课堂教学实录.docx

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课堂教学实录

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组合

（一）

 ●教学目标

（一）知识目标

　　1．正确理解组合与组合数的意义．

　　2．明确组合与排列的区别与联系．

　　3．理解组合数公式，并能够应用组合数公式解决一些简单的问题．

（二）能力训练目标

针对本节内容，要求学生通过实例用类比的方法探求出组合与组合数的概念，进而找到它们的区别，为进一步推导组合数公式作好铺垫．

　　在组合数公式的推导过程中，启发学生从排列与组合的联系中找到推导公式的突破口．引导学生掌握由特殊到一般的研究方法，增强学生的探究能力与发现能力．

（三）情感渗透目标

　　通过组合与组合数概念的引入与组合数公式的推导过程，向学生渗透用联系的观点看问题，培养学生观察、分析、探求、协作的学习热情，提高学生学习知识的兴趣．

 ●教学重点

　　组合与组合数公式．

 ●教学难点

　　组合数公式的推导．

　●教学方法

问题与发现教学。

 　●教具准备

　　计算机辅助教学

教学过程：

一前置补偿

师：

上一节课我们研究了“排列”，今天我们学习与排列有密切关系的新知识——组合（教师板书：

组合）。

师：

我们古代的伟大思想家孔子曾说过：

“温故而知新，可以为师矣。

”首先我们复习一下排列的基础知识，让我们从熟悉的知识中去探索、领悟、发现新的问题。

评：

由排列与组合的关系引入课题，给用联系的观点探索新知识做好了铺垫；引入孔子的名言，目的让学生汲取一点传统文化精神，潜移默化地对学生进行祖国优秀文化教育。

屏幕展示：

复习1什么叫做排列？

师：

请一位同学说出排列的概念是怎样描述的？

生1：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

师：

对，排列的定义不但告诉了你什么是排列，还告诉了你，完成“一个排列”的“步骤”，请大家思考，定义中“步骤”是什么？

学生思考片刻后回答。

生2：

一是“选取元素”；二是“再把取出元素按一定顺序排列”．

师：

回答得很好，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题

是不是排列问题的重要标志．也可以说成：

一是“选取元素”；二是“排位置”．（教师板书）

屏幕展示：

复习2什么叫排列数？

师：

请一位同学说出排列数的概念是怎样描述的？

生3答（略）

师：

生3回答得正确，再看复习3：

屏幕展示：

复习3排列数的计算公式是怎样的？

即

0!

=？

师：

请一位同学再说出排列数公式？

生4答，师点评与板书排列数公式。

评：

这三个复习的问题，是学习新概念、推出新公式必不可少的预备知识。

通过提问，为学生顺利探索出新知识做好了有效的前置补偿。

二概念探索

师：

为了探索新知识，我们一起来研究问题1.

屏幕展示：

问题1讨论下列两个问题，并概括①②两题对选取元素要求的主要区别？

①从不在同一条直线上的三点A、B、C中，每次取出两个点

作一条射线，问可以得到几条不同的射线？

②从不在同一条直线上的三点A、B、C中，每次取出两个点

----排列问题；

----组合问题；

问题2：

根据排列的定义，运用类比的方法给出组合的定义.

问题1：

概括上述题目①②两题对选取元素要求的主要区别？

①有序：

取出后再排位置（按顺序排列）

②无序：

取出并成一组（无顺序）

作一条直线，问可以得到几条不同的直线？

教师深入学生中和学生一起讨论。

师：

请哪一位同学回答这个问题？

生5：

师：

区别呢？

生5：

区别：

①要求有序；②要求无序。

师:

很好！

①有序即取出后再排位置——是什么问题？

生异口同声：

排列问题；

师：

对，②无序即取出并成一组（无顺序）。

屏幕展示：

：

要求有序——排列问题

要求无序——？

师：

②是什么问题呢，它就是今天将要学习的组合问题，请大家讨论问题2.

屏幕展示：

问题2根据排列的定义，运用类比的方法给出组合的定义.

