打印版 信号与系统3.docx
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打印版信号与系统3
第第
内容摘要
1页页
一.周期信号的傅里叶级数
三角形式：
单边频谱
形式
指数形式：
双边频谱
频谱：
离散性、谐波性、收敛性
周期矩形脉冲信号的频谱特点
二.傅里叶变换
定义及傅里叶变换存在的条件
典型非周期信号的频谱
冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换
性质→应用：
调制和解调→频分复用
周期信号的傅里叶变换：
由一些冲激函数组成
抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：
时分复用
X
第第
例题
2页页
•例题1：
傅里叶级数——频谱图
•例题2：
傅里叶变换的性质
•例题3：
傅里叶变换的定义
•例题4：
傅里叶变换的性质
•例题5：
傅里叶变换的性质
•例题6：
傅里叶变换的性质
•例题7：
傅里叶变换的性质、频响特性
•例题8：
傅里叶变换的性质
•例题9：
抽样定理
•例题10：
周期信号的傅里叶变换
X
第第
例3-1
1页页
周期信号
⎛π⎞
⎝6⎠
2
⎛π⎞
⎝3⎠
（）
ft=3cost+sin⎜5t+⎟−2cos⎜8t−⎟
1.画出单边幅度谱和相位谱；
2.画出双边幅度谱和相位谱。
⎛ππ⎞
⎝62⎠
2
⎛π⎞
⎝3⎠
（）
ft=3cost+cos⎜5t+−⎟+2cos⎜8t−+π⎟
=3cost+cos⎜⎛5t−π⎟+2cos⎜8t+⎟
⎞
⎛π⎞
1
⎝3⎠⎝3⎠
X
第第
2页页
单边幅度谱和相位谱
cn
3
2
1
ϕn
1
3
π
O
12345678
ω
O
12345678
ω
−1π
3
双边幅度谱和相位谱
Fn
πϕ
n
1
3
3
2
−8
5
−5
O
1234
678
ω
1
2
−1O12
−1π
ω
−8
−5
345678
3
X
第第
例3-2
1页页
（）
求信号f（t）的傅里叶变换Fω。
f（t）
2
1
0
1
t
分析：
f（t）不满足绝对可积条件，故无法用定义求其傅里
叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解
。
下面用三种方法求解此题。
方法一：
利用傅里叶变换的微分性质
方法二：
利用傅里叶变换的积分性质
方法三：
线性性质
X
第第
方法一：
利用傅里叶变换的微分性质
2页页
f（t）
要注意直流，设fA（t）为交流分量，
fD（t）为直流分量，则
2
1
（）（）（）
ftft+ft
A
D
0
1
fA（t）
t
t
（）（）（）
Fω=Fω+Fω
A
D
12
其中
0−12
1
1
3
2
（）[（）（）]
fDt=f−∞+f∞=
2
（）
′
ft
A
FD（ω）=3πδ（ω）
1
0
（）（）
f′t=ft
′
1
t
A
X
第第
3页页
⎛⎞
′
1
（）
QfAt=G1⎜t−⎟
⎝2⎠
ω
⎛⎞
（）=Sa
∴jωFAω
−jω
⎜⎟
e
⎝2⎠
⎛ω⎞
⎝2⎠
jω
−jω
⎜⎟
Sae
（）
∴FAω=
⎛ω⎞
⎝2⎠
jω
−jω
⎜⎟
Sae
（）（）（）
+3πδ（ω）
∴Fω=Fω+Fω=
A
D
X
第第
方法二：
利用傅里叶变换的积分性质
4页页
f（t）
（）
ft=1+f1（t）f1（t）为f2（t）的积分
2
1
⎛ω⎞
F2（ω）=Sa
−jω
⎜⎟
e
⎝2⎠
0
