《2631二次函数问题的实际应用》同步练习含答案解析.docx

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《2631二次函数问题的实际应用》同步练习含答案解析

26.3　第1课时　二次函数问题的实际应用

知识点1　二次函数与运动路线问题

1.小斌在今年的学校秋季运动会跳远比赛中跳出了满意的一跳，如图26－3－1，函数h＝3.5t－4.9t2（t的单位：

s，h的单位：

m）可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化情况，则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是（　　）

图26－3－1

A．0.71sB．0.70s

C．0.63sD．0.36s

2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：

m）与水流运动时间t（单位：

s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是（　　）

A．6sB．4sC．3sD．2s

知识点2　二次函数与拱桥问题

3．2018·绵阳如图26－3－2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加________m.

图26－3－2

4．如图26－3－3所示，一座大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．

图26－3－3

知识点3　二次函数与商品销售问题

5．某商店经营儿童玩具，已知所获利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝－x2＋24x＋2956，则获利最多为（　　）

A．3144元B．3100元

C．144元D．2956元

6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（　　）

A．5元B．10元

C．0元D．3600元

7．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价格x（元）满足一次函数关系，其图象如图26－3－4所示，则该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之间的函数关系式为____________．

图26－3－4

8．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：

m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：

s）之间的关系如下表：

t

0

1

2

3

4

5

6

7

…

h

0

8

14

18

20

20

18

14

…

下列结论：

①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝

；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

9．2017·文登区期中某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图26－3－5），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（　　）

图26－3－5

A．50mB．100m

C．160mD．200m

10．2017·鞍山某网络经销商销售一款夏季时装，进价为每件60元，售价为每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该时装单价每降低1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

11．2018·眉山传统节日——端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：

y＝

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图26－3－6，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元（利润＝出厂价－成本）．

图26－3－6

12．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图26－3－7（示意图），已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G.建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：

米）与水平距离x（单位：

米）之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；

（2）在

（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，则这次她是否可以拦网成功？

请通过计算说明；

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，则排球飞行的最大高度h（单位：

米）的取值范围是多少（排球压线不算出界）?

图26－3－7

详解详析

1．D

2．A　[解析]当水流回落到地面时高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得5t2－30t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间是6s．故选A.

3．（4

－4）　[解析]如图，建立平面直角坐标系，设x轴通过AB，y轴通过AB的中点O且通过点C，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB均可求出，为AB的一半2m，抛物线顶点C的坐标为（0，2）．

通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，代入A点坐标（－2，0），得到a＝－0.5，所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋2，

当水面下降2m，水面的宽度可转化为：

当y＝－2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝－2与抛物线相交的两点之间的距离．

把y＝－2代入抛物线的表达式，得

－2＝－0.5x2＋2，解得x＝±2

，所以水面宽度增加到4

m，则比原先的宽度增加了（4

－4）m.

4．36　[解析]因为抛物线是轴对称图形，由题意知抛物线的对称轴为直线x＝18.又当x＝0时，y＝0，所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．

5．B

6．A　[解析]设每件需降价x元，每天获利y元，

则y＝（135－x－100）（100＋4x），

即y＝－4（x－5）2＋3600.∵－4＜0，

∴当x＝5时，每天获得的利润最大．故选A.

7．y＝－x2＋150x－5000

8．B　[解析]由题意，抛物线的表达式为y＝at（t－9），把（1，8）代入可得a＝－1，

∴y＝－t2＋9t＝－（t－4.5）2＋20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误；

抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确．

∵当t＝9时，y＝0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确．

∵t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．

∴正确的有②③.

故选B.

9．C　[解析]建立如图所示的直角坐标系，则点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，0.5），点D的坐标为（0.2，0），点F的坐标为（0.6，0）．

设抛物线的表达式为y＝a（x－1）（x＋1），把C（0，0.5）代入得a＝－0.5，

所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋0.5.

当x＝0.2时，y＝－0.5×0.22＋0.5＝0.48，

当x＝0.6时，y＝－0.5×0.62＋0.5＝0.32，

所以DE＝0.48，FP＝0.32，

所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度＝2（DE＋FP）＝2×（0.48＋0.32）＝1.6（m），

所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度＝100×1.6＝160（m）．

故选C.

10．解：

（1）y＝5x＋30（1≤x≤30且x为整数）．

（2）根据题意，得（130－x－60－4）（5x＋30）＝6300，

即x2－60x＋864＝0，

解得x＝24或x＝36（舍去），

∴在这30天内，第24天的利润是6300元．

（3）根据题意，得w＝（130－x－60－4）（5x＋30）＝－5x2＋300x＋1980＝－5（x－30）2＋6480（1≤x≤30且x为整数）．

∵a＝－5＜0，

∴函数有最大值，

∴当x＝30时，w有最大值为6480，

∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．

11．解：

（1）∵34×6＝204＜280，∴李明用的天数超过6天．

由题意可知20x＋80＝280，

解得x＝10.

答：

李明第10天生产的粽子数量为280只．

（2）由图象，得当0≤x≤10时，p＝2；

当10＜x≤20时，设p＝kx＋b，

把（10，2），（20，3）代入，得

解得

∴p＝0.1x＋1.

①当0≤x≤6时，w＝（4－2）×34x＝68x，当x＝6时，w最大＝408；

②当6＜x≤10时，w＝（4－2）×（20x＋80）＝40x＋160，当x＝10时，w最大＝560；

③当10＜x≤20时，w＝（4－0.1x－1）×（20x＋80）＝－2x2＋52x＋240，

∵a＝－2＜0，

∴当x＝－

＝13时，w最大＝578.

综上，当x＝13时，w有最大值，最大值为578，即第13天的利润最大，最大利润是578元．

12．解：

（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2），

设抛物线的关系式为y＝a（x－7）2＋3.2,

将点C（0，1.8）的坐标代入，得49a＋3.2＝1.8，

解得a＝－

，

∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y＝－

（x－7）2＋

.

（2）由题意当x＝9.5时，y＝－

×（9.5－7）2＋

≈3.02＜3.1，

故这次她可以拦网成功．

（3）设抛物线的关系式为y＝a（x－7）2＋h，

将点C（0，1.8）的坐标代入，得49a＋h＝1.8，即a＝

，

∴此时抛物线的关系式为y＝

（x－7）2＋h.

根据题意，得

解得h≥3.025,

故排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.