使用XFEM方法建立间断化扩展特性.docx

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使用XFEM方法建立间断化扩展特性

使用X-FEM方法建立间断化扩展特性

概述

建立离散化扩展特性，如裂纹：

●通常被称为扩展有限元方法（XFEM）；

●基于单元划分的传统有限元方法扩展；

●采用特殊的位移函数，通过扩展自由度允许间断特性的存在；

●不需要重新划分网格用于适应几何间断特性；

●是一种非常有效和有吸引力的方法，用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始及裂纹扩展过程，而不用要求重新划分网格；

●可以同时与基于面的粘性行方法（surface-basedcohesivebehavior）和虚拟裂纹闭合法同时使用（VCCT）；

●可以用于计算任意稳定表面裂纹的路径积分，而不需要在裂纹尖端周围重新剖分网格；

●允许基于小滑动形式（small-slidingformulation）的裂纹单元之间的接触作用；

●允许几何非线性和材料非线性的存在；

●当前只对一阶应力/位移固体连续单元有效。

建模方法

使用传统有限元方法建立固定不连续性质，如裂纹，要求网格划分符合几何不连续。

因此，很多的网格重构需要建立用以更好地模拟裂纹尖端附近奇异渐进场。

建立扩展裂纹模型更加复杂，这是由于网格需要连续不断地更新以适应裂纹扩展过程中几何不连续性。

扩展有限元方法（XFEM）可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点。

扩展有限元方法由BelytschkoandBlack（1999）首次提出。

该方法基于整体划分（partitionofunity）的概念（MelenkandBabuska1996），属于传统有限元方法的扩展。

该整体划分概念使扩展函数（enrichmentfunctions）方便地插入到有限元近似当中。

间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数（enrichedfunctions）来确定。

然而，扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。

节点扩展函数简介（Introducingnodalenrichmentfunctions）

为了实现断裂分析，扩展函数通常包括裂纹尖端附近渐进函数（near-tipasymptoticfunctions）-用于模拟裂纹尖端附近的应力奇异性，及间断函数（discontinuousfunctions）-用于表示裂纹面处位移跳跃。

使用整体划分特性的位移向量函数u表示为

其中

为常用的节点位移形函数；上述公式中等号右边第一项

代表有限元位移求解对应的连续部分；第二项为节点扩展自由度向量

，

为沿裂纹面的间断跳跃函数；第三项为节点扩展自由度向量

，

为裂纹尖端应力渐进函数。

右端第一项可用于模型中所有节点；右端第二项只对形函数被裂纹内部切开的单元节点有效；右端第三项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。

图1

图1描述了沿裂纹面的间断跳跃函数

，由以下给出

其中

为样本点（Gausspoint），

为位于裂纹上聚

最近点，

为单位外法线向量。

图1描述了各项同性材料的裂纹尖端渐进函数，

，记为

其中

为极坐标系，裂纹尖端切线方向对应

。

上述函数遍及静态弹性的裂纹尖端渐进函数，

考虑了沿裂纹表面的间断性。

裂纹尖端的渐进函数并不局限于各项同性弹性材料的裂纹建模。

相同的方法亦可以用于双材料交界面处裂纹建模，双材料界面冲击作用（impingedonthebiomaterialinterface），可用于弹-塑性指数硬化材料。

然而，对于3种中的每一种情况，不同的裂纹尖端渐进函数的形式与裂纹位置、非线性材料变形程度有关。

不同的裂纹尖端渐进函数形式分别在Sukumar（2004）,SukumarandPrevost（2003）,Elguedj（2006）讨论。

对裂纹尖端奇异性精确建模需要随时追踪裂纹扩展的具体位置，上述过程非常繁琐，这是由于裂纹奇异程度依赖于裂纹在非各项同性材料中的具体位置。

因此，在Abaqus/Standard中只有在建立固定裂纹模型时使用奇异渐进函数。

对于移动裂纹问题，将使用其它两种方法进行求解。

使用粘性片段方法及虚拟节点方法进行移动裂纹建模（Modelingmovingcrackswiththecohesivesegmentsmethodandphantomnodes）

在XFEM方法的框架中，其中一种方法基于牵引-分离的粘性行为（traction-separationcohesivebehavior）。

该方法在Abaqus/Standard中用于模拟裂纹的初始化及扩展过程。

这是一种非常通用的建模方法，可以用于计算脆性或韧性断裂问题。

另外一种模拟裂纹的初始化及扩展过程的方法为粘性单元（cohesiveelement）或基于面的粘性行为方法。

上述方法要求粘性面与单元边界重合，且裂纹沿着先前确定好的路径方向扩展，与上述方法不同的是，基于XFEM的粘性片段方法（cohesivesegmentsmethod）可以用于模拟体材料（bulkmaterial）中任意路径相关的裂纹初始化及扩展过程，这是因为裂纹扩展并不绑定于单元边界。

