高中数学必修五北师大版 不等式 章末复习课 学案.docx

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高中数学必修五北师大版不等式章末复习课学案

学习目标

　1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值．

知识点一　“三个二次”之间的关系

所谓三个二次，指的是①二次函数图象及与x轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点．

解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化．

知识点二　规划问题

1．规划问题的求解步骤．

（1）把问题要求转化为约束条件；

（2）根据约束条件作出可行域；

（3）对目标函数变形并解释其几何意义；

（4）移动目标函数寻找最优解；

（5）解相关方程组求出最优解．

2．关注非线性：

（1）确定非线性约束条件表示的平面区域．可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域．

（2）常见的非线性目标函数有①

，其几何意义为可行域上任一点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率；②

，其几何意义为可行域上任一点（x，y）与定点（a，b）的距离．

知识点三　基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别．

利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件．

利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：

一正；二定；三相等．

类型一　“三个二次”之间的关系

例1　设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．

解　M⊆[1,4]有两种情况：

其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．

设f（x）＝x2－2ax＋a＋2，

对方程x2－2ax＋a＋2＝0，

有Δ＝（－2a）2－4（a＋2）＝4（a2－a－2），

①当Δ<0时，－1

②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.

当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]，不满足题意；

当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]，满足题意．

③当Δ>0时，a<－1或a>2.

设方程f（x）＝0的两根为x1，x2，且x1

那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1

⇔

即

解得2

，

综上可知，当M⊆[1,4]时，a的取值范围是（－1，

]．

反思与感悟　

（1）三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化，如1≤x1

则可化归为简单的一元一次不等式组．

（2）用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想．

跟踪训练1　若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1，m），则m＝________.

答案　2

解析　因为ax2－6x＋a2<0的解集是（1，m），

所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1，

⇒

⇒

类型二　规划问题

例2　已知变量x，y满足约束条件

求z＝2x＋y的最大值和最小值．

解　如图，阴影部分（含边界）为不等式组所表示的可行域．

设l0：

2x＋y＝0，l：

2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小．

上下平移直线l0，可得当l0过点A（5,2）时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B（1,1）时，zmin＝2×1＋1＝3.

反思与感悟　

（1）因为寻找最优解与可行域的外界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；

（2）线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小．

跟踪训练2　某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小．

解　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x＋2y）个，绘画标牌（2x＋y）个，

由题意可得

所用原料的总面积为z＝3x＋2y，

作出可行域如图阴影部分（含边界）所示．

在一组平行直线3x＋2y＝z中，

经过可行域内的点A时，z取得最小值，

直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A（2,1），

即最优解为（2,1）．

所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．

类型三　利用基本不等式求最值

命题角度1　无附加条件型

例3　设f（x）＝

.

（1）求f（x）在[0，＋∞）上的最大值；

（2）求f（x）在[2，＋∞）上的最大值．

解　

（1）当x>0时，有x＋

≥2，

∴f（x）＝

＝

≤25.

当且仅当x＝

，即x＝1时等号成立，

∴f（x）在[0，＋∞）上的最大值是25.

（2）∵函数y＝x＋

在[2，＋∞）上是增函数且恒为正，

∴f（x）＝

在[2，＋∞）上是减函数，且f

（2）＝20.

∴f（x）在[2，＋∞）上的最大值为20.

反思与感悟　利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．

跟踪训练3　求函数y＝

＋x（x＞3）的最小值．

解　∵y＝

＋x＝

＋（x－3）＋3，x＞3，

∴x－3＞0，

＞0，

∴y≥2

＋3＝5.

当且仅当

＝x－3，

即x＝4时，y有最小值5.

命题角度2　有附加条件的最值问题

例4　函数y＝a1－x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0（mn＞0）上，则

＋

的最小值为________．

答案　4

解析　方法一　y＝a1－x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1,1），

∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，

∴m＋n＝1，

∴

＋

＝

＝

≥

＝4，

当且仅当m＝n＝

时，取等号．

方法二　

＋

＝（m＋n）（

＋

）

＝2＋

＋

≥2＋2

＝4，

当且仅当

即m＝n＝

时取等号．

∴

min＝4.

