安徽省安庆市桐城中学高届高级高二第一学期期中考试文科数学试题及解析.docx

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安徽省安庆市桐城中学高届高级高二第一学期期中考试文科数学试题及解析

安徽省安庆市桐城中学2019～2020学年度高中二年级第一学期期中考试数学文科试题

一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）

1.设a,b∈R,则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.总体编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号是（　　）

7816  6572  0802  6314  0702  4369  9728  0198

3204  9234  4935  8200  3623  4869  6938  7481.

A.08B.07C.02D.01

3.若P（A∪B）=P（A）＋P（B）=1,则事件A与事件B的关系是（）

A.互斥不对立B.对立不互斥

C.互斥且对立D.以上答案都不对

4.已知命题p:

∀x∈（1,＋∞）,x3＋16＞8x,则命题p的否定为（　　）

A.:

B.:

C.:

D.:

5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为（    ）

A.B.C.D.

6.已知p:

∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,q:

∃x0∈N,;则下列选项中是假命题的为（）

A.B.C.D.

7.已知:

a,b,c为集合A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算法输出一个整数a,则输出的数a=4的概率是（　　）

A.B.C.D.

8.曲线与曲线的（　　）

A.离心率相等B.焦距相等C.长轴长相等D.短轴长相等

9.已知α,β∈（0,π）,则“sinα＋sinβ＜”是“sin（α＋β）＜”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.

“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础,刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据=2.0946）（　　）

A.B.C.D.

11.已知椭圆,点P是椭圆上在第一象限上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为（　　）

A.B.C.D.

12.已知椭圆C:

直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P使得kPA•kPB∈,则离心率e的取值范围为（　　）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）

13.命题“若x=1且y=2,则x＋y=3”的逆否命题是______

14.为配合学校对学生进行交通安全教育,特作如下随机调查:

向被调查者提出两个问题:

（1）你的学号是偶数吗？

（2）你是否闯过红灯？

要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第

（1）问题,否则回答第

（2）问题.被调查者不必告诉调查人自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.

如果随机调查了300人,其中有90人回答了“是”,由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是______

15.P为椭圆上一点,A（1,0）,则|PA|最小值为______

16.如图,椭圆

的右焦点为F,过F的直线交椭圆于A,B两点,点C是点A关于原点O的对称点,若CF⊥AB且CF=AB,则椭圆的离心率为______.

三、解答题（本大题共6小题,共70.0分）

17.已知命题P:

关于x的方程x2＋（m-3）x＋m=0的一个根大于1,另一个根小于1.命题q:

∃x∈（-1,1）,使x2-x-m=0成立,命题s:

方程的图象是焦点在x轴上的椭圆

（1）若命题s为真,求实数m的取值范围;

（2）若p∨q为真,￢q为真,求实数m的取值范围.

18.已知函数f（x）=ax2-（a＋2）x＋2（a为常数）.

（1）求不等式f（x）＞0的解集;

（2）当a＞0时,若对于任意的x∈[3,4],f（x）＞0恒成立,求实数a的取值范围.

19.在平面直角坐标系中,M（1,0）,N（4,0）,动点R满足|RN|=2|RM|.

（1）求点R的轨迹方程C;

（2）过点P（1,0）的直线l与

（1）中的轨迹方程C交于点A,B,且|PA|=2|PB|.求直线l的方程.

20.已知在圆M:

（x＋1）2＋y2=12内有一点A（1,0）.Q为圆M上一点,AQ的垂直平分线与点M,Q的连线交于点P,记点P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程;

（Ⅱ）若,求△PMA的面积.

21.电动摩托车的续航里程,是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.

为了解A,B两个不同型号电动摩托车的续航里程,现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A,B两个型号的电动摩托车各5台,在相同条件下进行测试,统计结果如下:

电动摩托车编号

1

2

3

4

5

A型续航里程（km）

120

125

122

124

124

B型续航里程（km）

118

123

127

120

a

已知A,B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等.

（1）求a的值;

（2）求A型号被测试电动摩托车续航里程方差和标准差的大小;

（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A,B型号电动摩托车各1台,求至少有1台的续航里程超过122km的概率.

（注:

n个数据x1,x2…,xn的方差s2=[（x1-）2＋（x2）2＋（xn-）2]其中为数据x1,x2,…,xn的平均数）

22.如图,椭圆C:

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,B,且|AB|＝|BF|.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率;

（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0,2）,且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.

答案和解析

1.【试题参考答案】A

本题考查了不等式,充分必要条件的定义,属于容易题.根据充分必要条件定义判断,结合不等式求解.