在这种情况下，裂纹尖端的渐进奇异性不需要体现，而只需要考虑断裂单元中的位移跳跃。

因此，裂纹每一次扩展需要通过一个完整单元，从而避免建模对于应力奇异的需要。

XFEM-basedcohesivesegmentsmethodcanbeusedtosimulatecrackinitiationandpropagationalonganarbitrary,solution-dependentpathinthebulkmaterials,sincethecrackpropagationisnottiedtotheelementboundariesinamesh.Inthiscasethenear-tipasymptoticsingularityisnotneeded,andonlythedisplacementjumpacrossacrackedelementisconsidered.Therefore,thecrackhastopropagateacrossanentireelementatatimetoavoidtheneedtomodelthestresssingularity.

图2

虚拟节点-叠加于初始真实节点上-用于表示断裂单元的间断性，如图2所示。

当单元保持完整时，每一个虚拟节点被约束于相应的真实节点上。

当单元被裂纹切开时，断裂单元被分成两部分。

每一部分均由部分真实节点和虚拟节点组成（与裂纹方向有关）。

每一个虚拟节点不再绑定与与其对应的真实节点上，并可以独立移动。

分离大小由粘性定律决定（cohesivelaw），当断裂单元的粘性强度变为零后，虚拟节点和真实节点可以自由移动。

为了使插值基完整，断裂单元中属于真实区域

扩展至虚拟区域

。

真实区域中

的位移可以采用虚拟区域

中节点的自由度插值得到。

间断位移场可以通过以下方法实现：

从真实节点向裂纹处积分，如

和

。

这种方法提供了一种有效地、吸引人地工程方法，可以用于模拟固体中多裂纹的初始化及扩展过程（Song2006，Remmers2008）。

该方法已被证明当网格足够密，将不会有网格划分依赖性。

基于线弹性断裂力学准则和虚拟节点的移动裂纹建模（Modelingmovingcracksbasedontheprinciplesoflinearelasticfracturemechanicsandphantomnodes）

另一种可选的基于XFEM框架的移动裂纹建模方法基于线弹性断裂力学准则（LEFM）。

因此，因此该方法更适用于脆性材料的裂纹扩展问题。

与基于XFEM的粘性片段方法（XFEM-basedcohesivesegmentsmethod）相似的是，裂纹尖端附近渐进奇异（near-tipasymptoticsingularity）不需要考虑，而只需要考虑裂纹单元的位移跳跃问题。

因此，裂纹每一次扩展需要通过一个完整单元，从而避免建模对于应力奇异的需要。

裂纹尖端处的应变能释放率采用VCCT方法计算（VCCT方法通常用于沿已知或部分已知连接边界的脱层模拟）。

然而，与VCCT不同的是，基于XFEM的线弹性断裂力学方法可以用于模拟体材料（bulkmaterial）中任意路径相关的裂纹初始化及扩展过程，这是因为裂纹扩展并不绑定于单元边界。

该建模方法与基于XFEM的粘性片段方法非常相似，均使用虚拟节点用于表示当满足断裂准则时，断裂单元的间断性。

当等效应变能释放率超过临界应变能释放率后，真实节点与相应的虚拟节点分离。

断裂单元的两个表面通过分别施加大小相等、方向相反的力用于实现牵引作用。

牵引作用将会随着时间逐渐衰减，用于降低发散和网格扭曲的可能性。

使用水平集方法描述几何间断性

使用扩展有限元分析中，简化裂纹追踪的关键是对于裂纹的几何描述，这是由于网格划分并不需要符合裂纹的几何性质。

水平集方法，作为一种强大的数值技术可以用于分析和计算界面运动，这正符合了扩展有限元方法的要求，对于任意方向的裂纹增长不需要网格重划。

裂纹的几何性质可通过两正交的带符号位移函数定义，如图3所示。

首先，

用于描述裂纹面；其次

为与上述裂纹面相垂直的面，两面相交处即为裂纹前沿。

表示裂纹面正法线方向；

裂纹前沿的正法线方向。

不需要交界面或边界的显示表示，这是由于上述几何量可完全由节点数据描述。

每个节点的两有符号距离函数可以用于描述裂纹的几何性质。

图3

定义扩展性质及其属性

用户必须定义扩展特性（enrichedfeature）及其属性参数（properties）。

一个扩展特性可以赋予一个或多个裂纹。

另外，在具体分析当中，单个或多个裂纹可以由扩展特性来初始化而不需要任何其它的初始缺陷。

然而，只有在当在同一增量步中，破坏初始准则在很多单元中得到满足时，多个裂纹才能符合单独的一个扩展性质；否则，只有所有的预先存在裂纹扩展至所定义扩展性质区域边界处，其它裂纹才可以集结（nucleate）。

