优秀毕设常微分方程初值问题的数值解法.docx

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优秀毕设常微分方程初值问题的数值解法

毕业设计（论文）

常微分方程初值问题的数值解法

院别

数学与统计学院

专业名称

数学与应用数学

班级学号

7060101

学生姓名

王某某

指导教师

王晓敏

2010年06月10日

常微分方程初值问题的数值解

摘要

流体力学、弹性力学、热传导、电磁波、现代光学等领域研究的自然现象，主要是用微分方程模型来描述．常微分方程模型是在各个领域中经常见到的一类数学模型，求解一阶常微分方程是数学工作者的一项基本的且重要的工作．对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可以利用．但在很多情况下碰到的常微分方程求解问题，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解．因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义．

本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究，主要讨论了针对数值解法精度而言的一些常用的经典数值解法．对于隐式方法，计算时需要用迭代法，这使计算过程增加了计算量，为此，论文介绍了对各种隐式方法的改进，一般用“预测-校正”法．

关键词：

常微分方程，线性多步法，外推法，欧拉法，龙格-库塔法

论文题目应该简短、明确、有概括性。

读者通过题目，能大致了解论文的内容、专业的特点和学科的范畴。

题目要符合汉语逻辑，字数要适当（一般不超过24字）。

必要时可加副标题。

论文摘要应概括地反映出毕业设计（论文）的目的、内容、方法、成果和结论。

摘要中不宜使用公式、图表，不标注引用文献编号。

摘要应是一篇完整的短文，篇幅以300～500字为宜。

关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用技术词条（参照相应的技术术语标准）。

关键词一般为3～5个，按词条的外延层次排列（外延大的排在前面）。

NumericalSolutionofOrdinaryDifferentialEquationDealing

withInitial-valueProblem

Author:

WangMou-mou

Tutor:

WangXiao-min

Abstract

Naturalphenomenaofthefieldsoffluidmechanics,elasticitymechanics,heatconduction,electromagneticwaves,modernopticsandsoon,aredescribedmainlybydifferentialequationmodel.Ordinarydifferentialequationmodelisoftenseeninvariousfields.Solvingone-orderordinarydifferentialequationisbasicandimportantworkformathematicalworkers.Forsomesimpleandtypicaldifferentialequations,suchaslinearequations,somespecialone-ordernonlinearequations,wecantrytoderiveitsanalyticalsolution,andtheresultsaretheoreticallyavailable.However,inmanycases,solvingordinarydifferentialequationisoftendifficult,evenimpossibletoderiveitsanalyticalsolution,butwecanseekitsapproximatesolution.Therefore,thestudyofitsnumericalmethodtoquicklyobtainthenumericalsolutionisofsignificance.

Thispapersumsuptheexistingnumericalsolutionsdealingwithordinarydifferentialequation,mainlydiscussescommonlyusednumericalsolutionintermofprecision.Fortheimplicitmethod,iterativecalculationsareneeded,whichincreasestheamountofcomputation,sothispaperdescribesvariousimprovedprediction–correctionmethods.

KeyWords:

Ordinarydifferentialequation,Linearmultistepmethod,Extrapolationmethod,Eulermethod,Runge-Kuttamethod

目录按章、节、条三级标题编写，要求标题层次清晰。

目录中的标题要与正文中标题一致。

目录中应包括绪论、论文主体、结论、致谢、参考文献、附录等。

1绪论

自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画．常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法．物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究．因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域．

1.1课题背景及意义

一阶常微分方程的求解是数学工作者的一项基本的且重要的工作．我国已故的科学老前辈冯康院士曾指出：

“现在科学计算的主题是数学物理中的各种微分方程的数值求解”[1]．由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系．由于该问题比较复杂且涉及的面广，对于一些典型的微分方程，如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等，可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来．然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的．实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式（只要满足规定的精度就行）．

1.2课题的发展及应用

常微分方程理论研究已经有300多年的历史了，它是近代数学中的重要分支；同时，由于它与实际问题有着密切的联系，因此它又是近代数学中富有生命力的分支之一．

常微分方程的发展大致可以分为四个重要阶段：

1、以求通解为主要内容的经典阶段

常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明还早．牛顿和莱布尼茨在建立微分和积分运算的互逆性，实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题．

