高等数学北大版答案.docx
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高等数学北大版答案
高等数学北大版答案
【篇一：
北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案习题3.1】
>求下列不定积分
：
1.?
2.?
x?
3x（x?
1）
2
1
?
2
12
（1?
2x）?
13
（1?
2x）
3
3/2
?
c.?
c.
3/2
x?
2
?
（x
1
3
2
?
1）
（x?
1）?
?
2
2
2
2（x?
1）16
2
2
3.?
x?
3/2
?
4
（2x?
7）?
23
（2x?
7）?
c.
4.?
（2x?
21
32e
1/x2
?
1）
2/x?
2/3
?
（2x
3/2
3/2
?
1）15
2/3
dx
3/2
3/2
?
（2x
3/2
?
1）
1/x
d（2x?
1）?
1/x
（2x?
1）
5/3
?
c.
5.?
6.?
7.?
8.?
x
x?
?
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e
dx
d（1/x）?
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x）
dx
100
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c.1
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x）dx
3?
5x
100
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13?
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99（2?
x）?
13?
99
2
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1?
[（5/3）x]?
2
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c
.
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c.
9.?
10.?
e
x
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2?
（1?
x）
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exx
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2arctan
1c.
2?
e
x?
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2
x
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c.
x
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x
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1）（u?
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c.
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1
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1
x
13.?
lnlnxxlnxdx
x?
?
lnlnxlnxdx2sin
2
lnx?
d
?
lnlnxdlnlnx?
x2
12
（lnlnx）?
c.
2
14.?
1?
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?
x2
?
?
sin
x2
?
?
cot
2
x2
?
c.
15.?
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sinx
14
4
?
?
?
?
2?
x
?
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cot?
?
?
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4?
?
?
2
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2?
?
16.?
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1
x
5
（x?
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1
x
5
10
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1）
x?
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1）
u
2
4
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x）
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1）
2
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3
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v
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dv
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v?
v?
c?
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x
2n?
1n
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2?
3
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（x?
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u
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x）
n
17.?
?
1
x?
1
x?
1
?
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x
n
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x?
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x?
n
1
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1
1?
11?
nn
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ln|u?
1|）?
c?
（x?
ln|x?
1|）?
c.?
?
?
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nn
dxx（x?
2）
5
18.?
?
?
?
xdxx（x?
2）
5
5
4
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1
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5u（u?
2）
du
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x）
5
1152
1?
1?
?
?
?
uu?
211u?
du?
ln|u|?
ln|u?
2|?
c?
ln?
c.?
?
?
1010u?
2?
x?
1?
?
1（ln（x?
1）?
lnx）?
?
?
dx?
x?
1?
?
x
19.?
?
ln（x?
1）?
lnx
x（x?
1）
?
（ln（x?
1）?
lnx）d（lnx?
ln（x?
1）?
?
?
（ln（x?
1）?
lnx）d（ln（x?
1）?
lnx）
12eln
2
?
?
x?
1x
?
c.
2
dx?
arctanx
20.?
?
?
xln（1?
x）1?
x
2
?
1?
x
2
e
arctanx
2
x?
?
xln（1?
x）1?
x
2
2
2
x
?
e
arctanx
darctanx?
14
2
2
12
?
ln（1?
x）dln（1?
x）
?
e
arctanx
?
ln（1?
x）?
c.
21.?
sin2xcos2xdx?
22.?
sin
2
12
?
sin2xdsin2x?
2
14
sin2x?
c.
3
2
x2
cos
x2
dx?
2?
sin
122xx2
dsin
x2
?
23
sin
x2
?
c.
23.?
sin5xsin6xdx?
24.?
?
?
?
25.?
?
121213
2x?
1?
（cosx?
cos11x）dx?
x?
1?
1?
sinx?
sin11x?
?
?
c.2?
11?
x?
2
?
?
1x
d（1?
x）x?
x3
?
arcsinx?
c?
?
?
arcsinx?
c.
x
3
x?
?
12
2
x?
2
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xx
?
?
x
2
x?
2
?
d（1?
x）12
?