1
t
⎡
⎤ω
⎛⎞
⎥
⎦
1
jω⎝2⎠
f1（t）
（）（）
∴F1ωπω
=
+Sa⎜⎟jω
e
⎢
⎣
1
0
ω
⎛⎞
−jω
⎜⎟
Sae
1
t
t
⎝2⎠
jω
（）
f2（t）
=πω+
⎛ω⎞
Sa⎜⎟e−jω
⎝2⎠
1
0
（）[]（）（）
∴Fω=F1+Fω=3πδω+
1
1
jω
X
第第
方法三：
利用线性性质进行分解
5页页
f（t）
此信号也可以利用线性性
2
质进行分解，例如
1
0
1
t
（）
[
]
ft=u（−t）+（t+1）u（t）−u（t−1）+2u（t−1）
b
b
b
（）
−e−jω+1−e−jω
2
jω
112
jωjω
（）
2πδω+e−jω
πδω−jω
（jω）2
1−e−jω
（）
∴Fω=（jω）2
+3πδ（ω）
X
第第
例3-3
1页页
已知信号f（t）波形如下，其频谱密度为F（jω），不必求出
F（jω）的表达式，试计算下列值：
f（t）
（1）F（ω）ω=0
1
∞
（2）∫（）
Fωdω
−∞
−1O
1
t
∞
（）（）∫（）
−jωt
1Fω=ft
e
dt
−∞
∞
（）（）∫（）
∴F0=Fω=ftdt=1.5
ω=0
−∞
X
第第
2页页
1
2π
∞
（2）f（t）=∫（）
ω
jt
Fωdω
e
−∞
令t=0，则
1
∞
（）∫（）
f0=2π
Fωdω
−∞
则
∞
∫（）
（）
Fωdω=2πf0=2π
−∞
X
第第
例3-4
1页页
已知F1（ω）=F[f1（t）],利用傅里叶变换的性质,
求F2（ω）=F[f1（6−2t）]。
方法一：
按反褶－尺度－时移次序求解
F1（ω）=F[f1（t）]
已知
[（）]（）
Ff−t=F−ω
对t反褶
1
1
.
1⎛ω⎞
Ff−2t=F−
对t压缩2倍
[1（）]
⎜⎟
1
2⎝2⎠
⎛ω⎞
对t时移6,得Ff62tF⎜⎟e−j3ω
1
[（）]
−=
−
1
1
2
2⎝2⎠
X
第第
2页页
方法二：
按反褶－时移－尺度次序求解
（）[（）]
F1ω=Fft
已知
1
[（）]（−）
FftFω
对t反褶
1
1
[（）]（）
Ff6tFωe−j6ω
−=−
对t时移6,得
1
1
1⎛ω⎞
1
2⎝2⎠
[（）]
−=
−
e
−j3ω
对t压缩2倍Ff62tF
⎜⎟
1
方法三
利用傅里叶变换的性质
ωt0
a
⎛⎞
1ω
−j
Fe
−=⎜⎟
0
a⎝a⎠
[（）]
Ffatt
这里a=-2,t0=−6代入上式，得
1⎛ω⎞
1
2⎝2⎠
[（）]
Ff6−2t=F⎜−⎟e−j3ω
1
其它方法自己练习。
X
第第
例3-5
1页页
⎡
π⎤
⎛⎞
⎝τ⎠
⎦
E
t
（）
已知升余弦信号ft
（）
0≤t≤τ,
1+cos⎜⎟
⎢
⎥
2
⎣
利用频移性质求其频谱密度函数，并与矩形脉冲信号
⎡ττ⎤
⎛⎞⎛⎞
f1（t）=Eu⎜t+⎟−u⎜t−⎟
的频谱比较。
⎥
⎦
⎢
⎝2⎠⎝2⎠
⎣
解：
⎡
jπt
−jπt
⎤
EE
E
（）
[（）（）]
ft=+e+eut+τ−ut−τ
τ
τ
⎢
⎣
⎥
⎦
24
4
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
2⎝τ⎠
EτSa（ωτ）
Sa
⎜ω−⎟τ
Sa
⎢
⎣
⎜ω+⎟τ
⎥
⎦
⎢
⎥
2
τ
⎝⎠
⎣
⎦
X
第第
升余弦脉冲的频谱
2页页
f（t）
E
E
2
EτSa（ωτ）
−τO
τ
t
−τ
τ
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
