《数学建模》选题要点.docx
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《数学建模》选题要点
《数学建模》选题
（一）
1、选址问题研究
在社会经济发展过程中,经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。
在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。
选址问题,是指在指定的范围内,根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。
在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。
选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。
由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。
1.1“中心”为点的情形
如图1，有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂P和Q距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q输水，请你给出一个经济合理的设计方案。
图1图2
（即找一点R，使R到P、Q及直线l的距离之和为最小。
）
要求和给分标准：
提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。
将问题引申：
（１）、若将直线L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。
（２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？
对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。
抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。
1.2“中心”为线的情形
在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题：
问题A：
在平面上给定
个点
，求一条直线
，使得
（1）
为最小，其中
表示点
的权，
表示点
到第直线
的距离。
问题B：
平面上给定
条直线
求一点
使
（2）
为最小，其中
表示直线
的权，
表示点
到第直线
的距离。
问题C：
在平面上给定
个点
，求一条直线
，使得
（1）
为最小，其中
表示点
的权，
表示点
到第直线
的距离。
问题D：
平面上给定
条直线
求一点
使
（2）
为最小，其中
表示直线
的权，
表示点
到第直线
的距离。
参考文献
【1】林诒勋,尚松蒲.平面上的点—线选址问题[J].运筹学学报,2002,6（3）:
61—68.
【2】尚松蒲,林诒勋.平面上的min-max型点—线选址问题[J].运筹学学报,2003,7（3）:
83—91.
要求和给分标准：
选择问题A和B（或者C和D）进行研究：
根据文献重述模型（10分），提出自己的算法（30分），计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB编程）。
将问题引申：
如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？
其他情形的讨论？
对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。
抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。
2Hsieh模型的参数估计方法研究
（本题目可三人共同完成，但工作量要基本相同，每个人的工作要写清楚）
Hsieh模型为由
（1）和
（2）构成的如下非线性方程组：
（1）
（2）
其中，
E=1-ωrc2Kei（α）/（2T）,F=ωrc2Ker（α）/（2T）,α=rw（ωS/T）1/2
A为井水位与不排水条件下含水层孔压的潮汐响应振幅比，称为相对振幅。
η为井水位与孔压之间的相位差，取决于含水层的导水（渗透）性能；Ker和Kei分别为开尔文函数（在Matlab中用besselk（）来表示）的实部和虚部；S为储水系数，无量纲；T为导水系数；ω为井水位某潮汐分波频率；rw=0.028m为揭露含水层处井孔半径，或滤水管半径；rc=0.0445m为井水位波动范围处的井孔套管半径。
A和η对S不敏感，但是对T在一定取值区域内敏感。
问题：
已知A和η反推S和T及其两者的误差，即求解二元非线性方程组并由A和η的误差估计S和T的误差。
振幅比A和相位差η值（角度值，计算时要转化成弧度值）是通过实际数据求算出来的，存在一定的误差，它们的值及误差见如下数据。
相位移η误差振幅比A误差
-6.4850.2010.9646294510.014
-7.7460.20.9730510110.014
-8.7020.180.9692011550.013
-8.240.1920.9696823870.013
-8.6060.2080.9788257940.015
-7.0110.2190.9672762270.015
-6.660.1580.9906159770.011
-4.9450.1440.9865255050.01
-6.0470.1580.9836381140.011
-4.5030.1530.9872473530.011
-5.6030.2150.9855630410.015
-5.9250.1610.9689605390.011
-4.7020.2060.9817131860.015
-4.370.1860.981472570.013
要求和给分标准：
根据文献重述模型（10分），如：
由于
和
可以实验测得，为了便于计算机求解，将Hsieh模型进行等价变形，
，其中E≈1-ωrc2Kei（α）/（2T）,F≈ωrc2Ker（α）/（2T）,α=rw（ωS/T）1/2
其中rw=0.028，rc=0.0445m，ω为井水位某潮汐分波频率；
提出自己的求解非线性方程组算法（30分），如：
（1）这是一个非线性方程组求根问题，可以用Newton-Raphson方法求解，求解算法如下：
……
（2）这是一个非线性方程组求根问题，可以用推广的多元二分法求解，求解算法如下：
……（3）等等这是一个非线性方程组求根问题，可以等价转化为求最小值问题，求解算法如下：
……。
按照算法的求解S和T及其两者的误差。
（40分），注意：
求非线性方程组的根和估计根的误差需要提出两种算法和分别变成求出，建议用MATLAB编程。
将问题引申：
对如何保证算法的收敛性，如何估计误差，给出误差公式讨论？
20分——30分。
抄袭者零分；无算法者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无算法优缺点讨论扣10分。
提示：
（1）由A和η的误差理论上导出S和T的误差界
由《高等数学》下册P86-87隐函数存在定理求出S，T关于A，η的偏导数，再利用P75公式（10）和（11）即可估计绝对和相对误差界。
（2）用BootStrap方法估计误差界。
用《概率论与数理统计》中BootStrap方法估计误差界。
（3）二者进行比较。
参考文献：
廖欣,刘春平等.响应是否满足不排水条件的检验[J]．地震学报，2011，33
（2）:
234-242.
