人教版数学八年级上册14 整式的乘法与因式分解专题练习附答案.docx
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人教版数学八年级上册14整式的乘法与因式分解专题练习附答案
第十四章《整式的乘法与因式分解》专题练习
专题1 幂的运算性质的应用.................1
专题2 整式的运算及化简求值...............2
专题3 完全平方公式的变形.................4
专题4 乘法公式的应用.....................5
专题5 因式分解...........................6
第十四章整式的乘法与因式分解
专题练习
专题1 幂的运算性质的应用
类型1 直接利用幂的运算性质进行计算
1．计算：
（1）a·a4＝；
（2）（a5）2＝；（3）（－a4）3＝；
（4）（2y2）3＝；（5）（ab3）2＝；（6）（－a2b3c）3＝；
（7）（a2）3·a4＝；（8）（－3a）2·a3＝；（9）（anbm＋4）3＝；
（10）（－am）5·an＝．
2．计算：
（1）（－a2）3＋（－a3）2－a2·a3；
（2）a·a2·a3＋（a3）2－（2a2）3；
（3）－（－x2）3·（－x2）2－x·（－x3）3；（4）（－2x2）3＋（－3x3）2＋（x2）2·x2；
（5）（－2x2y）3－（－2x3y）2＋6x6y3＋2x6y2.
类型2 逆用幂的运算性质
3．已知ax＝－2，ay＝3.求：
（1）ax＋y的值；
（2）a3x的值；（3）a3x＋2y的值．
4．计算：
0.1252019×（－82020）．
5．已知2a＝m，2b＝n，3a＝p（a，b都是正整数），用含m，n或p的式子表示下列各式：
（1）4a＋b；
（2）6a.
专题2 整式的运算及化简求值
类型1 整式的化简
1．计算：
（1）（－2a2）·（3ab2－5ab3）＋8a3b2；
（2）（3x－1）（2x＋1）；
（3）（2x＋5y）（3x－2y）－2x（x－3y）；（4）（x－1）（x2＋x＋1）．
2．计算：
（1）21x2y4÷3x2y3；
（2）（8x3y3z）÷（－2xy2）；
（3）a2n＋2b3c÷2anb2；（4）－9x6÷
x2÷（－x2）．
3．计算：
（1）（－2a2b3）·（－ab）2÷4a3b5；
（2）（－5a2b4c2）2÷（－ab2c）3.
4．计算：
（1）[x（x2y2－xy）－y（x2－x3y）]÷x2y；
（2）（
a4b7－
a2b6）÷（－
ab3）2.
5．计算：
（1）（－
a3b）·
abc；
（2）（－x）5÷（－x）－2÷（－x）3；
（3）6mn2·（2－
mn4）＋（－
mn3）2；（4）5x（x2＋2x＋1）－（2x＋3）（x－5）．
类型2 直接代入进行化简求值
6．先化简，再求值：
（1）（1＋x）（1－x）＋x（x＋2）－1，其中x＝
；
（2）（a＋b）（a－2b）－（a＋2b）（a－b），其中a＝－2，b＝
；
（3）（x＋7）（x－6）－（x－2）（x＋1），其中x＝20180.
（4）（2a＋3b）（3a－2b）－5a（b＋1）－6a2，其中a＝－
，b＝2.
类型3 利用整体带入进行化简求值
7．先化简，再求值：
（2＋a）（2－a）＋a（a－5b）＋3a5b3÷（－a2b）2，其中ab＝－
.
8．若x2＋4x－4＝0，求3（x－1）（x－3）－6（x＋1）（x－1）的值．
专题3 完全平方公式的变形
教材母题：
已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：
∵a＋b＝5，ab＝3，
∴（a＋b）2＝25，即a2＋2ab＋b2＝25.
∴a2＋b2＝25－2ab＝25－6＝19.
【变式1】若a＋b＝3，a2＋b2＝7，则ab＝（）
A．2B．1C．－2D．－1
【变式2】已知实数a，b满足a＋b＝2，ab＝
，则a－b＝（）
A．1B．－
C．±1D．±
【变式3】已知a2＋b2＝13，（a－b）2＝1，则（a＋b）2＝．
【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab＋b2，通过配方可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝（a＋b）2－2ab或a2＋b2＝（a－b）2＋2ab.
（1）若|x－y－5|＋（xy－6）2＝0，则x2＋y2的值为；
（2）已知a－b＝2，ab＝3，求a4＋b4的值．
解题技巧：
（1）a2＋b2的变形：
（1）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；
（2）a2＋b2＝（a－b）2＋2ab；
（3）a2＋b2＝
[（a＋b）2＋（a－b）2]．
（2）ab的变形：
（1）ab＝
[（a＋b）2－（a2＋b2）]；
（2）ab＝
[（a2＋b2）－（a－b）2]；
（3）ab＝
[（a＋b）2－（a－b）2]．
（3）（a±b）2的变形：
（1）（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab；
（2）（a－b）2＝（a＋b）2－4ab.
