx＋axx＝1008－xx＝－1010.故选A.
（2）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
答案 －
解析 ∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴
－
＝1，∴
是等差数列，且公差为－1，而
＝
＝－1，∴
＝－1＋（n－1）×（－1）＝－n，∴Sn＝－
.
题型1 错位相减法求和
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn＝
，求数列{cn}的前n项和Tn.
利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）、方程思想、错位相减法．
解
（1）由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由
即
可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.
（2）由
（1）知cn＝
＝3（n＋1）·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋（n＋1）×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋（n＋1）×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×2n＋2]＝3×
＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.
方法技巧
利用错位相减法的一般类型及思路
1．适用的数列类型：
{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．
2．思路：
设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，（*）
则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，（**）
（*）－（**）得：
（1－q）Sn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn）－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．
提醒：
用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：
（1）两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
（2）对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．
冲关针对训练
已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
（1）令cn＝
，求数列{cn}的通项公式；
（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
解
（1）因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0（bn≠0，n∈N*），
所以
－
＝2，即cn＋1－cn＝2.
所以数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故cn＝2n－1.
（2）由bn＝3n－1知an＝cnbn＝（2n－1）3n－1，
于是数列{an}的前n项和
Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋（2n－1）×3n－1，
3Sn＝1×31＋3×32＋…＋（2n－3）×3n－1＋（2n－1）×3n，
相减得－2Sn＝1＋2×（31＋32＋…＋3n－1）－（2n－1）×3n＝－2－（2n－2）3n，
所以Sn＝（n－1）3n＋1.
题型2 裂项相消法求和
Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a
＋2an＝4Sn＋3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和．
利用递推公式，an＝Sn－Sn－1（n≥2）求通项，裂项相消求和．
解
（1）由a
＋2an＝4Sn＋3，可知a
＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
可得a
－a
＋2（an＋1－an）＝4an＋1，
即2（an＋1＋an）＝a
－a
＝（an＋1＋an）（an＋1－an）．
由于an>0，所以an＋1－an＝2.
又由a
＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
（2）由an＝2n＋1可知
bn＝
＝
＝
.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝
.
[条件探究] 将典例中的条件变为：
已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
求解仍为
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝
，求数列{bn}的前n项和．
解
（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋
×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋
×2＝4a1＋12，
由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），
解得a1＝1，所以an＝2n－1.
（2）由an＝2n－1可知
bn＝
＝
＝
.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝
.
[结论探究] 条件探究中的条件不变，求解
（2）变为：
令bn＝（－1）n－1
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 bn＝（－1）n－1
＝（－1）n－1
＝（－1）n－1
.
当n为偶数时，
Tn＝
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.
当n为奇数时，Tn＝
－
＋…－
＋
＝1＋
＝
.
所以Tn＝
.
方法探究
几种常见的裂项相消及解题策略
（1）常见的裂项方法（其中n为正整数）
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．
冲关针对训练
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝
an＋1＋n＋1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log3（－an＋1），设数列
的前n项和为Tn，求证：
Tn<
.
解
（1）∵Sn＝
an＋1＋n＋1（n∈N*），
∴当n＝1时，－2＝
a2＋2，解得a2＝－8，
当n≥2时，Sn－1＝
an＋n，
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3（an－1），
n＝1时，a2－1＝3（a1－1）＝－9，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－1＝（－3）·3n－1＝－3n.
故an＝－3n＋1.
（2）证明：
由bn＝log3（－an＋1）＝log33n＝n，得
＝
＝
，
Tn＝
＝
＝
－
<
.
题型3 分组转化法求和
在等比数列{an}中，an>0（n∈N*），a1a3＝4，且a3＋1是a2和a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝an＋1＋
，求数列{cn}的前n项和．
分组求和，裂项相消法．
解
（1）设等比数列{an}的公比为q，且q>0，
在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4得，a2＝2，①
又a3＋1是a2和a4的等差中项，
所以2（a3＋1）＝a2＋a4，②
把①代入②得，2（2q＋1）＝2＋2q2，解得q＝2或q＝0（舍去），所以an＝a2qn－2＝2n－1，
则bn＝log2an＋1＝log22n＝n.
（2）由
（1）得，cn＝an＋1＋
＝2n＋
＝2n＋
，
所以数列{cn}的前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＋
＝
＋
＝2n＋1－2＋
.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝8，S4＝40.数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝
求数列{cn}的前n项和Pn.
分组求和，分类讨论法．
解
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an＝4n.
∵Tn－2bn＋3＝0，①
∴当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋3＝0，②
①－②，得bn＝2bn－1（n≥2），
则数列{bn}为等比数列，
∴bn＝3·2n－1.
（2）cn＝
当n为偶数时，Pn＝（a1＋a3＋…＋an－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝
＋
＝2n＋1＋n2－2.
当n为奇数时，
n＝1时，P1＝c1＝a1＝4，
解法一：
n－1为偶数，Pn＝Pn－1＋cn＝2（n－1）＋1＋（n－1）2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－1，
解法二：
Pn＝（a1＋a3＋…＋an－2＋an）＋（b2＋b4＋…＋bn－1）＝
＋
＝2n＋n2＋2n－1.
∴Pn＝
方法技巧
分组转化法求和的常见类型
1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．如典例1.
2．通项公式为an＝
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如典例2.
冲关针对训练
1．数列{（－1）n·n}的前xx项的和Sxx为（ ）
A．－xxB．－1009C．xxD．1009
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