教师深入学生中和学生一起讨论。

师：

请一位同学回答这个问题，怎样用语言叙述组合的定义呢？

生6：

从n个不同元素中，任意取出m个元素，不排顺序，叫做组合。

师：

大家同意这位同学的叙述吗？

生（部分）：

同意！

师：

这位同学回答得不错，对组合的意义答得很正确，能不能使语言叙述得再准确一点，哪一位同学来补充一下？

生7：

从n个不同元素中，任意取出m个元素并成一组叫做组合。

师：

再严密一点。

生7：

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

师：

很好！

通过同学们的互相协作，我们得出了组合的定义，下面我们看课本上是怎样叙述的。

屏幕展示：

从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

师：

注意，这里条件m≤n是必不可少的。

下面我们再通过具体实例，理解这个概念。

三深化理解

例1从4个不同元素a,b,c,d中取出2个元素的组合与排列各是什么？

生7口述，师板书：

解组合：

ab;ac;ad;bc;bd;cd;

排列：

ab,ba;ac,ca;ad,da;bc,cb;bd,db;cd,dc.

师：

生7回答得不但正确，而且条理清楚，生7很聪明。

接下来请大家讨论问题3.

屏幕展示：

问题3：

由排列、组合的定义与例1思考，排列与组合的区别与联系各是什么？

教师深入学生中和学生一起讨论。

师：

请一位同学回答这个问题？

生8：

排列的元素有顺序，而组合的元素无顺序；

师：

回答得很好！

这是排列与组合的区别，它们的联系呢？

生8：

排列包含组合。

师：

对，怎么“包含”的呢？

生8不知怎么回答。

师：

哪一位同学帮助一下生8，解释“包含”的意义？

生9：

完成一个排列的第一步，取出的元素并成一组就是组合问题。

师：

大家赞成这两位同学的意见吗？

生异口同声：

赞成！

师：

这两位同学总结得很好，他们解决了今天这节课的关键问题。

由同学们的总结，我又想到了宋朝爱国诗人辛弃疾一句诗：

“众里寻他千XX，蓦然回首，组合却在，排列处。

”（学生跟着朗诵、兴高采烈）下面我们总结一下这两位同学探索的结果。

评：

数学一面是枯燥的，另一面是很有趣的。

如何让枯燥的数学在课堂上变得有趣一点，可让优美的诗词进入课堂，让诗的意境与数学的意义融在一起，会出现意想不到的教学效果与课堂气氛。

师板书：

①排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．②完成从n个不同元素中任意取出m（m≤n）个元素的一个排列的两个步骤：

第一步取出m个元素，是组合问题；第二步对取出的元素全排列．

师：

为了巩固这个概念，请同学们做下面练习。

练习1课本第22页A组第1，2题；

找四位学生到黑板板书，最后教师点评，答案略。

四乘胜追击

师：

上一节当我们学习排列时，学习了排列的定义之后，紧接着学习了排列数的定义。

我们现在学习了组合的定义，按着知识的发展,下面应该学习什么呢？

生异口同声：

组合数。

师：

对，请大家看问题4.

屏幕展示：

问题4根据排列数的定义，运用类比的方法给出组合数的定义.

