高二立体几何点线面关系与公理试题.docx
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高二立体几何点线面关系与公理试题
高二立体几何点线面关系与公理试题
一．选择题（共22小题）
1．（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．
球
B．
三棱锥
C．
正方体
D．
圆柱
解：
球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形
故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱
故选D
2．（2013•牡丹江一模）空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，
由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱
选项都正确，
故选A．
3．（2013•东城区二模）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
解：
由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），
利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．
故选D．
4．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
由三视图知，几何体是一个四棱锥，
四棱锥的底面是一个正方形，边长是2，
四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且这条侧棱长是2，
这样在所有的棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与相对的底面的顶点的侧棱是最长的
长度是
，
故选B．
5．已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是（ ）
①矩形；
②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
③每个面都是直角三角形的四面体．
A．
①②
B．
①②③
C．
①③
D．
②③
解：
根据三视图的知识，该几何体的正视图以及侧视图都是相同的矩形，而俯视图是一个较小的矩形，所以这个几何体应该是个长方体，因此根据长方体的性质，可得在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．
故选B．
6．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图是全等的矩形如图所示，则这个几何体可以为：
①三棱柱；②四棱柱；③圆柱其中真命题的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
解：
①三棱柱；底面三角形的等腰直角三角形．
②四棱柱；侧面是正方形．
③圆柱
真命题的个数是3个．
故选D．
7．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；
对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；
对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；
对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，不符合题意
故选：
A
8．如图是由一些相同的小正方体构成的主体图形的三种视图，构成这个立体图形的小正方体的个数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
解：
根据主视图下面三个上面一个，这样看到的有4个小正方形，
根据俯视图有前后两排，一层共有4个小正方形，
上层还有1个小正方形，共有4+1=5
故选C．
9．三棱锥D﹣ABC及其三视图中的正视图和左视图如图，则三棱锥中最长棱的长为（ ）
A．
4
B．
4
C．
3
D．
3
解：
由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=2；
由左视图知CD=4，BE=2
，
在Rt△BCE中，BC=
=
=4，
在Rt△BCD中，BD=
=
=4
．
则三棱锥中最长棱的长为4
．
故选A．
10．下列命题中正确的有几个（ ）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
解：
在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；
在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；
在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．
故选C．
11．三个平面最多可以将空间分为（ ）部分．
A．
8
B．
7
C．
6
D．
4
解：
一个平面将空间分成两部分，两个平面可以将空间分成三部分或者是四部分，三个平面可以将空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，
特别地，当三个平面中首先有两个平面相交，把空间分成4部分，
再用第三个平面同时截两个相交平面，把原来的四个空间分成8个，
故选A．
12．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（ ）
A．
A⊂a，a⊂α，B∈α
B．
A∈a，a⊂α，B∈α
C．
A⊂a，a∈α，B⊂α
D．
A∈a，a∈α，B∈α
解：
A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，
表示为：
A∈a，a⊂α，B∈α．
故选B．
13．（2012•上海）已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（ ）
A．
m与n异面
B．
m与n相交
C．
m与n平行
D．
m与n异面、相交、平行均有可能
解：
∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，
∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），
故选D．
14．（2005•陕西）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）
A．
3个
B．
4个
C．
6个
D．
7个
解：
空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：
