高三数学理科二模考试试题及答案.docx

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高三数学理科二模考试试题及答案

2018年高三二模数学（理科）试题

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A．B．

C．D．

2.已知复数满足，为的共轭复数，则（）

A．B．C．D．

3.如图，当输出时，输入的可以是（）

A．B．C．D．

4.已知为锐角，，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

5.把一枚质地均匀、半径为的圆形硬币抛掷在一个边长为的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）

A．B．C．D．

6.的展开式中，的系数为（）

A．B．C．D．

7.已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（）

A．B．

C．D．

8.如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）

A．B．C．D．

9.已知数列的前项和为，且满足，，则（）

A．B．C．D．

10.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，若，则的最大值是（）

A．B．C．D．

11.已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形的面积的最小值为（）

A．B．C．D．

12.已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，，，且向量，的夹角是，则．

14.已知实数，满足，则的最大值是．

15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为．

16.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为．

三、解答题：

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

共60分.

17.已知在中，，，分别为内角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

18.如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点.

（1）是否存在一点，使得线段平面？

若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.

（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值.

19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：

乘坐站数

票价（元）

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站.甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，.

（1）求甲、乙两人付费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.

20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.

（1）求直线的斜率；

（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：

存在常数，使得.

21.已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：

.

（二）选考题：

共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知直线：

（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值.

23.[选修4-5：

不等式选讲]

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

答案

一、选择题

1-5:

DABCB6-10:

BCDAD11、12：

CA

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.

（1）由及正弦定理得，

，

即，

又，所以，

又，所以.

（2）由

（1）知，又，易求得，

在中，由正弦定理得，所以.

所以的面积为.

18.

（1）存在点，且为的中点.

证明如下：

如图，连接，，点，分别为，的中点，

所以为的一条中位线，，

平面，平面，所以平面.

（2）设，则，，

，

由，得，解得.

由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，

故，，，，.

设为平面的一个法向量，则

得

令，得平面的一个法向量，

同理可得平面的一个法向量为，

故二面角的余弦值为.

故二面角的正弦值为.

19.

（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，

乙乘坐超过站且不超过站的概率为，

设“甲、乙两人付费相同”为事件，

则，

所以甲、乙两人付费相同的概率是.

（2）由题意可知的所有可能取值为：

，，，，.

，

，

，

，

.

因此的分布列如下：

所以的数学期望.

20.

（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，，

所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.

直线的方程为，联立消去得，所以或，

所以，从而得线段的中点.

所以直线的斜率为.

（2）由

（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为.

联立得所以点的坐标为.

所以，.

所以.

联立消去得，

由已知得，又，得.

设，，则，，

，.

所以，

，

故.

所以.所以存在常数，使得.

21.

（1）由题易知，

当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）的定义域为，要证，即证.

由

（1）可知在上递减，在上递增，所以.

设，，因为，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

而，所以.

22.

（1）把展开得，

两边同乘得①.

将，，代入①即得曲线的直角坐标方程为②.

（2）将代入②式，得，

易知点的直角坐标为.

设这个方程的两个实数根分别为，，则由参数的几何意义即得.

23.

（1）当时，原不等式可化为.

若，则，即，解得；

若，则原不等式等价于，不成立；

若，则，解得.

综上所述，原不等式的解集为：

.

（2）由不等式的性质可知，

所以要使不等式恒成立，则，

所以或，解得，

所以实数的取值范围是.