师：

请一位同学回答这个问题，谁来回答？

学生纷纷举手。

因为此问题，由类比得出，比较简单，找了一位学习下游同学回答。

生10：

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．

师：

你回答得非常完美，与课本定义基本相同（老师由衷的赞美）。

屏幕展示：

从n个不同元素中任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．

师：

大家想一想，今天学习的组合与组合数概念，老师并没有告诉你们，同学们能探讨出来并且叙述得这样好，你们是怎样探索的呢？

生异口同声：

是用了类比的方法。

师：

回答得很好，类比是伟大的引路人，掌握数学的思维方法比记住概念更重要。

评：

“授人以鱼，不如授人以渔”，引导学生有意识地总结学习方法，掌握学习方法

师：

组合数记作

。

如例1中①，组合数怎样记作呢？

等于什么？

请一位同学回答。

生11：

师：

例1中②，排列数呢？

生11：

师：

回答得很好！

请大家深入思考问题5。

屏幕展示：

问题5如何探索组合数公式呢？

学生沉默。

为了提高学生思考的积极性，又

屏幕展示：

大海航行靠舵手，谁能指引我们向前走？

由于该问题是方向性问题，有一定难度，学生还是茫然，不知所措，需要教师再次启发。

师：

大家还记得“数学家烧水”的故事吗？

一句话激起了学生思维的浪花，学生思维活跃，跃跃欲试，争先恐后的回答。

评：

教学艺术不在于传授知识，而在于激励、唤醒、鼓舞。

生12：

我想需要找组合数与排列数公式的联系，把未知的问题转化为已知问题来解决。

师：

怎样找它们之间的联系呢？

生12：

一般问题特殊化，必有所发现。

我们通过特殊化归纳出它们的一般规律。

评：

数学的极致就是哲学，这位同学能用哲学的观点回答数学问题，是难能可贵的，也是数学教育所希望的的最高境界与素质教育的要求。

师：

这位同学回答得非常漂亮，她给我们解决这个问题指明了方向，有大师级思想方法。

按着这位同学的指引，我们先从刚才具体的例子——例1中去探索。

请大家讨论问题6.

教师给予恰当而高度的赞扬与鼓励，使这位同学神采飞扬，激发起了她探索数学和学好数学的决心和信心。

屏幕展示：

问题6观察出

有什么关系？

从我们总结的组合与排列之间的联系解释这种关系？

教师与学生讨论略。

师：

同学们讨论得很热烈，互相启发、帮助，都有收获，很好。

哪一位同学回答这个问题？

生13：

的关系是

师：

你从组合与排列之间的联系如何解释这种关系？

生13：

……

生13沉默，不知怎样回答。

师:

等式

中2,是怎样来的呢?

生13:

啊,明白了.从四个元素中取出两个元素进行排列,首先取出两个元素并成一组有

种方法,再对这两个元素全排列，排列数是2.

师:

也就是

非常好，为什么相乘？

（指

）根据是什么？

.

生13:

根据分步乘法计数原理。

师：

这位同学回答得非常正确，下面我们把这位同学的说理过程，整理如下：

屏幕展示：

从4个不同元素中取出2个元素的排列数，可以分为以下步骤：

第一步选取元素，从四个不同元素中任取2个元素的组合共有

种方法；

第二步排位置，选出的2个不同元素的全排列，有

种方法；

根据分步乘法计数原理，得

师：

下面我们再从具体到抽象，探讨一般性问题。

下面我们讨论问题7。

屏幕展示：

问题7你通过等式

是否受到启发，能不能从组合与排列的联系中,再寻出

的关系？

师：

请一位同学回答这个问题，谁来回答这个问题呢？

生14：

。

师：

如何从我们总结的组合与排列之间的联系解释这种关系？

生14：

从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：

第一步选取元素，从n个不同元素中任取m个元素的组合共有

种方法；

第二步排位置，选出的m个不同元素的全排列，有

种方法；

根据分步乘法计数原理，得：

。

评：

从具体到抽象符合学生的认知规律，一旦解决了具体问题，一般化问题的解决就顺其自然了。

师：

生14回答得很好，非常完美，她所叙述的能够与课本一致，让老师也自叹不如啊。

下面我们把这位同学的叙述，在屏幕上展示一下。

屏幕展示略。

师：

如果知道

，如何求

呢？

生异口同声：

师：

再根据排列数公式，

还能等于什么呢？

生15：

等于

师：

对，这里

是正整数，且

，这个公式叫做组合数公式．

板书：

①

这里

是正整数，且

，这个公式叫做组合数公式．

进一步和学生讨论出下列公式并板书在黑板上：

②

特例：

五巩固提高

师：

为了巩固公式，下面我们计算两个问题。

屏幕展示：

师：

请大家考虑，计算这两个问题，利用哪个公式较简便呢？

生16：

公式①简便。

师：

对，请你口述一下计算过程。

以下生16口述，教师板书。

解

=252-1=250.

师：

这位同学公式应用得很好。

计算题一般用公式①，公式②适用于含有字母式子或证明。

下面大家做练习。

练习2：

课本第22页A组第3题

（1），

（2）；

找两位同学到黑板板书，最后教师点评。

六归纳小结

师：

这节课将要结束了，请大家总结一下今天学习的内容。

屏幕展示：

我们学习了什么？

你有什么收获或体会？

教师与学生总结如下：

1.数学思想方法：

类比与转化；

2.数学知识：

①两个概念：

组合与组合数；

②两个公式。

评：

学生的小结与收获不一定很完整、全面，一人一点，互相补充。

即使有错误，教师也不要急于纠正，最好引导学生自己发现、纠正。

教师的总结应是激励性的，引导学生注意学法。