2
2
F（ω）
Sa
⎜ω+⎟τ
⎢
⎥
⎦
2
⎝⎠
τ
⎣
Eτ
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
⎜ω−⎟τ
Eτ
Sa
⎢
⎥
⎦
2
τ
⎝⎠
⎣
2
O
πππ
τττ
π
τ
ω
2
3
4
X
第第
比较
3页页
f（t）
E
f1（t）
E
2
−τO
τ
t
−τ
τ
2
2
升余弦脉冲信号
的频谱比矩形脉冲
的频谱更加集中
⎛⎞
ωτ
（）
F（ω）
Fω=EτSa⎜⎟
1
⎝2⎠
Eτ
O
ππ
3
π
τ
ω
2
4
ττ
X
第第
例3-5
1页页
⎡
π⎤
⎛⎞
⎝τ⎠
⎦
E
t
（）
已知升余弦信号ft
1+cos⎜⎟0≤t≤τ，
⎢
⎥
2
⎣
利用频移性质求其频谱密度函数，并与矩形脉冲信号
⎡ττ⎤
⎛⎞⎛⎞
f1（t）=Eu⎜t+⎟−u⎜t−⎟
的频谱比较。
⎥
⎦
⎢
⎝2⎠⎝2⎠
⎣
解：
⎡
jπt
−jπt
⎤
EE
E
（）
[（）（）]
ft=+e+eut+τ−ut−τ
τ
τ
⎢
⎣
⎥
⎦
24
4
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
2⎝τ⎠
EτSa（ωτ）
Sa
⎜ω−⎟τ
Sa
⎢
⎣
⎜ω+⎟τ
⎥
⎦
⎢
⎥
2
τ
⎝⎠
⎣
⎦
X
第第
2页页
f（t）
E
E
2
EτSa（ωτ）
−τO
τ
t
−τ
τ
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
2
2
F（ω）
Sa
⎜ω+⎟τ
⎢
⎥
⎦
2
⎝⎠
τ
⎣
Eτ
Eτ⎡π⎤
⎛⎞
Eτ
Sa
⎜ω−⎟τ
⎢
⎥
⎦
2
τ
⎝⎠
⎣
2
π
τ
ω
O
ππ
3
π
τ
2
4
ττ
X
第第
例3-6已知双Sa信号
1页页
f（t）=ω
{Sa（ωct）−Sa[ωc（t−2τ）]}
c
试求其频谱。
π
f0（t）=ωπcSa（ωct）
令
因f0（t）为Sa波形，其频谱F0（ω）为矩形。
f0（t）和f（t）的波形如图
（a）,（b）所示。
f0（t）
F0（ω）
ωC
.
π
1
τ
−ωC
oωC
ω
o
t
X
（a）
（b）
第第
f0（t−2τ）的波形如图（c）所示。
已知
2页页
−f0（t−2τ）
⎧
（ω<ωc
1
）
[（）]
2τ
Fft=
⎨
⎩
o
0
（ω<ωc）
0
t
由时移特性得到
（c）
⎧
⎪
e−j2ωτ
（ω<ωc）
（ω<ωc）
[（）]
Fft−2τ=
⎨
0
⎪0
⎩
因此f（t）的频谱等于
F（ω）=F[f0（t）]−F[f0（t−2τ）]
⎧
1−e−j2ωτ
（ω<ωc）
（ω<ωc）
⎪
=
⎨
⎪
0
⎩
X
第第
3页页
从中可以得到幅度谱为
2sin（ωτ）
（ω<ωc）
（ω<ωc）
⎧
⎨
⎩
（）
Fω=
0
在实际中往往取τ=ωπ,此时上式变成
c
⎧
⎛⎞
πω
⎜⎟
⎜⎟
ω
（ω<ωc）
（ω<ωc）
⎪
⎨
2sin
0
F（ω）=
⎝⎠
c
⎪
⎩
双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。
X
第第
4页页
F（ω）
f（t）
2
ωC
π
τ
o
2τ
t
−ωC
ωC
ω
o
（e）
（d）
X
第第
例3-7-8
1页页
f（t）
求图（a）所示函数的傅里叶变换。
1
（）
引入辅助信号f1t,如图（b）.