练习：
1．已知a，b都是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b＝（）
A．－3B．3C．±3D．9
2．已知x2＋y2＝25，x＋y＝7.
（1）求xy的值；
（2）若y＞x，求x－y的值．
3．已知（m－53）（m－47）＝24，求（m－53）2＋（m－47）2的值．
4．
（1）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式；
（2）根据
（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①若m＋n＝8，mn＝12，求m－n的值；
②已知（2m＋n）2＝13，（2m－n）2＝5，请利用上述等式求mn.
专题4 乘法公式的应用
类型1 直接运用乘法公式计算求值
1．计算：
（1）（2x＋5y）2；
（2）（3m－n）（－3m－n）；
（3）（x＋2y）（x2－4y2）（x－2y）；（4）（3x－2y）2（3x＋2y）2.
2．先化简，再求值：
（1）（3＋x）（3－x）＋（x＋1）2，其中x＝2；
（2）（2m＋1）（2m－1）－（m－1）2＋（2m）3÷（－8m），其中m满足m2＋m－2＝0；
（3）（x＋2y）2－（x－2y）2－（x＋2y）（x－2y）－4y2，其中x＝－2，y＝
.
类型2 运用乘法公式进行简便计算
3．用简便方法计算：
（1）20192－2018×2020；
（2）50
×49
；
（3）2012－401；（4）（2＋1）（22＋1）（24＋1）＋1.
专题5 因式分解
类型1 运用提公因式法因式分解
1．分解因式：
（1）3ab2＋a2b＝；
（2）2a2－4a＝；
（3）m（5－m）＋2（m－5）＝；
（4）5x（x－2y）3－20y（2y－x）3＝．
类型2 运用公式法因式分解
2．分解因式：
（1）4x2－25＝；
（2）a2＋4a＋4＝．
3．因式分解：
（1）（2x＋3）2－（x－1）2；
（2）（x－1）2－6（x－1）＋9.
类型3 先提公因式后运用公式法因式分解
4．分解因式：
（1）x2y－9y＝；
（2）ax3－axy2＝．
5．因式分解：
（1）－4x3＋8x2－4x；
（2）3m（2x－y）2－3mn2.
类型5 运用特殊方法因式分解
方法1 十字相乘法
阅读理解：
由多项式乘法：
（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），示例：
分解因式：
x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）．
问题解决：
分解因式：
（1）x2＋5x＋4＝；
（2）x2－6x＋8＝；
（3）x2＋2x－3＝；
（4）x2－6x－7＝．
拓展训练：
分解因式：
（1）2x2＋3x＋1＝；
（2）3x2－5x＋2＝．
方法2 分组分解法
【阅读材料】 分解因式：
mx＋nx＋my＋ny＝（mx＋nx）＋（my＋ny）＝x（m＋n）＋y（m＋n）＝（m＋n）（x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”．
根据以上阅读材料解决问题：
【跟着学】 分解因式：
a3－b3＋a2b－ab2＝（a3＋）－（b3＋）
＝a2（）－（a＋b）
＝（a＋b）
＝．
【我也可以】 分解因式：
4x2－2x－y2－y.
拓展训练：
已知a，b，c为△ABC的三边，若a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，试判断△ABC的形状．
参考答案：
专题1 幂的运算性质的应用
1．
（1）a5；
（2）a10；（3）－a12；（4）8y6；（5）a2b6；（6）－a6b9c3；（7）a10；
（8）9a5；（9）a3nb3m＋12；（10）－a5m＋n．
2．
（1）（－a2）3＋（－a3）2－a2·a3；
解：
原式＝－a6＋a6－a5＝－a5.
（2）a·a2·a3＋（a3）2－（2a2）3；
解：
原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.
（3）－（－x2）3·（－x2）2－x·（－x3）3；
解：
原式＝x6·x4＋x10
＝2x10.
（4）（－2x2）3＋（－3x3）2＋（x2）2·x2；
解：
原式＝－8x6＋9x6＋x6
＝2x6.
（5）（－2x2y）3－（－2x3y）2＋6x6y3＋2x6y2.
解：
原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2
＝－2x6y3－2x6y2.
3．解：
（1）ax＋y＝ax·ay＝－2×3＝－6.
（2）a3x＝（ax）3＝（－2）3＝－8.
（3）a3x＋2y＝（a3x）·（a2y）
＝（ax）3·（ay）2
＝（－2）3·32
＝－8×9
＝－72.
4．解：
原式＝（
）2019×（－82019×8）
＝（
）2019×（－82019）×8
＝－（
×8）2019×8
＝－1×8
＝－8.
5．解：
（1）4a＋b＝4a·4b
＝（22）a·（22）b
＝（2a）2·（2b）2
＝m2n2.