（1?
x）?
2
3/2
?
1x?
2
?
（1?
x）?
?
c.（a?
0）
26.?
dx（a?
x）
2
2
3/2
x?
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（?
?
/2,?
/2）,dx?
acostdt,（a?
x）
2
2
3/2
?
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33
2
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（a
?
1a
dx
2
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x）
23/2
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a
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2
cost
x?
x
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2
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c
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c?
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c?
.
27.?
x
x（a?
0）.x?
0时,令
x?
asect,t?
（0,?
/2）.
2dx?
atantsectdt,?
atant,
2
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x
x?
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（sect?
1）dt?
a（tant?
t）?
c
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c?
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c
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2
ax
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c.
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2
2
x
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121
2ex?
a
2
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dxxa?
c
2
arcsin
xa
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aarcsinc.
2
2
arcsin
dx
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3x/2
29.
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23
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dx
?
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2
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3
23
de
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?
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23
ln（e
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3x/2
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c
ln
?
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23
ln（1?
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c?
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c
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lnx
3
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1）?
x?
c.14
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14
x?
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dx
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14
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x）
4
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ln（x?
?
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?
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（v?
1）v
1/2
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1
2
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?
2
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12
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2
u?
1x
2
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11
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2
v?
?
1/2
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2
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1
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1
1/2
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1?
u）
?
（v2
3/2
?
2v?
v
3
?
1/2
?
1?
22
?
?
?
v2?
2
v2?
2?
v2?
2?
53?
5
3
1
5
?
?
1?
1?
221?
?
?
2?
5?
x?
35x
1?
2?
1?
2?
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2?
x?
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?
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3x
x
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c.
32.?
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3
x
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x
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u（u?
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v?
1）
5
2
x3
4
?
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u?
5/3
x
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32
v?
1v
x
?
vv?
3vdv?
3?
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v）dv?
3?
?
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c
52?
?
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1）?
（e?
1）?
c.
1?
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x?
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33.?
dx?
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dx
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x?
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arcsin
1
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arcsinc.
2
34.?
x?
?
x?
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1?
?
?
x?
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2?
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?
1?
1?
x?
?
?
2?
2?
29arcsin8298
2x?
1x?
1
?
c
2
?
arcsin?
c.
【篇二：
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题
（二）】
f（x）?
0的两个实根.证明方程f（x）?
f?
（x）?
0在（a,b）内至少有一个实根.
证设g（x）=ef（x）,g（a）?
g（b）?
0,g在[a,b]连续,在（a,b）可导）,.
x
根据rolle定理,存在c?
（a,b）,使得g?
（x）?
e（f（x）?
f?
（x））?
0,即f（x）?
f?
（x）?
0.
x
19.决定常数a的范围,使方程3x?
8x?
6x?
24x?
a有四个不相等的实根.解p（x）?
3x?
8x?
6x?
24x,p?
（x）?
12x?
24x?
12x?
24
?
12（x?
2x?
x?
2）?
12[x（x?
2）?
（x?
2）]?
12（x?
2）（x?
1）?
12（x?
2）（x?
1）（x?
1）?
0,.
x1?
?
1,x2?
1,x3?
2.p（x1）?
?
19,p
（1）?
13,p
（2）?
8.
根据这些数据画图，由图易知当在区间（?
p
（1）,?
p
（2））?
（?
13,?
8）时3x?
8x?
6x?
24x?
a有四个不相等的实根.
4
3
2
3
2
2
2
4
3
2
3
2
432
20.设f（x）?
1?
x?
x
2
2
?
x
3
3
?
?
?
（?
1）
n
x
n
n
.证明:
方程f（x）?
0当n为奇数时有一个
实根,当n为偶数时无实根.
证当x?
0时f（x）?
0,故f只有正根,当n?
2k?
1为奇数时,limf（x）?
?
?
x?
?
?
limf（x）?
?
?
存在a,b,a?
b,f（a）?
0,f（b）?
0.
x?
?
?
根据连续函数的中间值定理,存在x0?
（a,b）,使得f（x0）?
