实际问题与一元一次方程分类知能点解析资料汇编.docx

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实际问题与一元一次方程分类知能点解析资料汇编

一元一次方程资料汇编

【知识点】

1、能根据具体问题的数量关系，列出方程、建立模型、解方程和运用方程来解决实际问题。

2、了解一元一次方程及其有关概念，会解一元一次方程（数字系数）。

3、能一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。

【重点】

掌握等式的基本性质、方程的概念、会解一元一次方程及应用一元一次方程来解应用题。

一、方程的有关概念

1、方程的概念：

（1）含有未知数的等式叫方程。

（2）在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。

形如。

2、等式的基本性质：

（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

若a=b，则a+c=b+c或a–c=b–c。

（2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。

若a=b，则ac=bc或

（3）对称性：

等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。

若a=b，则b=a。

（4）传递性：

如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换。

二、解方程

1、移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。

这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。

要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。

2、解一元一次方程的步骤：

主要步骤

主要依据

注意问题

1、去分母

等式的性质2

注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数，若分子是代数式，则必加括号。

2、去括号

去括号法则

乘法分配律

严格执行去括号的法则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一定要变号。

3、移项

等式的性质1

越过“=”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面。

4、合并同类项

合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变。

5、系数化为1

等式的性质2

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母（除数），切不可分子、分母颠倒。

6、检验

二、列方程解应用题

（一）列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：

认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系．

（2）找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．

（3）设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．

（4）解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．

（二）分类知能点与题目

知能点1：

市场经济、打折销售问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售

例1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？

优惠价是多少元？

[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式

进价

折扣率

标价

优惠价

利润率

60元

8折

X元

80%X

40%

等量关系：

商品利润率=商品利润/商品进价

解：

设标价是X元，

解之：

x=105

优惠价为

答：

这种皮鞋标价是105元，优惠价是84元.

例2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价

折扣率

标价

优惠价

利润

X元

8折

（1+40%）X元

80%（1+40%）X

15元

等量关系：

（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15

解：

设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125

答：

进价是125元。

变式训练与解析：

1．一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．

60（点拨：

设标价为x元，则x-50=50×20%）

2．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．

180（点拨：

设商品的进价为x元，则220×90%-x=10%x）

3．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（）．

A．25%B．40%C．50%D．1

C（点拨：

设标价为x元，进价为a元，则80%x-a=20%a，得x=a

∴按原标价出售可获利×100%=50%）

4．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（）．

A．赢利16.8元B．亏本3元C．赢利3元D．不赢不亏

C（点拨：

设进价分别为a元，b元，则a-84=20%a，得a=105

84-b=40%b，得b=60∴84×2-（a+b）=3，故赢利3元）

5.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？

若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）

A.45%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50

C.x-80%×（1+45%）x=50D.80%×（1-45%）x-x=50

6.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为（）

A、700元B、约733元C、约736元D、约856元

7．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．

解：

设至多打x折，根据题意有×100%=5%解得x=0.7=70%

答：

至多打7折出售．

8．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．

解：

设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有10[x（1+40%）×80%-x]=2700，x=2250

答：

每台彩电的原售价为2250元．

9、某商品进价是1000元，标价为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折

出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

知能点2：

方案选择问题

例1．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

解：

方案一：

获利140×4500=630000（元）

方案二：

获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：

设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．

依题意得=15解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三．

例2．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．

（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．

（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？

（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？

解：

（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．

（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．

即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．

（3）由0.2x+50=120，解得x=350

由0.4x+50=120，得x=300

因为350>300

故第一种通话方式比较合算．

变式训练二

1．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

解：

（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：

九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

2．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：

按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，

设购A种电视机x台，则B种电视机y台．

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=3002x=50x=25

50-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=35

50-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选两种方案：

购A，B两种电视机25台；购A种电视机35台，C种电视机15台

（2）若选择

（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元）

若选择

（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元）

9000>8750

故为了获利最多，选择第二种方案．

3.小刚为书房买灯。

现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。

假设两种灯的照明效果一样，