三棱锥D﹣ABC，
①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换低，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，
②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，
所以满足条件的平面共有7个，
故选D．
15．（2011•绵阳三模）给出如下命题：
①两条相交直线在同一平面内的射影必是相交直线
②如果两条直线在同一平面内的射影是平行直线，那么这两条直线平行或异面
③设a，b是直线，a是平面，若“a丄b且a丄a，则b∥a
其中正确命题的个数是（ ）
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
解：
∵两条相交直线在同一平面内的射影有可能是一条直线，
故①不正确，
∵如果两条直线在同一平面内的射影是平行直线，
那么这两条直线平行或异面，这是一个正确的命题，故②正确，
∵a，b是直线，a是平面，若“a丄b且a丄a，则b∥a或b⊂α，故③不正确，
总上可知只有②是正确的，
故选B．
16．（2010•武汉模拟）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A．
a内的所有直线均与直线a异面
B．
a内不存在与a平行的直线
C．
直线a与平面a有公共点
D．
a内的直线均与a相交
解：
若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内
对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；
对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；
对于C，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立；
对于D，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立
故选C．
17．（2006•宝山区二模）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
A、由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥AC，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；
B、由题意知在正方体中，PQ∥A'C'，SR∥A'C'，所以PQ∥SR，则P、Q、R、S四个点共面，故B不对；
C、因PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PR∥BS，QS∥BD，即QR∥PA，所以P、Q、R、S四个点共面，故C不对；
D、根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，QR∥BD，PS∥AB，因为AB与BD相交，所以QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；
故选D．
18．下列命题中不正确的是（ ）
A．
若a⊂α，b⊂α，l∩a=A，l∩b=B，则l⊂α
B．
若a∥c，b∥c，则a∥b
C．
若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α
D．
若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外
解：
若a⊂α，b⊂α，l∩a=A，l∩b=B，由公理一可得，l⊂α，故A答案正确；
若a∥c，b∥c，由公理四可得，a∥b，故B答案正确；
若a⊄α，b⊂α，a∥b，由线面平行的判定定理可得，a∥α，故C答案正确；
一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外，与线面相交的情况矛盾，故D答案不正确；
故选D
19．下列命题中正确的是（ ）
A．
空间三点可以确定一个平面
B．
三角形一定是平面图形
C．
若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．
四条边都相等的四边形是平面图形
解：
A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；
B、因为三角形的3个顶点不共线，所以由公理2知一定确定一个平面，故B正确；
C、当A，B，C，D四点在两个平面的交线时，满足时两个平面的交点，但是这两个平面相交，故C不对；
D、比如空间四边形则不是平面图形，故D不对．
故选B．
20．设直线l与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．
在平面α内有且只有一条直线与直线l平行
B．
过直线l有且只有一个平面与平面α平行
C．
与直线l平行的直线可能与平面α垂直
D．
与直线l垂直的平面不可能与平面α平行
解：
若在平面α内有且只有一条直线与直线l平行，则根据线面平行的判定定理，l∥α，这与已知矛盾，排除A；
若过直线l有且只有一个平面与平面α平行，则根据面面平行的定义，l∥α，这与已知矛盾，排除B；
若两条平行线中的一条与平面α垂直，则另一条也与平面α垂直，这与已知l与平面α相交但不垂直矛盾，排除C；
若与直线l垂直的平面β与平面α平行，则l⊥α，这与已知l与平面α相交但不垂直矛盾，故与直线l垂直的平面不可能与平面α平行，D正确；
故选D
21．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．
两两相交的三条直线
B．
三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．
三个点
D．
三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
解：
对于A．两两相交的三条直线如果交于一点且不共面，如墙角上的三条线，就不可以确定一个平面，故错；
对于B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交，如果它们交于同一个点，如A所说，也不能确定平面，故错；
对于C．过共线的三个点可以有无数个平面，故错；
由平面的基本性质及推论知D正确．
故选D．
22．设a，b是异面直线，给出下列四个命题：
①存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β，α∥β；
②存在惟一平面α，使a，b与α距离相等；
③空间存在直线c，使c上任一点到a，b距离相等；
④与a，b都相交的两条直线m，n一定是异面直线．
其中正确命题的个数有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