0.f?
（x）?
?
1?
x?
x?
?
?
x实根唯一.
当n?
2k为偶数时,f?
（x）=?
1?
x?
x?
?
?
x
2
2k?
1
2
2k?
2
?
x
2k?
1
?
1
?
x?
1
?
0（x?
0）,当x?
0时,f严格单调递减,故
?
?
x
2k
?
1
?
x?
1
?
0,x?
1.
0?
x?
1,f?
（x）?
0,x?
1,f?
（x）?
0,f
（1）是x?
0时的最小值,f
（1）?
0,故当n为偶数时f（x）无实根.
21.设函数u（x）与v（x）以及它们的导函数u?
（x）与v?
（x）在区间[a,b]上都连续,且uv?
?
u?
v在[a,b]上恒不等于零.证明u（x）在v（x）的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u（x）与v（x）的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u（x）与
v（x）.
证设x1,x2是u（x）的在[a,b]的两个根,x1?
x2.由于u?
v?
uv?
?
0,v（x1）?
0,v（x2）?
0.如果v（x）在[x1,x2]上没有根,则w=w?
（c）?
u?
v?
uv?
v
2
uv
在[a,b]连续,w（x1）?
w（x2）?
0,由rolle定理,存在c?
[x1,x2],使得
（c）?
0,即（u?
v?
uv?
）（c）?
0,此与u?
v?
uv?
恒不等于零的假设矛盾.故v（x）
在[x1,x2]上有根.
例如u?
cos（x）,v?
sinx,u?
v-uv?
?
-1?
0,sinxcosx的根交错出
现.
22.证明:
当x?
0时函数f（x）?
arctanxtanhx
单调?
递增,且arctanx?
?
2
（tanhx）.
tanhxarctanx
?
2?
22sinhxcoshx?
（1?
x）arctanx?
arctanx?
证f?
（x）?
?
?
?
?
2222
tanhxtanhx（1?
x）tanhxcoshx?
?
1?
sinh2x?
（1?
x）arctanx（1?
x）tanhxcoshx
2
2
2
2
?
g（x）
（1?
x）tanhxcoshx
2
2
2
.
g（0）?
0.
g?
（x）?
cosh2x?
1?
2xarctanx,g?
（0）?
0,g?
?
（x）?
2sinh2x?
2arctanx?
g?
?
?
（x）?
4cosh2x?
41?
x
2
2x1?
x
2
g?
?
（0）?
0,
2
2
21?
x?
22
?
2?
（1?
x）?
2x（1?
x）
2
?
4cosh2x?
21?
x
2
?
2（1?
x）1?
x
2
2
?
4cosh2x?
4x
1?
x
2
?
0（当x?
0时coshx?
1）,
由taylor公式,对于x?
0有g（x）?
g（?
x）3!
3
x?
0,f?
（x）?
0,f严格单调递增.
?
limf（x）?
lim
x?
?
?
x?
?
?
arctanxtanhx
?
?
2
故对于x?
0有
arctanxtanhx
?
2
.
23.证明:
当0?
x?
?
2
时有
2
xsinx
?
tanxx
.
证f（x）?
sinxtanx?
x,
22
f?
（x）?
cosxtanx?
sinxsecx?
2x?
sinx?
sinxsecx?
2x,
22
f?
?
（x）?
cosx?
secx?
2sinxsecxtanx?
2?
（cosx?
secx?
2）?
2sinxsecx?
2?
0
（cosx?
secx?
cosx?
1cosx
?
2,x?
（0,?
/2））.
f（0）?
f?
（0）?
0,根据taylor公式,f（x）?
f?
?
（?
x）2
x?
0,sinxtanx?
x?
0,
2
2
xsinx
?
tanxx
（x?
（0,?
/2））.
24.证明下列不等式:
（1）e?
1?
x,x?
0.
（2）x?
（3）x?
xx
2
x
2
3
?
ln（1?
x）,x?
0.?
sinx?
x,x?
0.
e
?
x
6
x
证
（1）e?
1?
x?