[However,multiplecrackscannucleateinasingleenrichedfeatureonlywhenthedamageinitiationcriterionissatisfiedinmultipleelementsinthesameincrement.Otherwise,additionalcrackswillnotnucleateuntilallthepre-existingcracksinanenrichedfeaturehavepropagatedthroughtheboundaryofthegivenenrichedfeature.]如果在一个分析中希望相继在不同地方出现裂纹集合，那么在模型中需要定义多个扩展性质。

只有当单元被裂纹分割，扩展自由度才会被激活。

在实际分析中，只有应力/位移固体连续单元（stress/displacementsolidcontinuumelement）才可以施加扩展性质。

Input文件用法：

*ENRICHMENT

Abaqus/CAE用法：

Special-Crack-Create-XFEM

定义扩展类型（typeofenrichment）

用户可以选择建立任意的固定裂纹（arbitrarystationarycrack）或者是沿着任意方向地与求解相关地离散裂纹扩展（discretecrackpropagationalonganarbitrary,solution-depedentpath）。

前者需要裂纹尖端附近单元采用渐进函数用于模拟奇异性，沿裂纹面周边单元采用跳跃函数进行扩展。

后者则是采用粘性片段方法（cohesivesegmentsmethod）或者线弹性断裂力学方法与虚拟节点关联使用（LEFMinconjunctionwithphantomnodes）。

然而，上述两种方法相互排斥，在模型里同时只能选择一种方法

Input文件用法：

定义裂纹扩展分析

*ENRICHMENT,TYPE=PROPAGATIONCRACK

定义固定裂纹

*ENRICHMENT,TYPE=STATIONARYCRACK

Abaqus/CAE用法：

定义裂纹扩展分析

Interactionmodule:

crackeditor:

toggleonAllowcrackgrowth

定义固定裂纹

Interactionmodule:

crackeditor:

toggleoffAllowcrackgrowth

指定扩展性质的名称

Input文件用法：

*ENRICHMENT,NAME=name

Abaqus/CAE用法：

SpecialCrackCreate:

XFEM:

Name:

name

指定含扩展性质的区域

Input文件用法：

*ENRICHMENT,ELSET=elementsetname

Abaqus/CAE用法：

SpecialCrackCreate:

XFEM:

Selectthecrackdomain:

selectregion

定义小滑动模式的裂纹单元面接触

当单元别裂纹切开时，裂纹面的压缩行为需要考虑。

该压缩行为原理与基于面的小滑动罚接触（surface-basedsmall-slidingpenaltycontact）相似。

然而在剪切方向没有考虑摩擦行为。

被固定裂纹或移动裂纹切开的单元而言，裂纹单元的粘性强度为零。

因此，当裂纹面产生接触时，裂纹面的压缩行为完全由上述选项定义。

对于使用粘性片段方法的移动裂纹，情况更加复杂。

裂纹单元中既包括牵引分离粘性行为（traction-separationbehavior）又包括裂纹面的压缩行为。

在接触的法线方向，控制裂纹面间压缩行为的过压力关系（pressure-overclosurerelationship）粘性行为之间互不影响，这是因此它们分别描述了裂纹面间不同接触区域的相互作用关系。

只有当裂纹闭合时，过压力关系才会影响上述压缩行为。

而当裂纹开裂时，粘性行为影响接触法向应力。

当单元的粘性刚度在剪切方向没有损坏时，可以认为粘性行为在该方向起作用。

任何的切向滑动均被认为是弹性的，由于切向粘性刚度而产生剪切力。

如果引入损伤，粘性行为对剪切力的贡献将随着损伤演化的产生而逐渐降低。

当达到最大衰减时，粘性行为对剪切力的贡献降至零。

Input文件用法：

定义小滑动格式的裂纹面接触

*ENRICHMENT,INTERACTION=interaction_property_name

*SURFACEINTERACTION,NAME=interaction_property_name

*SURFACEBEHAVIOR

Abaqus/CAE用法：

Interactionmodule:

crackeditor:

toggleonSpecifycontactproperty

基于XFEM粘性行为的粘性材料概念应用

裂纹扩展分析中，基于XFEM粘性片段法的定律与控制粘性单元的考虑牵引分离本构行为（cohesiveelementswithtraction-separationconstitutivebehavior）的定律相似，以及基于面的粘性行为（surface-basedcohesivebehavior）。

这种相似性扩展到线弹性牵引分离模型（linearelastictraction-separationmodel）、损伤初始准则（damageinitiationcriteria）、损伤演化定律（damageevolutionlaws）。