【试题解答】

解:

∵a,b∈R,（a-b）a2＜0,

∴a＜b成立,

由a＜b,则a-b＜0,∴（a-b）a2≤0,

所以,根据充分必要条件的定义可判断得:

a,b∈R,则“（a-b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件,

故选A.

2.【试题参考答案】D

解:

从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01,.其中第二个和第四个都是02,重复.

可知对应的数值为08,02,14,07,01,

则第5个个体的编号为01.

故选:

D.

根据随机数表,依次进行选择即可得到结论.

本题主要考查简单随机抽样的应用,正确理解随机数法是解决本题的关键,比较基础.

3.【试题参考答案】D

通过理解互斥与对立事件的概念,核对四个选项即可得到正确答案.

本题考查了互斥事件与对立事件的概念,是基础的概念题.

【试题解答】

解:

若是在同一试验下,由P（A∪B）=P（A）＋P（B）=1,说明事件A与事件B一定是对立事件,

但若在不同试验下,虽然有P（A∪B）=P（A）＋P（B）=1,但事件A和B也不见得对立,

所以事件A与B的关系是不确定的.

故选D.

4.【试题参考答案】C

解:

命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,

即命题的否定是:

￢p:

∃x0∈（1,＋∞）,x03＋16≤8x0,

故选:

C.

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.

本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础.

5.【试题参考答案】C

​本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆方程的求法,考查计算能力,属于基础题.

​利用椭圆的简单性质列出方程,求解即可.

【试题解答】

​解:

焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,

可得a＋b=10,

​2c=4,c=2,即a2-b2=20,

解得a2=36,b2=16,

所求椭圆方程为:

.

故选C.

6.【试题参考答案】B

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

​对于m命题p:

方程x2-mx-1=0,则△=m2＋4＞0,即可判断出命题p的真假.对于命题q:

由x2-x-1≤0,解得≤x≤,即可判断出命题q的真假.

【试题解答】

解:

对于m命题p:

方程x2-mx-1=0,则△=m2＋4＞0,因此:

∀m∈R,x2-mx-1=0有解,可得:

命题p是真命题.

对于命题q:

由x2-x-1≤0,解得≤x≤,因此存在x=0,1∈N,使得x2-x-1≤0成立,因此是真命题.

∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q）,

故选B.

7.【试题参考答案】C

解:

由程序框图知,输入a、b、c三数,输出其中的最大数,

由于输出的数为4,

故问题为从集合A中任取三个数,求最大数为4的概率,

从集合A中任取三个数有=10种取法,

其中最大数为4时,表示从1,2,3中任取2两个数,有=3种取法,

故概率P=.

故选:

C.

由程序框图知,输入a、b、c三数,输出其中的最大数,由于输出的数为4,故问题为从集合A中任取三个数,求最大数为4的概率,计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.

本题考查的知识点是程序框图,古典概型,其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键,属于基础题.

8.【试题参考答案】B

解:

由曲线,得a2=25,b2=16,得c2=a2-b2=9,∴c=3.

曲线的可知该曲线为焦点在x轴上的椭圆,

且a2=25-k,b2=16-k,得c2=25-k-16＋k=9,∴c=3.

∴曲线与曲线的焦距相同.

故选:

B.

由两曲线方程分别求出焦距得答案.

本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,是基础题.

9.【试题参考答案】A

解:

∵α,β∈（0,π）,sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ＜,

∴α,β∈（0,π）,则“sinα＋sinβ＜”是“sin（α＋β）＜”的充分不必要条件.

故选:

A.

α,β∈（0,π）,sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ＜sinα＋sinβ＜,即可判断出结论.

本题考查了三角函数化简、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题.

10.【试题参考答案】A

本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式,属中档题.

由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得:

=0.8269,所以=0.8269,又=2.0946,所以π≈3.1419,得解.

【试题解答】

解:

由几何概型中的面积型可得:

​

=0.8269,

所以=0.8269,

所以

=2.0946,

所以π≈3.1419,

故选:

A.

11.【试题参考答案】C

解:

如图,F1由题意,|OA|=2b,所以|F1B|=4b,

又|PF2|=|PB|,|F1B|=|PF1|＋|PB|=|PF1|＋|PF2|=2a=4b,

所以a=2b,c=,所以e=,

故选:

C.

由中位线定理得到|F1B|=4b,再利用椭圆的定义得到a=2b,代入求出即可.

本题利用了椭圆的定义,中位线定理等,求出离心率,中档题.

12.【试题参考答案】B

本题考查双曲线的简单几何性质,曲线对称性的考查,考查计算能力,是中档题.

设P（x0,y0）,A（x1,y1）,则B（-x1,-y1）,求kPA•kPB的值得到a,b的不等式,再计算e的范围即可.