（2）6a＝（2×3）a
＝2a×3a
＝mp.
专题2 整式的运算及化简求值
1．
（1）（－2a2）·（3ab2－5ab3）＋8a3b2；
解：
原式＝－6a3b2＋10a3b3＋8a3b2
＝2a3b2＋10a3b3.
（2）（3x－1）（2x＋1）；
解：
原式＝6x2＋3x－2x－1
＝6x2＋x－1.
（3）（2x＋5y）（3x－2y）－2x（x－3y）；
解：
原式＝6x2＋11xy－10y2－2x2＋6xy
＝4x2＋17xy－10y2.
（4）（x－1）（x2＋x＋1）．
解：
原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1
＝x3－1.
2．
（1）21x2y4÷3x2y3；
解：
原式＝（21÷3）·x2－2·y4－3
＝7y.
（2）（8x3y3z）÷（－2xy2）；
解：
原式＝[8÷（－2）]·（x3÷x）·（y3÷y2）·z
＝－4x2yz.
（3）a2n＋2b3c÷2anb2；
解：
原式＝（1÷2）·（a2n＋2÷an）·（b3÷b2）·c
＝
an＋2bc.
（4）－9x6÷
x2÷（－x2）．
解：
原式＝[－9÷
÷（－1）]·（x6÷x2÷x2）
＝27x2.
3．
（1）（－2a2b3）·（－ab）2÷4a3b5；
解：
原式＝（－2a2b3）·a2b2÷4a3b5
＝（－2a4b5）÷4a3b5
＝－
a.
（2）（－5a2b4c2）2÷（－ab2c）3.
解：
原式＝25a4b8c4÷（－a3b6c3）
＝－25ab2c.
4．
（1）[x（x2y2－xy）－y（x2－x3y）]÷x2y；
解：
原式＝（x3y2－x2y－x2y＋x3y2）÷x2y
＝（2x3y2－2x2y）÷x2y
＝2xy－2.
（2）（
a4b7－
a2b6）÷（－
ab3）2.
解：
原式＝（
a4b7－
a2b6）÷
a2b6
＝
a4b7÷
a2b6－
a2b6÷
a2b6
＝24a2b－4.
5．
（1）（－
a3b）·
abc；
解：
原式＝－
a3＋1b1＋1c
＝－
a4b2c.
（2）（－x）5÷（－x）－2÷（－x）3；
解：
原式＝（－x）5－（－2）－3
＝（－x）4
＝x4.
（3）6mn2·（2－
mn4）＋（－
mn3）2；
解：
原式＝12mn2－2m2n6＋
m2n6
＝12mn2－
m2n6.
（4）5x（x2＋2x＋1）－（2x＋3）（x－5）．
解：
原式＝5x3＋10x2＋5x－（2x2－7x－15）
＝5x3＋10x2＋5x－2x2＋7x＋15
＝5x3＋8x2＋12x＋15.
6．
（1）（1＋x）（1－x）＋x（x＋2）－1，其中x＝
；
解：
原式＝1－x＋x－x2＋x2＋2x－1＝2x.
当x＝
时，原式＝2×
＝1.
（2）（a＋b）（a－2b）－（a＋2b）（a－b），其中a＝－2，b＝
；
解：
原式＝a2－ab－2b2－（a2＋ab－2b2）
＝a2－ab－2b2－a2－ab＋2b2
＝－2ab.
当a＝－2，b＝
时，
原式＝（－2）×（－2）×
＝
.
（3）（x＋7）（x－6）－（x－2）（x＋1），其中x＝20180.
解：
原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40.
由题意知x＝1.
原式＝2－40＝－38.
（4）（2a＋3b）（3a－2b）－5a（b＋1）－6a2，其中a＝－
，b＝2.
解：
原式＝6a2＋5ab－6b2－5ab－5a－6a2
＝－6b2－5a.
当a＝－
，b＝2时，
原式＝－6×22－5×（－
）
＝－24＋
＝－21
.
7．解：
原式＝4－2a＋2a－a2＋a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝4－2ab.
当ab＝－
时，原式＝4－2×（－
）＝5.
8．解：
原式＝3x2－12x＋9－6x2＋6
＝－3x2－12x＋15
＝－3（x2＋4x）＋15.
∵x2＋4x－4＝0，∴x2＋4x＝4.
∴原式＝－3×4＋15＝3.
专题3 完全平方公式的变形
【变式1】 B
【变式2】 C
【变式3】25．
【变式4】
（1）37；
（2）解：
a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝4＋6＝10，
a4＋b4＝（a2＋b2）2－2a2b2＝102－2×32＝82.
1．B
2．解：
（1）xy＝
[（x＋y）2－（x2＋y2）]
＝
×（72－25）
＝12.
