海淀区高三数学文期末试题及答案.docx
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海淀区高三数学文期末试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文）答案及评分参考2015.1
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B
（2）D（3）A（4）D
（5）B（6）C（7）C（8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9）
（10）3（11）
（12）
（13）
；4（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）
的值是
.………………2分
的值是
.………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
.
因为
，
所以
.………………7分
所以当
，即
时，
取得最大值
；………………10分
当
，即
时，
取得最小值
.………………13分
（16）（共13分）
解：
（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为
，女同学的人数为
.
………………4分
（Ⅱ）记3名男同学为
，2名女同学为
.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有
，共10个.
………………6分
用
表示：
“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则
中的结果有6个，它们是：
.………………8分
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率
.………………10分
（Ⅲ）
.………………13分
（17）（共14分）
证明：
（Ⅰ）在菱形
中，
∥
.
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.………………3分
（Ⅱ）连接
.
在正方形
中，
.
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.………………5分
因为
平面
，
所以
.………………6分
在菱形
中，
.
因为
平面
，
平面
，
，
所以
平面
.………………8分
因为
平面
，
所以
.………………10分
（Ⅲ）
四点不共面.理由如下：
………………11分
因为
分别是
的中点，
所以
∥
.
同理可证：
∥
.
因为
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
所以平面
∥平面
.
因为
平面
，
所以
平面
，即
四点不共面.………………14分
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）由题意可知椭圆
的标准方程为：
，则
.
所以椭圆
的长轴长为
.………………2分
因为
，
所以
，即
的离心率为
.………………4分
（Ⅱ）若
三点共线，由
是线段
的垂直平分线可得：
.………………6分
由（Ⅰ）可得
，设
.………………7分
所以
.①
又因为
，②………………10分
由①②可得：
（舍），或
………………11分
当
时，直线
的方程为
，显然满足题意.
所以存在直线
使得
三点共线，直线
的方程为
.………………13分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：
.………………1分
因为切线
过原点
，
所以
.………………3分
解得：
.………………4分
（Ⅱ）证明：
设
，则
.
令
，解得
.………………6分
在
上变化时，
的变化情况如下表
-
+
↘
↗
所以当
时，
取得最小值
.………………8分
所以当
时，
，即
.………………9分
（Ⅲ）解：
当
时，集合
的元素个数为0；
当
时，集合
的元素个数为1；
当
时，集合
的元素个数为2；
当
时，集合
的元素个数为3.………………13分
（20）（共14分）
解：
（Ⅰ）因为
，
，
所以
，
.
因为
，
所以
，即
.………………2分
所以
.
所以数列
是以1为首项，3为公差的等差数列.
所以
.………………4分
（Ⅱ）若数列
是等比数列，则
.
由（Ⅰ）可得：
.………………6分
解得：
.
当
时，由
得：
.
显然，数列
是以1为首项，1为公比的等比数列.
所以
.………………7分
（Ⅲ）当
时，由（Ⅱ）知：
.
所以
，即数列
就是一个无穷等差数列.
所以当
时，可以得到满足题意的等差数列.
当
时，因为
，
，即
，
所以数列
是以1为首项，
为公差的等差数列.
所以
.
下面用反证法证明：
当
时，数列
中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.
假设存在
，从数列
中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为
.设数列
的公差为
.
①当
时，
.
所以数列
是各项均为正数的递减数列.
所以
.
因为
，
所以当
时，
，这与
矛盾.
②当
时，令
，解得：
.
所以当
时，
恒成立.
所以数列
必然是各项均为负数的递增数列.
所以
.
因为
，
所以当
时，
，这与
矛盾.
综上所述，
是唯一满足条件的
的值.………………14分
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