线弹性牵引分离行为（linearelastictraction-separationbehavior）

Abaqus中可用的牵引分离模型首先假设为线弹性行为，然后是损伤初始及损伤演化。

线弹性行为将法向、剪切应力及法向、剪切分离相关联。

法向牵引应力向量

，分量为

，

分别对应一个法向及两个切向应力。

相应的分离量分别为

。

法向与切向刚度分量间不存在耦合现象：

纯法向分离量并不会引起切向粘性力；纯切向滑动不会引起法向粘性力。

可通过扩展单元的弹性性质算得。

损伤模型（damagemodeling）

损伤模型允许用户模拟扩展单元的损伤及最终失效过程。

失效机理包括两部分：

损伤初始准则（damageinitiationcriteria）和损伤演化定律（damageevolutionlaws）。

初始相应假设为线弹性的，然而，当损伤初始准则满足后，根据用户自定义损伤演化定律将会出现损伤。

图4给出了典型地线性及非线性牵引分离响应。

扩展单元在纯压缩下不承受损伤作用。

图4

扩展单元中粘性行为的牵引分离响应的损伤的定义与传统材料的定义在相同框架内。

然而，与考虑牵引分离行为的粘性单元不同的是，用户在扩展单元中不需要定义不含损伤的牵引分离行为。

初始裂纹及裂纹扩展方向（crackinitiationanddirectionofcrackextension）

裂纹初始指的是扩展单元中粘性响应损伤的开始。

可使用的裂纹初始准则有：

最大主应力（themaximumprinciplestress）

最大主应变（themaximumprinciplestrain）

最大正应力（themaximumnominalstress）

最大正应变（themaximumnominalstrain）

二次牵引影响（thequadratictraction-interaction）

二次分离影响（thequadraticseparation-interaction）

当断裂准则

超过1.0后（在一定误差范围内），在一个增量步后将会引进新的裂纹或是已经存在的裂纹长度扩展：

用户可以定义误差

。

当

时，时间增量步将会减少，使裂纹初始准则得以满足。

默认误差值为0.05。

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,TOLERANCE=

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTractionSeparationLaws:

QuadeDamage,MaxeDamage,QuadsDamage,MaxsDamage,MaxpeDamage,orMaxpsDamage:

Tolerance:

定义裂纹方向（specifyingthecrackdirection）

当定义最大主应力或最大主应变准则时，当断裂准则满足后，新引入裂纹总是垂直于最大主应力/主应变方向。

然而，当使用其它裂纹初始准则时，用户需要指定新引入裂纹垂直于局部坐标轴1还是局部坐标轴2。

默认地，裂纹垂直于局部坐标轴1。

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,NORMALDIRECTION=1（default）

*DAMAGEINITIATION,NORMALDIRECTION=2（default）

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

MechanicalDamageforTractionSeparationLaws:

QuadeDamage,MaxeDamage,QuadsDamage,orMaxsDamage:

Directionrelativetolocal1-direction（forXFEM）:

NormalorParallel

最大主应力准则（maximumprinciplestresscriterion）

最大主应力准则可以表示为：

其中

为临界最大主应力。

符号

代表Macaulay括号。

该括号用来表示纯压缩应力不会产生初始损伤。

当最大应力比例达到某一值时，开始产生损伤。

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=MAXPS

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTractionSeparationLaws:

MaxpsDamage

最大主应变准则（maximumprinciplestraincriterion）

最大主应变准则可以表示为：

其中

为临界最大主应变。

符号

代表Macaulay括号。

该括号用来表示纯压缩应变不会产生初始损伤。

当最大应变比例达到某一值时，开始产生损伤。

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=MAXPE

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTractionSeparationLaws:

MaxpeDamage

最大正应力准则（maximumnominalstresscriterion）

最大正应力准则可以表示为：

法向牵引应力向量

包括三个分量：

垂直于可能出现的裂纹面；

和

为两个可能出现的裂纹面上的切向分量。

根据用户所定义方向，可能出现的裂纹面垂直于局部坐标轴1或是局部坐标轴2。

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=MAXS

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTraction

SeparationLaws:

MaxsDamage

最大正应变准则（maximumnominalstraincriterion）

最大正应变准则表示为：

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=MAXE

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTractionSeparationLaws:

MaxeDamage

二次法向应力准则（quadraticnominalstresscriterion）

二次发向应力准则表示为：

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=QUADS

Abaqus/CAE用法：

Propertymodule:

materialeditor:

Mechanical:

DamageforTractionSeparationLaws:

QuadsDamage

二次法向应变准则（quadraticnominalstraincriterion）

Input文件用法：

*DAMAGEINITIATION,CRITERION=QUADE

Abaqus/CAE用法：

Proper