（2）（x－y）2＝（x＋y）2－4xy
＝72－4×12
＝1.
∵y＞x，∴x－y<0.
∴x－y＝－1.
3．解：
（m－53）2＋（m－47）2
＝[（m－53）－（m－47）]2＋2（m－53）（m－47）
＝（－6）2＋48
＝84.
4．解：
（1）（a＋b）2－（a－b）2＝4ab.
（2）①∵（m－n）2＝（m＋n）2－4mn
＝82－4×12
＝16，
∴m－n＝4或－4.
②∵（2m＋n）2－（2m－n）2＝4×（2m·n）＝8mn，
∴8mn＝13－5＝8.
∴mn＝1.
专题4 乘法公式的应用
1．
（1）（2x＋5y）2；
解：
原式＝4x2＋20xy＋25y2.
（2）（3m－n）（－3m－n）；
解：
原式＝n2－9m2.
（3）（x＋2y）（x2－4y2）（x－2y）；
解：
原式＝[（x＋2y）（x－2y）]（x2－4y2）
＝（x2－4y2）（x2－4y2）
＝x4－8x2y2＋16y4.
（4）（3x－2y）2（3x＋2y）2.
解：
原式＝[（3x－2y）（3x＋2y）]2
＝（9x2－4y2）2
＝81x4－72x2y2＋16y4.
2．
（1）（3＋x）（3－x）＋（x＋1）2，其中x＝2；
解：
原式＝9－x2＋x2＋2x＋1
＝2x＋10.
当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.
（2）（2m＋1）（2m－1）－（m－1）2＋（2m）3÷（－8m），其中m满足m2＋m－2＝0；
解：
原式＝4m2－1－（m2－2m＋1）＋8m3÷（－8m）
＝4m2－1－m2＋2m－1－m2
＝2m2＋2m－2
＝2（m2＋m－1）．
∵m2＋m－2＝0，
∴m2＋m＝2.
∴原式＝2×（2－1）＝2.
（3）（x＋2y）2－（x－2y）2－（x＋2y）（x－2y）－4y2，其中x＝－2，y＝
.
解：
原式＝（x2＋4xy＋4y2）－（x2－4xy＋4y2）－（x2－4y2）－4y2
＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2
＝－x2＋8xy.
当x＝－2，y＝
时，
原式＝－（－2）2＋8×（－2）×
＝－12.
3．
（1）20192－2018×2020；
解：
原式＝20192－（2019－1）×（2019＋1）
＝20192－（20192－1）
＝1.
（2）50
×49
；
解：
原式＝（50＋
）×（50－
）
＝502－（
）2
＝2500－
＝2499
.
（3）2012－401；
解：
原式＝（200＋1）2－401
＝2002＋2×200×1＋12－401
＝40000.
（4）（2＋1）（22＋1）（24＋1）＋1.
解：
原式＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）＋1
＝（24－1）（24＋1）＋1
＝28－1＋1
＝256.
专题5 因式分解
1．
（1）ab（3b＋a）；
（2）2a（a－2）；
（3）（m－2）（5－m）；
（4）5（x－2y）3（x＋4y）．
2．分解因式：
（1）4x2－25＝（2x＋5）（2x－5）；
（2）a2＋4a＋4＝（a＋2）2．
3．
（1）（2x＋3）2－（x－1）2；
解：
原式＝（2x＋3＋x－1）（2x＋3－x＋1）
＝（3x＋2）（x＋4）．
（2）（x－1）2－6（x－1）＋9.
解：
原式＝（x－4）2.
4．
（1）y（x＋3）（x－3）；
（2）ax（x＋y）（x－y）．
5．
（1）－4x3＋8x2－4x；
解：
原式＝－4x（x2－2x＋1）
＝－4x（x－1）2.
（2）3m（2x－y）2－3mn2.
解：
原式＝3m（2x－y＋n）（2x－y－n）．
类型5
方法1 十字相乘法
（1）（x＋1）（x＋4）；
（2）（x－2）（x－4）；
（3）（x＋3）（x－1）；
（4）（x－7）（x＋1）．
拓展训练：
（1）（2x＋1）（x＋1）；
（2）（x－1）（3x－2）．
方法2 分组分解法
【跟着学】 a3－b3＋a2b－ab2＝（a3＋a2b）－（b3＋ab2）
＝a2（a＋b）－b2（a＋b）
＝（a2－b2）（a＋b）
＝（a－b）（a＋b）2．
【我也可以】解：
原式＝（4x2－y2）－（2x＋y）
＝（2x－y）（2x＋y）－（2x＋y）
＝（2x＋y）（2x－y－1）．
拓展训练：
解：
∵a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，
∴a2＋c2－2ac＋b2＋c2－2bc＝0，
即（a－c）2＋（b－c）2＝0.
∴a－c＝0且b－c＝0，即a＝c且b＝c.
∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
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