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课件

世纪学府教育学科教师辅导教案

审核：

学员编号：

年级：

初二课时数：

课时

学员姓名：

辅导科目：

数学学科教师：

樊亮亮

授课主题

因式分解

教学目的

1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．

2．感受整式乘法在解决问题中的作用．

3．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系．

教学重点

探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义，正确找出各项的公因式并进行因式分解

授课日期及时段

因式分解

一．教学导入

想一想99³-99能被100整除吗？

你是怎样想的？

看一看小明是怎么做的。

（1）小明在判断99³-99能否被100整除时是怎么做的？

拓展思考

99³-99还能被哪些正整数整除？

归纳：

在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：

现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？

鼓励学生类比数的分解将a³-a分解。

做一做：

计算下列各式：

（1）（m+4）（m-4）=;

（2）（y-3）2=；

（3）3x（x-1）=；

（4）m（a+b+c）=.

根据上面的算式填空：

（1）3x2-3x=（）（）

（2）m2-16=（）（）

（3）ma+mb+mc=（）（）

（4）y2-6y+9=（）（）

通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？

第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

议一议：

由a（a+1）（a-1）得到a3-a的变形是什么运算？

由a3-a得到a（a+1）（a-1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能在举一些类似的例子加以说明吗？

概括：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。

也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解的要求：

（1）分解的结果要以积的形式表示； 

（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； 

（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。

练习：

（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（）

A．（x+3）（x-3）=x2-9B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1

C．a2b+ab2=ab（a+b）D．

（2）证明：

一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。

（3）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）

 A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．a2-b2=（a+b）（a-b）

课堂小结：

想一想：

分解因式与整式乘法有什么关系？

4.2提公因式法

教学重难点：

教学重点用提公因式法把多项式分解因式

教学难点探索多项式因式分解方法的过程

创设情景导出

张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。

他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。

关于这一问题给出了各自的做法。

方法一：

16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）

方法二：

16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）

请问：

两种计算的方法哪一位更好？

为什么？

2、探索交流，概括概念

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？

多项式3x2+x呢？

多项式mb2+nb-b呢？

（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。

讨论概括：

（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。

如b就是多项式ab+bc的公因式。

同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。

练习1将下列各式分解因式：

（1）3x+6；

（2）7x2-21x；

（3）8a3b2-12ab3c+abc；

（4）-24x3-12x2+28x

想一想：

提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

练习巩固

（1）写出下列多项式的公因式：

 ①ma+mb②4kx-8ky③5y3+20y2④a2b-2ab2+ab

（2）把下列各式分解因式：

①3x2-6xy+x②-4m3+16m2-26m

（3）利用分解因式计算：

①33×0.48+85×0.48-18×0.48

②7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25

教师提示：

当第一项是负数时，注意改变符号。

4.3公式法（平方差公式）

教学重难点：

用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）

复习回顾：

填空：

（1）（x+5）（x–5）=；

（2）（3x+y）（3x–y）=；

（3）（3m+2n）（3m–2n）=．

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

探究新知：

将多项式a2—b2进行因式分解：

∵（a+b）（a-b）=a2—b2

整式乘法

∴a2—b2=（a+b）（a-b）

因式分解

结论：

整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。

这种分解因式的方法称为运用公式法。

说一说：

找特征

（1）公式左边：

（是一个将要被分解因式的多项式）

被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）２－（　）２的形式。

（2）公式右边：

（是分解因式的结果）

分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试：

下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？

如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式。

（1）M2-81

（2）1-16b2（3）4m2+9（4）a2x2-25y2（5）-x2-25y2

例1：

把下列各式因式分解：

（1）25–16x2

（2）9a2–

练习：

1、判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）（x–y）（）

（2）x2–y2=（x+y）（x–y）（）

（3）–x2+y2=–（x+y）（x–y）（）

（4）–x2–y2=–（x+y）（x–y）（）

2、把下列各式因式分解：

例2、把下列各式因式分解：

注意：

使用整体法进行分解因式时，需注意括号前的系数变化和去括号后的符号变化。

巩固练习：

例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形。

用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积。

如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是Rcm和rcm，求它们所围成的环形的面积。

如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？

教师小结：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

因式分解（完全平方公式）

教学重难点：

公式的理解和运用。

复习提问：

回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法。

（a±b）2=

两个数和或差的平方等于这两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍。

把这两个公式反过来就是因式分解的公式了。

即：

=（a±b）2

两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的两倍，等于这两个数和或者差的平方。

落实基础：

1、判别下列各式是不是完全平方式。

2、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

结论：

找完全平方式可以紧扣下列口诀：

首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2

例1、把下列各式因式分解：

例2．把下列各式因式分解：

注意事项：

在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：

（1）有公因式，先提公因式；

（2）再用公式法进行因式分解。

随堂练习

1、判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a、b各表示什么？

2、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y）2

3、用简便方法计算：

4、将

再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

5、一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:

“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?

”

教师小结：

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．