4题:
写字楼电梯系统的模拟系统
城市繁华地区有一座12层的写字楼，在高峰时间7：
50-9：
10，人们进入一楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间间隔在0-30秒内随机变化，达到后每个乘客第一部可乘的电梯（1-4号），当某人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待15秒，如果另一个人在15秒内到达来，这种等待将重新开始，如果15秒内无人到达，电梯就把全体乘客送上去。
假定中途没有其他乘客要上电梯。
送完最后一个乘客后，电梯回到大厅，途中也不上客人。
一部电梯的最大容量为12人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开始大厅排队等待。
写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前，他们在大厅等待的时间太长，也有人抱怨他们在电梯呆的时间太长，还有人说高峰时间大厅太挤，实际情况如何呢？
首先对该写字楼电梯系统做理论分析，然后用计算机模拟电梯系统，回答下列问题，：
（1）在一个典型的早上高峰时间，电梯实际上为多少乘客提供服务？
（2）如果一个人的等待时间是他在队伍中的时间，即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多少？
（3）最长的队长是多少？
（这个问题的回答将向管理者提供大厅拥挤程度的信息。
）
（4）如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他或她到达要去的楼层的时间，包括等电梯的时间平均运送时间和最长的运送时间是多少？
（5）一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？
（6）每部电梯停多少次？
早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是多少？
5、送货路线设计问题
现今社会网络越来越普及，网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个送货员需要以最快的速度及时将货物送达，而且他们往往一人送多个地方，请设计方案使其耗时最少。
现有一快递公司，库房在图1中的O点，一送货员需将货物送至城市内多处，请设计送货方案，使所用时间最少。
该地形图的示意图见图1，各点连通信息见表3，假定送货员只能沿这些连通线路行走，而不能走其它任何路线。
各件货物的相关信息见表1，50个位置点的坐标见表2。
假定送货员最大载重50公斤，所带货物最大体积1立方米。
送货员的平均速度为24公里/小时。
假定每件货物交接花费3分钟，为简化起见，同一地点有多件货物也简单按照每件3分钟交接计算。
现在送货员要将100件货物送到50个地点。
请完成以下问题。
1.若将1~30号货物送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
给出结果。
要求标出送货线路。
2.假定该送货员从早上8点上班开始送货，要将1~30号货物的送达时间不能超过指定时间，请设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路。
3.若不需要考虑所有货物送达时间限制（包括前30件货物），现在要将100件货物全部送到指定地点并返回。
设计最快完成路线与方式。
要求标出送货线路，给出送完所有快件的时间。
由于受重量和体积限制，送货员可中途返回取货。
可不考虑中午休息时间。
以上各问尽可能给出模型与算法。
图1快递公司送货地点示意图
O点为快递公司地点，O点坐标（11000,8250）,单位：
米
表1各货物号信息表
货物号
送达地点
重量（公斤）
体积（立方米）
不超过时间
1
13
2.50
0.0316
9：
00
2
18
0.50
0.0354
9：
00
3
31
1.18
0.0240
9：
30
4
26
1.56
0.0350
12：
00
5
21
2.15
0.0305
12：
00
6
14
1.72
0.0100
12：
00
7
17
1.38
0.0109
12：
00
8
23
1.40
0.0426
12：
00
9
32
0.70
0.0481
12：
00
10
38
1.33
0.0219
10：
15
11
45
1.10
0.0287
9：
30
12
43
0.95
0.0228
10：
15
13
39
2.56
0.0595
12：
00
14
45
2.28
0.0301
9：
30
15
42
2.85
0.0190