反思与感悟　当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：

一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值．

跟踪训练4　设x，y都是正数，且

＋

＝3，求2x＋y的最小值．

解　∵

＋

＝3，

∴

＝1.

∴2x＋y＝（2x＋y）×1＝（2x＋y）×

＝

≥

＝

＋

＝

.

当且仅当

＝

，即y＝2x时，取等号．

又∵

＋

＝3，∴x＝

，y＝

.

∴2x＋y的最小值为

.

1．设变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝4x＋2y的最大值为（　　）

A．12B．10C．8D．2

答案　B

解析　画出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋

，

作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时，纵截距

最大．

解方程组

得A（2,1），

所以zmax＝4×2＋2×1＝10.

2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|－2

}，则a＋b等于（　　）

A．－18B．8C．－13D．1

答案　C

解析　∵－2和－

是方程ax2＋bx－2＝0的两根．

∴

∴

∴a＋b＝－13.

3．设a>b>0，则a2＋

＋

的最小值是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　D

解析　a2＋

＋

＝a2－ab＋ab＋

＋

＝a（a－b）＋

＋ab＋

≥2＋2＝4.

当且仅当a（a－b）＝1且ab＝1，

即a＝

，b＝

时取等号．

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（或≥0，<0，≤0）（其中a≠0）的求解，要联想两个方面的问题：

二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（或≥0，<0，≤0）（a>0）的解集．

3．二元一次不等式表示的平面区域的判定

对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点（x，y），实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点（x0，y0），根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．

4．求目标函数最优解的方法

通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值时把握三个条件：

①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

40分钟课时作业

一、选择题

1．若a<0，－1

A．a>ab>ab2B．ab2>ab>a

C．ab>a>ab2D．ab>ab2>a

答案　D

解析　∵a<0，－1

∴ab>0，ab2<0.

∴ab>a，ab>ab2.

∵0<1＋b<1,1－b>1>0，

∴a－ab2＝a（1－b2）＝a（1＋b）（1－b）<0，

∴a

∴a

2．原点和点（1,1）在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是（　　）

A．a<0或a>2B．0

C．a＝0或a＝2D．0≤a≤2

答案　B

解析　原点和点（1,1）在直线x＋y＝a两侧，将原点（0,0）和点（1,1）代入x＋y－a中，结果异号，即－a（1＋1－a）<0，故0

3．不等式

≤2的解集是（　　）

A．{x|x<－8或x>－3}B．{x|x≤－8或x>－3}

C．{x|－3≤x≤2}D．{x|－3

答案　B

解析　原不等式可化为

－2≤0，即

≤0，即（x＋3）（x＋8）≥0且x≠－3，解得x≤－8或x>－3.

4．若实数x，y满足

则

的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．[1，＋∞）

答案　B

解析　可行域如图阴影部分，

的几何意义是区域内的点与点（1,0）连线的斜率，易求得

>1或

<－1.

5．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是（　　）

A．a2>a>－a2>－aB．－a>a2>－a2>a

C．－a>a2>a>－a2D．a2>－a>a>－a2

答案　B

解析　∵a2＋a<0，

∴a（a＋1）<0，∴－1

取a＝－

，可知－a>a2>－a2>a.

6．已知函数y＝x－4＋

（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于（　　）

A．－3B．2C．3D．8

答案　C

解析　y＝x－4＋

＝（x＋1）＋

－5，

因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2

－5＝2×3－5＝1，

当且仅当x＋1＝

，即x＝2时，等号成立，

此时a＝2，b＝1，

所以a＋b＝3.

二、填空题

7．已知x，y∈（0，＋∞），且满足

＋

＝1，则xy的最大值为________．

答案　3

解析　因为x>0，y>0，

＋

＝1，

所以

＋

≥2

＝

（当