o
t
t
1
（）
Fω
由对称关系求
（a）
1
f1（t）
F1（ω）=G2π（ω）
1
又因为
o
f（t）=f1（t1）
11
得
（b）
F（ω）=F1（ω）⋅e−jω=G2π（ω）⋅e−jω
频谱图
X
（）
F1ω
由对称关系求
f1（t）
F1（ω）
f1（t）
1
ω
ω
o
t
−11
F1（t）
2πf1（−ω）
（b）
f1（t）（t→−ω）
2πf1（−ω）
（）
F1（ω）
Ft
1
（ω↔t）（t←ω）
⎛τ⎞
Gτ（t）↔τSa⎜ω⎟
⎝2⎠
已知
且由图（b）可得f1（t）=Sa（πt）
τ→2π
所以由对称性，
（）（）（）（）
2πf1ω=2πSaπω→Gt=Ft
2π
1
∴F1（ω）=G2π（ω）
X
第第
幅频、相频特性
3页页
幅频、相频特性分别如图（c）（d）所示。
|F（ω）|
φ（ω）
1
π
π
ω
ω
−π0
0
π
−π
（c）
（d）
幅度频谱无变化，只影响相位频谱
右
⎧−ωt0
相移ωt0⎨
⎩左ωt0
X
第第
例3-8
1页页
1costt≤π
⎧+
⎪
已知信号f（t）⎨
⎪
⎩
t>π
0
求该信号的傅里叶变换。
分析：
该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号
G2π（t）的截取，
看成是周期信号（）
+经过门函数
1cost
（）（）
也可以看成是
G2πt被信号1cost
+
调制所得的信号.
有以下三种解法:
方法一：
利用频移性质
方法二：
利用频域卷积定理
方法三：
利用傅里叶变换的时域微积分特性
X
第第
方法一：
利用频移性质
2页页
利用频移性质：
由于
（）
f（t）=1+costG2π（t）
（）
+
利用欧拉公式，将1cost
化为虚指数信号，
（）被虚指数信号调制的
f（t）就可以看成是门函数G2πt
结果。
在频域上，就相当于对G2π（t）的频谱进行平移。
（）
f（t）=1+costG2π（t）
1ejteG2π（t）
=⎜⎛+
+
⎞
⎟
⎝22⎠
1
1
−jt
又因
G2π（t）↔2πSaπω=2sinπω
（）
ω
X
第第
3页页
所以根据频移性质，可得
F（ω）=F[f（t）]
1
1
（）
（）
⋅2sinπω−1⋅2sinπω+1
+
=2sinπω
+2
2
ω
ω−1
ω+1
=−2sinπω
（）
ωω−
2
1
X
第第
方法二：
用频域卷积定理
4页页
（）经过窗函数G2πt的截取，
（）
将f（t）看成是信号1cost
+
即时域中两信号相乘
（）
f（t）=1+costG2π（t）
根据频域卷积定理有
1
（）[][（）]
Fω=F1+cost∗FGt
2π
2π
1
2π
2sinπω
ω
[（）（）（）]
=2πδω+πδω−1+πδω+1∗
=−2sinπω
（）
2
ωω−
1
X
第第
方法三：
利用傅里叶变换的时域微积分特性5页页
f（t）
信号f（t）是余弦函数的截断函数，而余
2
弦函数的二次导数又是余弦函数。
利用
傅里叶变换的时域微积分特性可以列方
−π−π
πt
π
f′t
2
程求解。
（）
2
1
π
（）（）（）
′′′
ft,ft,ft的波形为：
π
2
−π−π
t
由图可知
2−1
（）
f′′t
（）
f′′t=−costG2π（t）
=−ft−G（t）
2π
1
[（）]
−π
πt
π
π
2−1
2
X
第第
6页页
对上式两端取傅里叶变换，可得
⎡
2sinπω⎤
⎥
（jω）2（）（）
Fω=−Fω−
⎢
⎣
ω
⎦
即
2sinπω
ω
（）（）
1ωFω=
−
2
由于f（t）和f′′（t）均为能量信号，其傅里叶变换在ω0