10：
15
16
43
1.70
0.0782
10：
15
17
32
0.25
0.0412
12：
00
18
36
1.79
0.0184
12：
00
19
27
2.45
0.0445
12：
00
20
24
2.93
0.0420
9：
00
21
31
0.80
0.0108
9：
30
22
27
2.25
0.0018
12：
00
23
26
1.57
0.0210
12：
00
24
34
2.80
0.0103
9：
30
25
40
1.14
0.0155
9：
30
26
45
0.68
0.0382
9：
30
27
49
1.35
0.0144
10：
15
28
32
0.52
0.0020
12：
00
29
23
2.91
0.0487
12：
00
30
16
1.20
0.0429
12：
00
31
1
1.26
0.0250
32
2
1.15
0.0501
33
3
1.63
0.0483
34
4
1.23
0.0006
35
5
1.41
0.0387
36
6
0.54
0.0067
37
7
0.70
0.0129
38
8
0.76
0.0346
39
9
2.14
0.0087
40
10
1.07
0.0124
41
11
1.37
0.0510
42
12
2.39
0.0428
43
13
0.99
0.0048
44
14
1.66
0.0491
45
15
0.45
0.0209
46
16
2.04
0.0098
47
17
1.95
0.0324
48
18
2.12
0.0554
49
19
3.87
0.0262
50
20
2.01
0.0324
51
21
1.38
0.0419
52
22
0.39
0.0001
53
23
1.66
0.0502
54
24
1.24
0.0534
55
25
2.41
0.0012
56
26
1.26
0.0059
57
27
0.42
0.0224
58
28
1.72
0.0580
59
29
1.34
0.0372
60
30
0.06
0.0402
61
31
0.60
0.0274
62
32
2.19
0.0503
63
33
1.89
0.0494
64
34
1.81
0.0325
65
35
1.00
0.0055
66
36
1.24
0.0177
67
37
2.51
0.0361
68
38
2.04
0.0110
69
39
1.07
0.0440
70
40
0.49
0.0329
71
41
0.51
0.0094
72
42
1.38
0.0455
73
43
1.31
0.0121
74
44
1.26
0.0005
75
45
0.98
0.0413
76
46
1.35
0.0241
77
47
2.12
0.0230
78
48
0.54
0.0542
79
49
1.01
0.0566
80
50
1.12
0.0284
81
25
0.79
0.0011
82
46
2.12
0.0492
83
32
2.77
0.0034
84
23
2.29
0.0054
85
20
0.21
0.0490
86
25
1.29
0.0088
87
19
1.12
0.0249
88
41
0.90
0.0038
89
46
2.38
0.0434
90
37
1.42
0.0020
91
32
1.01
0.0300
92
33
2.51
0.0133
93
36
1.17
0.0020
94
38
1.82
0.0308
95
17
0.33
0.0345
96
11
0.30
0.0172
97
15
4.43
0.0536
98
12
0.24
0.0056
99
10
1.38
0.0175
100
7
1.98
0.0493
表250个位置点的坐标
位置点
X坐标（米）
Y坐标（米）
1
9185
500
2
1445
560
3
7270
570
4
3735
670
5
2620
995
6
10080
1435
7
10025
2280
8
7160
2525
9
13845
2680
10
11935
3050
11
7850
3545
12
6585
4185
13
7630
5200
14
13405
5325
15
2125
5975
16
15365
7045
17
14165
7385
18
8825
8075
19
5855
8165
20
780
8355
21
12770
8560
22
2200
8835
23
14765
9055
24
7790
9330
25
4435
9525
26
10860
9635
27
10385
10500
28
565
9765
29
2580
9865
30
1565