【试题解答】

解:

设P（x0,y0）,A（x1,y1）,则B（-x1,-y1）,

∴kPA•kPB=,

又,,

两式做差,得,

∴kPA•kPB=,故.

所以.

故选:

B.

13.【试题参考答案】若x＋y≠3,则x≠1或y≠2.

解:

由逆否命题的定义得命题的逆否命题为:

若x＋y≠3,则x≠1或y≠2,

故答案为:

若x＋y≠3,则x≠1或y≠2.

根据逆否命题的定义直接进行求解即可.

本题主要考查四种命题的关系,结合逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础.

14.【试题参考答案】30

解:

要调查300名学生,

在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,

∴第一个问题可能被询问150次,

∵在被询问的150人中有75人学号是偶数,而有90人回答了“是”,

∴估计有90-75=15个人闯过红灯,即在150人中有15个人闯红灯,

∴根据概率的知识来计算这300人中有过闯过红灯的人数为15×2=30,

故答案为:

30.

在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,第一个问题可能被询问150次,在被询问的150中有75人学号是奇数,比90人多出来的人数就是闯过红灯的人数,按照比例得到结果.

本题考查实际推断原理和假设检验,是一个基础题,但是题干比较长,这样给我们读懂题意带来困难,不能弄懂题意是本题的难点,属于中档题.

15.【试题参考答案】

解:

椭圆上一点,A（1,0）,设P（2cosa,sina）,

则|PA|2=（2cosa-1）2＋sin2a

=3cos2a-4cosa＋2

=3（cosa-）2＋,

当cosa=时,|PA|最小值为.

故答案为:

设椭圆的参数方程P（2cosa,sina）,根据距离公式求最值即可.

本题利用参数方程法,两点间的距离公式,配方法求出最值,中档题.

16.【试题参考答案】

​本题考查了椭圆的简单性质,考查了勾股定理在解题中的应用,属于中档题.

作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边形,进一步得到三角形为等腰直角三角形,设=AB=x,求出x,在三角形中由勾股定理得,即可求出e2,则答案可求.

【试题解答】

解:

作另一焦点,连接和和,

则四边形为平行四边形,

∴=CF=AB,且⊥AB,

则三角形为等腰直角三角形,

设=AB=x,则,即,

∴,

在三角形中由勾股定理得,

∴,

​又0

则e=.

故答案为.

17.【试题参考答案】解:

（1）命题s为真时,即命题s:

方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真;

∴4-m＞m＞0,∴0＜m＜2;

故命题s为真时,实数m的取值范围为:

（0,2）;

（2）当命题p为真时,f（x）=x2＋（m-3）x＋m满足f

（1）＜0,

即2m-2＜0,所以m＜1.

命题q为真时,方程m=x2-x在（-1,1）有解,

当x∈（-1,1）时,x2-x∈[,2）,则m∈[,2）,

由于p∨q为真,￢q为真;

所以q为假,p为真;

则,得;∴m＜;

故p∨q为真,￢q为真时,实数m的取值范围为（-∞,）.

（1）结合椭圆的标准方程,求出命题为真命题的等价条件即可.

（2）若p∨q为真,￢q为真时,则p真假q,求出对应的范围即可.

本题主要考查复合命题真假关系的判断,求出命题p,q,s为真命题的等价条件是解决本题的关键.属于基础题.

18.【试题参考答案】解:

（1）不等式f（x）＞0化为ax2-（a＋2）x＋2＞0,

即（ax-2）（x-1）＞0,

①a=0时,不等式变为-2（x-1）＞0,解得x＜1;

②a＞0时,不等式变为（x-）（x-1）＞0,

若a＞2,则＜1,解得x＞1或x＜,

若a=2,则=1,解得x≠1,

若0＜a＜2,则＞1,解得x＞或x＜1;

③a＜0时,不等式变为（x-）（x-1）＜0,解得＜x＜1;

综上所述,不等式f（x）＞0的解集为:

a=0时,x∈（-∞,1）;

​0＜a＜2时,x∈（-∞,1）∪（,＋∞）;

a=2时,x∈（-∞,1）∪（1,＋∞）;

a＞2时,x∈（-∞,）∪（1,＋∞）;

a＜0时,x∈（,1）;

（2）由

（1）知:

①0＜a＜2时,f（x）＞0,x∈（-∞,1）∪（,＋∞）,

需[3,4]⊂（-∞,1）∪（,＋∞）,

∴＜3,即2＜3a,解得a＞;

②a=2时,x∈（-∞,1）∪（1,＋∞）,符合条件;

③a＞2时,f（x）＞0.x∈（-∞,）∪（1,＋∞）,

则[3,4]⊂（-∞,）∪（1,＋∞）,显然也成立;

综上所述,符合条件的a的取值范围是a＞.