（）
（）
处都等于0,根据时域积分特性，Fω中不可能含有δω
项，因此可将（1−ω2）项移到方程右边，即
2sinπω
（）
Fω=−
（）
2
ωω−
1
X
第第
例3-9
1页页
求信号f（t）=Sa（100t）的频宽（只计正频率部分），若对
f（t）进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特
周期TN。
（1）要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F（ω）
已知
ωτ
⎛⎞
（）
Gτt↔τSa⎜⎟
⎝2⎠
ωτ
令=100ω,则τ＝200
2
∴G200（t）↔200Sa（100ω）
X
第第
2页页
1G200（t）↔Sa（100ω）
即
200
利用傅里叶变换的对称性
1
π
（）
（）
（）
Sa100t↔2π⋅G200ω=G200ω
200
100
f（t）的波形和频谱图如下
ft
（）
F（ω）
π
1
100
π
t
−1000
100
ω
π
−
100
100
所以信号的频带宽度为
ω50Hz
∴fm==
ωm=100rad/s
m
ππ
X
2
第第
（2）
3页页
最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
100
fN=2fm=Hz
π
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
1π
TN==s
f100
N
X
第第
例3-10
1页页
已知周期信号f（t）的波形如下图所示，求f（t）的傅里叶
变换F（ω）。
f（t）
1
L
L
3
4
−1
1
−2
−14O
−1
2
t
1
4
1
2
分析：
求信号的傅里叶变换一般有两种解法。
（）
方法一：
将信号转化为单周期信号与单位冲激串δt
T
的卷积，用时域卷积定理来求解；
方法二：
利用周期信号的傅里叶级数求解。
X
第第
方法一
2页页
将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。
−1≤t≤
3
截取f（t）在
的信号构成单周期信号f1（t），即有
2
2
⎧
⎪
⎨
1
3
2
f（t）−≤t≤
f1（t）=
2
⎪
⎩
0
t为其它值
1ω
⎛⎞
（）
[
]↔Sa1−e
则
−jω
f1（t）=G1（t）∗δ（t）−δ（t−1）
⎜⎟
2⎝4⎠
2
易知f（t）的周期为2，则有
f（t）f1（t）∗δT（t）
T2
2π
（）
δT（t）↔ωδω
∑
ω1==π
1ω
T
1
∞
（）
=πδω−nπ
X
n=−∞
第第
3页页
由时域卷积定理可得
（）[][（）]
Fω=Ff（t）⋅Fδt
1
T
1ω
∞
⎛⎞
（−jω）（）
∑
=Sa⎜⎟1−e
⋅πδω−nπ
2⎝4⎠
n∞
sinnπ
=π
∞
1−e
δω−nπ
4（−jnπ）（）
∑
nπ
2
n=−∞
4
sinnπ
∞
4[1−（−1）n]δ（ω−nπ）
∑
=2
n
n=−∞
X
第第
方法二：
利用周期信号的傅里叶级数求解
4页页
f（t）的傅里叶级数为
1
∫
Fn=f（t）⋅e−jω1tdt
T
T
⎡
⎤
3
=1
⎢G1（t）G（t1）⎥e−jnπtdt
−−
⎦
∫
2
1
1
2
−
⎣
2
2
2
nπ
sin4
[1
（1）n]
nπ
所以
∞
（）[（）]
∑
（）
Fω=Fft=2πFnδω−nπ
n=−∞
sinnπ
∞
4[1−（−1）n]δ（ω−
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