解：
设a，b是异面直线，给出下列四个命题：
分别过两异面直线与其公垂线的交点作平面，有a⊂α，b⊂β，α∥β；①正确．
过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面．使a，b与α距离相等；②正确．
过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面内任一条直线都可以．③正确．
若m，n与a相交与同一点，则m，n就不是异面直线．不正确．
二．填空题（共5小题）
23．一个正方体内接于一个球，过球心作截面，则下图中截面的可能图形是 ①②③ ，其中过正方体对角面的截面图形为 ③ ．（把正确的图形的序号全填在横线上）
解：
过球心，且平行于正方体底面的平面截正方体得截面③；
过正方体对角面（当然也过球心）的截面为②；
过正方体上下底面中心且不过体对角线的截面，得到截面③．
故答案为：
第一个空填①②③，第二个空填②
24．给出四个命题：
①线段AB在平面α内，则直线AB不在α内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合．其中正确命题的个数为 1 ．
解：
线段AB在平面α内，直线AB也在α内，故①不正确，
两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点，这些点在两个平面的交线上，故②正确，
三条平行直线不一定共面，故③不正确，
有三个公共点的两平面重合或交于一条直线，故④不正确，
综上可知有一个命题正确，
故答案为：
1
25．给出下列命题，其中正确的命题是 ③ （填序号）．
①若平面α上的直线m与平面β上的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m，n中的一条相交；
②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；
③一定存在平面γ同时与异面直线m，n都平行．
解：
①是错误的，因为l可以与m，n都相交；
②是错误的，因为m与l可以异面、相交或平行；
③是正确的，因为只要将两异面直线平移成相交直线，两相交直线确定一个平面，此平面就是所求的平面．
故答案为：
③
26．以下四个命题中，正确命题的个数是 1 ．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：
①正确，可以用反证法证明：
若其中任意三点共线，则四点必共面；
②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；
③不正确，共面不具有传递性；
④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．
故答案为：
1
27．命题：
（1）若a、b是异面直线，则一定存在平面α过a且与b平行；
（2）设a、b是异面直线，若直线c、d与a、b都分别相交，则c、d是异面直线；
（3）若平面α内有不共线的三点A、B、C到平面β的距离都相等，则α∥β；
（4）分别位于两个不同平面α、β内的两条直线a、b一定是异面直线；
（5）直线a⊥α，b∥α，则a⊥b．
上述命题中，是假命题的有
（2），（3），（4） ．（填上全部假命题的序号）
解：
过a作b的平行线c，则a，c确定的平面过a且与b平行，故
（1）为真命题；
设a、b是异面直线，若直线c、d与a、b都分别相交，若c、d与a（或b）交于同一点，则c、d相交，故
（2）为假命题；
若平面α内有不共线的三点A、B、C到平面β的距离都相等，则α与β平行或相交（三点在β的两侧），故（3）为假命题；
分别位于两个不同平面α、β内的两条直线a、b可能平行也可能相交，故（4）为假命题；
直线a⊥α，b∥α，则a⊥b，故（5）为真命题
故答案为：
（2），（3），（4）
三．解答题（共3小题）
28．如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC
AD，BE
AF，G、H分别是FA、FD的中点．
（Ⅰ）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（Ⅱ）C、D、E、F四点是否共面？
为什么？
证明：
（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD
所以GH
，又BC
，故GH
BC
所以四边形BCHG是平行四边形．
（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE
AF，G是FA的中点知，BE
GA，即有BE
GF，所以四边形BEFG是平行四边形，
所以EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．
又点D在直线FH上
所以C，D，F，E四点共面．
29．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
证明：
（1）连接EF，A1B，D1C，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，A1B∥D1C，
∴EF∥D1C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．
（2）分别延长D1F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA⊂面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA1的中点，FA∥D1D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D1F，DA三线共点于P．
30．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中，求证：
B1D被平面A1BC1分成1：
2的两段．
证明：
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接B1D1，A1C1，BD，AC．
设B1D1∩A1C1=M，BD∩AC=N．
∴M，N分别是B1D1，AC的中点．
连接BM，D1N．
∵BB1∥DD1，且BB1=DD1，
∴四边形BDD1B1是平行四边形．
在平面BDD1B1中，设B1D∩BM=O，B1D∩D1N=O1，
在平行四边形BDD1B1中，
∵D1M∥NB，且D1M=NB，
∴四边形BND1M是平行四边形．
∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，
∴O是BO1的中点，即O1O=OB1．
同理，OO1=O1D．
∴O1O=OB1=O1D．
综上，OB1：
OD1=1：
2，
即B1D被平面A1BC1分成1：
2的两段
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