本题考查了利用分类讨论法求不等式的解集问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题.

（1）不等式化为（ax-2）（x-1）＞0,讨论①a=0、②a＞0和③a＜0时,求出对应不等式的解集;

（2）根据

（1）知f（x）＞0的解集情况,再讨论[3,4]是不等式f（x）＞0的解集的子集即可.

19.【试题参考答案】解:

（1）设点R（x,y）,因为|RN|=2|RM|.所以RN2=4RM2,

即（x-4）2＋y2=4[（x-1）2＋y2],化简得x2＋y2=4;

（2）设l:

y=k（x-1）,圆心到直线l的距离为d,如图,

作OQ⊥AB交AB于点Q,所以QB=AB,因为PA=2PB,所以PB=AB,则QP=AB,

即有QB:

QP=3:

1,根据勾股定理则有,

所以,解得,

所以l的方程为:

.

（1）设点R（x,y）,利用条件即可求出R点轨迹;

（2）设直线l的方程,利用|PA|=2|PB|.可求出圆心到直线l的距离d,进而可求出k.

本题考查点的运动轨迹方程,属于中档题.

20.【试题参考答案】解:

（1）如图,根据中垂线的性质可知PQ=PA,

由条件已知M（-1,0）,r=,所以AM=2,

则PM＋PA=PM＋PQ=MQ=r=＞2=AM,

所以点P的运动轨迹为椭圆,设其方程为（a＞b＞0）,

则a=,c=1,所以b2=2,则曲线C为:

（2）如图,△PMA中且|PM|＋|PA|=,

所以|PM|2＋|PA|2=（|PM|＋|PA|）2-2|PM||PA|=,

设PA,PM夹角为θ,

根据余弦定理:

cosθ==,

所以sinθ=,

则==.

（1）数形结合,结合中垂线性质可得PM＋PA=PM＋PQ=＞AM,所以点P的运动轨迹是椭圆,再根据条件求出a,b即可.

（2）利用余弦定理求出PA,PM夹角,利用面积公式即可求面积.

本题考查椭圆轨迹求法,牢记椭圆第一定义,数形结合是关键,属于中档题.

21.【试题参考答案】解:

（1）=120＋=123（km）,

=120＋,

∵,∴120＋=123,

解得a=127.

（2）设A型号被测试电动摩托车续航里程的方差为,

则=[（120-123）2＋（125-123）2＋（122-123）2＋（124-123）2＋（124-123）2]=,

∴标准差为=.

（3）设A型号电动摩托车为A1,A2,A3,A4,A5,B型号摩托车为B1,B2,B3,B4,B5,

从被测试的电动摩托车中随机抽取A,B型号电动摩托车各一台,不同的抽取方法有:

n=5×5=25种,

设事件C:

“至少有1台摩托车续航里程不超过122km”,

则事件为:

“抽取的两台摩托车续航里程都不超过122km”的选法有:

（A1,B1）,（A1,B4）,（A3,B1）,（A3,B4）,共4种,

∴至少有1台的续航里程超过122km的概率:

P（C）=1-P（）=1-.

（1）先分别求出A,B两种型号电动摩托车续航里程的平均值,由二者的平均值相等,能求出a.

（2）先求出A型号被测试电动摩托车续航里程的方差,由此能求出标准差.

（3）设A型号电动摩托车为A1,A2,A3,A4,A5,B型号摩托车为B1,B2,B3,B4,B5,利用列举法和对立事件概率计算公式能求出至少有1台的续航里程超过122km的概率.

本题考查平均数、方差、标准差、概率的求法,考查列举法和对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.

22.【试题参考答案】解:

（Ⅰ）由已知,

即,4a2＋4b2=5a2,4a2＋4（a2-c2）=5a2,∴.…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2,∴椭圆C:

.

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

直线l的方程为y-2=2（x-0）,即2x-y＋2=0.

由,

即17x2＋32x＋16-4b2=0.

.

.…（9分）

∵OP⊥OQ,∴,

即x1x2＋y1y2=0,x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）=0,5x1x2＋4（x1＋x2）＋4=0.

从而,解得b=1,

∴椭圆C的方程为.…（13分）

（Ⅰ）利用|AB|=|BF|,求出a,c的关系,即可求椭圆C的离心率;

（Ⅱ）直线l的方程为y-2=2（x-0）,即2x-y＋2=0与椭圆C:

联立,OP⊥OQ,可得,

利用韦达定理,即可求出椭圆C的方程.

本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,属于中档题.