17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容．在这一阶段，还出现了许多精彩的成果．1694年，莱布尼茨发现了方程解族的包络，1718年泰勒提出奇解的概念，克莱络和欧拉对奇解进行了全面研究，给出从微分方程本身求得奇解的方法，参加奇解研究的数学家还有拉格朗日、凯莱和达布等人．

2、以定解问题的适定性理论为研究内容的适定性理论阶段

19世纪20年代，柯西建立了初值问题的存在唯一性定理．1873年，德国数学家利普希茨提出著名的“利普希茨条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进．在适定性的研究中，与柯西、利普希茨同一时期的，还有皮亚诺和毕卡，他们先后给出常微分方程的逐次逼近法，皮亚诺在仅仅要求函数在一点的邻域内连续的条件下证明了柯西问题解的存在性．后来这方面的理论有了很大发展，这些基本理论包括：

解的存在及唯一性，解的延拓，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性、可微性，奇解等．这些问题是微分方程的一般理论问题．

3、以解析理论为研究内容的解析理论阶段

19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的级数解，并得到极其重要的一些函数．贝塞尔函数就是其中的一个函数．

在解析理论中另一个重要的内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果，与此同时，也出现了厄尔米特多项式和切比雪夫多项式．

4、以定性与稳定性理论为研究内容的定性理论阶段

自从刘维尔证明了黎卡提方程不存在初等积分表达式之后，研究方程的方法有了明显的变化，数学家们开始从方程本身（不求解）直接讨论解的性质．庞卡莱开创了微分方程定性理论研究，李雅普诺夫则开创了微分方程运动稳定性理论的研究．现在稳定性的研究已经发展到泛函微分方程和偏微分方程等更广泛的系统中去．目前，稳定性的概念已被推广和运用到自然科学和工程技术的许多领域之中，并形成了非常重要的理论．

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题．应该说，应用常微方程理论已经取得了很大的成就．

对于一些简单的微分方程是可以设法求出其解析解的．但在生产实际和其它数学分支碰到的常微分方程，仅有很少一部分能通过初等积分法给出其通解，大多数方程根本无法求出其解析解，这促使数学工作者从理论上去探讨它们的解析解，工程师们从渐进的角度去研究它们的渐近解，但无论是理论分析还是渐近分析均存在着一定的局限性．因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义．

在计算机迅猛发展的今天，微分方程的数值求解越来越受到重视．一方面，借助计算机，一些超大规模问题和原来无法通过初等积分或渐近方法求解的问题能得以求解；另一方面，借助于数值方法，也可以简化一些问题的理论分析．

1.3论文构成及研究内容

本文首先引入一阶常微分方程初值问题的定义，介绍了数值解法的基本思想，即将连续问题离散化，求连续函数在一系列离散点处的函数值，然后根据这一思想，阐述了求常微分方程初值问题的一些实用的经典方法，如Euler法、梯形法、Runge-Kutta法、阿当姆斯显式与隐式法、辛普森法、米尔尼法和汉明法，这些方法可以满足一般应用的需要．由于常微分方程的数值解法是按步进的方式计算的，所以为了消除误差的积累还要研究高精度或者自动控制误差的方法．在一般情况下，提高精度的方法是适当减小步长，所付出的代价是增加了计算量，为了两者兼顾，本论文特别介绍了自适应步长的Runge-Kutta法，这是很实用的方法，在计算机领域有着广泛的应用．MATLAB中求常微分方程初值问题的ode45（）函数就是使用了四五阶嵌入式Runge-Kutta-Fehlberg方法．利用不同步长的序列产生的近似值构造外推加速收敛法的近似值序列在数值计算领域有着广泛的应用．可以毫不夸张的说，现在科学计算领域的许多新成就在很大程度上源自外推方法的应用．论文最后讨论了高阶微分方程和一阶微分方程组，理论上