（2）ln（1?
x）?
x?
x
2
2
x?
1?
x,x?
0.1
x?
x,x?
0.
x
2
2
2
（1?
?
x）?
1
2
ln（1?
x）?
x?
23（1?
?
x）
3
x?
x?
3
2
x?
0.
（3）f（x）?
x?
sinx,f（0）?
0,f?
（x）?
1?
cosx?
0,仅当x?
2n?
时f?
（x）?
0,故当x?
0时f严格单调递增,f（x）?
f（0）?
0,x?
0.?
x?
g（x）?
sinx?
?
x?
?
6?
?
?
x?
g?
（x）?
cosx?
?
1?
?
g?
?
（x）?
?
sinx?
x?
0,x?
0.g当x?
0时
2?
?
严格单调递增,g（x）?
g（0）?
0,x?
0.
25.设xn?
（1?
q）（1?
q）?
（1?
q）,其中常数q?
[0,1）.证明序列xn有极限.
n
n
2
n
23
证xn单调递增.lnxn?
q
lnxn
?
i?
1
ln（1?
q）?
i
?
i?
1
q?
i
q?
q
n?
1
1?
q
?
q1?
q
.xn有上界.故xn有极限.
?
xn?
e
?
e
1?
q
26.求函数f（x）?
tanx在x?
?
/4处的三阶taylor多项式,并由此估计tan（50）的值.
22224
解f?
（x）?
secx,f?
?
（x）?
2secxtanx,f?
?
?
（x）?
4secxtanx?
2secx.
f（
?
4
）?
1,f?
（
?
4
）?
2,f?
?
（
?
4
）?
4,f?
?
?
（
?
4
）?
16.
?
?
?
?
?
?
8?
?
?
?
?
?
?
?
f（x）?
1?
2?
x?
?
?
2?
x?
?
?
?
x?
?
?
o?
?
x?
?
?
.
?
?
4?
4?
3?
4?
4?
?
?
?
?
?
233
?
?
?
8?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan（50）?
tan?
?
?
1?
2?
?
2?
?
?
?
?
?
?
1.191536480.
4363636336?
?
?
?
?
?
27.设0?
a?
b,证明（1?
a）ln（1?
a）?
（1?
b）ln（1?
b）?
（1?
a?
b）ln（1?
a?
b）.证f（x）?
ln（1?
x）,f?
（x）?
f在x?
0上凸,（1?
a）（1?
a?
b）
ln（1?
a）?
（1?
b）（1?
a?
b）
ln（1?
b）11?
x
f?
?
（x）?
?
1（1?
x）
2
23
?
0,
?
（1?
a）a（1?
b）b?
?
ln?
1?
?
?
（1?
a?
b）（1?
a?
b）?
?
?
（1?
a?
b）a（1?
a?
b）b?
?
ln?
1?
?
?
?
ln（1?
a?
b）.
（1?
a?
b）（1?
a?
b）?
?
28.设有三个常数a,b,c,满足
a?
b?
c,a?
b?
c?
2,ab?
bc?
ca?
1.证明：
0?
a?
3
2
114
?
b?
1,1?
c?
.333
证考虑多项式f（x）?
（x-a）（x-b）（x-c）?
x?
2x?
x?
abc.
2
f?
（x）?
3x?
4x?
1?
（3x?
1）（x?
1）?
0,x1?
13
x2?
1.13
?
x?
11时f?
（x）?
0,f严格单调递减.
当x?
13
或x?
1时f?
（x）?
0,f严格单调递增,当
如果f（0）?
f
（1）?
?
abc?
0,f将至多有两个
144
实根.如果f（）?
f（）?
?
abc?
0,f也将至多有两个
3327
144
根（见附图）.而f实际有根a,b,c.故f（0）?
f
（1）?
?
abc?
0,并且f（）?
f（）?
?
abc?
0.
3327考虑到严格单调性,于是f
114
在（0,）,（,1）,（1,）各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.
333
29.设函数f（x）的二阶导数f?
?
（x）在[a,b]上连续,且对于每一点x?
[a,b],f?
?