9955
31
9395
10100
32
14835
10365
33
1250
10900
34
7280
11065
35
15305
11375
36
12390
11415
37
6410
11510
38
13915
11610
39
9510
12050
40
8345
12300
41
4930
13650
42
13265
14145
43
14180
14215
44
3030
15060
45
10915
14235
46
2330
14500
47
7735
14550
48
885
14880
49
11575
15160
50
8010
15325
表3相互到达信息
序号
位置点1
位置点2
1
1
3
2
1
8
3
2
20
4
2
4
5
3
8
6
3
4
7
4
2
8
5
15
9
5
2
10
6
1
11
7
18
12
7
1
13
8
12
14
9
14
15
9
10
16
10
18
17
10
7
18
11
12
19
12
13
20
12
25
21
12
15
22
13
18
23
13
19
24
13
11
25
14
18
26
14
16
27
14
17
28
14
21
29
15
22
30
15
25
31
16
23
32
17
23
33
18
31
34
19
24
35
20
22
36
21
26
37
21
36
38
21
17
39
22
30
40
23
17
41
24
31
42
25
41
43
25
19
44
25
29
45
27
31
46
28
33
47
29
22
48
30
28
49
30
41
50
31
26
51
31
34
52
32
35
53
32
23
54
33
46
55
33
28
56
34
40
57
35
38
58
36
45
59
36
27
60
37
40
61
38
36
62
39
27
63
40
34
64
40
45
65
41
44
66
41
37
67
41
46
68
42
43
69
42
49
70
43
38
71
44
48
72
44
50
73
45
50
74
45
42
75
46
48
76
47
40
77
48
44
78
49
50
79
49
42
80
50
40
81
O
18
82
O
21
83
O
26
《数学建模》选题
（二）
第一题：
水灾评估问题
给定某地区的水灾灾度标准分级的选取如下表：
等级
巨灾（Ⅰ）
大灾（Ⅱ）
中灾（Ⅲ）
小灾（Ⅳ）
农田受灾面积/（104km2）
≥200
200~100
100~50
≤50
受灾人口/（104人）
≥2000
2000~1000
1000~500
≤500
死亡人口/（人）
≥1500
1500~1000
1000~500
≤500
直接经济损失/（104元）
≥105
105~5*104
5*104~104
≤104
现有此地区某3年的受灾损失情况如下表：
1959
1982
1994
农田受灾面积/（104km2）
205
60
149
受灾人口/（104人）
1235
155
1726
死亡人口/（人）
1640
15
180
直接经济损失/（104元）
128529
7307
749386
1、给出水灾灾害损失评估的具体模型
2、按模型给出给定年份的灾害损失的具体评估步骤和实施过程：
（1）如何给定出评价因素的权重。
（2）评价因素的评价程度如何定量描述（隶属函数如何确定）。
（3）如何确定评价矩阵。
3、定出年分的灾害等级。
第二题
随着全国各高校招生规模的扩大，学生综合素质出现参差不齐的现象，为了确保大学生质量，更好的促进大学生教育的发展，构建一套科学合理的大学生综合素质评价体系已成为亟待解决的现实课题，请你建立一个合理可行的综合素质评价模型，并给出对某位学生的评价实例。
（下面是一个参考实例）
聘请20位长期从事学位与大学生培养工作的专家对某一位学生的政治素质、文化素质、创造素质和身心素质这四个考核项目进行评分，如下表
考核项目
考核指标
测评等级统计
优秀
良好
合格
不合格
总计
政治素质
学习态度
8
5
4
3
20
道德品质
12
3
2
3
20
集体观念
8
8
2
2
20
遵纪守法
9
5
2
4
20
创造素质
社会活动能力
10
4
4
2
20
创新能力
9
5
3
3
20
组织协调能力
11
2
3
4
20
身心素质
心理素质
15
2
2
1
20
身体素质
12
5
2
1
20
学习意识
10
5
3
2
20
文化素质
基础
课
外语
82
数学（3门）
90
平均成绩
政治（3门）
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