（x）与f（x）同号.证明:
若有两点c,d?
[a,b],使f（c）?
f（d）?
0,则f（x）?
0,x?
[c,d].
2
证由于f?
?
（x）与f（x）同号,（f（x）f?
（x））?
=f?
（x）?
f（x）f?
?
（x）?
0,g（x）?
f（x）f?
（x）单调,2
g（c）=g（d）=0,故f（x）f?
（x）?
0,x?
[c,d].（f（x））?
?
2f（x）f?
（x）?
0,x?
[c,d].
f（x）?
c,x?
[c,d].f（c）?
0,故f（x）?
0,x?
[c,d],即f（x）?
0,x?
[c,d].30.求多项式p3（x）?
2x?
7x?
13x?
9在x?
1处的taylor公式.解p3?
（x）?
6x?
14x?
13,p3?
?
（x）?
12x?
14,p3?
?
?
（x）?
12.
2
3
2
222
p3
（1）?
?
1,p3?
（1）?
5,p3?
?
（1）?
?
2,p3?
?
?
（1）?
12.p3（x）?
?
1?
5（x?
1）?
（x?
1）?
2（x?
1）.31.设pn（x）是一个n次多项式.
（1）证明:
pn（x）在任一点x0处的taylor公式为pn（x）?
pn（x0）?
pn?
（x0）?
?
?
1n!
pn
（n）
2
3
（x0）.
（a）?
0（k?
1,2,?
n）.证明pn（x）的所有实根都不
（2）若存在一个数a,使pn（a）?
0,pn超过a.
证
（1）pn（x）是一个n次多项式.
（k）
（1）证明:
因为pn（x）是一个n次多项式,pn根据带lagrange余项的taylor公式pn（x）?
pn（x0）?
pn?
（x0）（x?
x0）?
?
?
?
pn（x0）?
pn?
（x0）（x?
x0）?
?
?
1n!
pn
1n!
（n?
1）
（x）?
0,x?
（?
?
?
?
）.故在任一点x0处,
pn
（n）
（x0）（x?
x0）?
n
n
1（n?
1）!
pn
（n?
1）
（c）（x?
x0）
n?
1
（n）
（x0）（x?
x0）.1n!
pn
（n）
n
（2）pn（x）?
pn（a）?
pn?
（a）（x?
a）?
?
?
故pn（x）的所有实根都小于a.
（a）（x?
a）?
pn（a）?
0（x?
a）,
【篇三：
北大版高等数学第三章积分的计算及应用答案第三章总练习题】
为什么用newton-leibniz公式于下列积分会得到不正确结果?
（1）?
1?
1
?
?
1d?
x?
d?
x?
x
?
e?
dx.?
e?
?
?
?
e?
2[?
1,1]无界,从而不可积.dx?
dx?
?
?
?
?
xdtanx2?
tanx
2
111
（2）?
2?
0
dx.u?
tanx在（0,2?
）的一些点不可导.
2.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.证设奇连续函数f的原函数为f,现在证明f是偶函数.
f?
（x）?
f（x）.（f（?
x）?
f（x））?
?
?
f?
（?
x）?
f?
（x）?
?
f（?
x）?
f（x）?
0,f（?
x）?
f（x）?
c,c?
f（?
0）?
f（0）?
0.f（?
x）?
f（x）?
0.设偶连续函数f的原函数为f,现在证明f是奇函数.
f?
（x）?
f（x）.（f（?
x）?
f（x））?
?
?
f?
（?
x）?
f?
（x）?
?
f（?
x）?
f（x）?
0,f（?
x）?
f（x）?
c.设f（0）?
0,则c?
f（?
0）?
f（0）?
0.f（?
x）?
f（x）?
0.?
sinx,x?
0,3.f（x）f（x）?
?
3求定积分
?
x,x?
0,解
?
ba
f（x）dx?
?
其中a?
0,b?
0.
0a
3
b0
?
x
ba4
f（x）dx?
a
?
b
0a
f（x）dx?
a
4
?
b0
f（x）dx?
?
xdx?
?
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