（2-11c）
若a=b=c=d，则简化为
（2-11）
上式称为四点方程。
每个内节点都可以写出一个这样的四点方程。
在边界处，用已知的主应力和值代入，联立这些方程即得出各内节点上的主应力和值。
例题2-2一对径受压圆盘，直径D=5cm，其等差线如图2-7b所示。
要求求出受力模型内各点的主应力和。
解：
由于圆盘形状及受载方式为对称于轴和轴，故取圆盘的四分之一经行考察即可。
先把圆盘划分成若干网格，使间距等于0.5cm，对各节点编号。
载荷作用点以表示，除该点有应力外（先任意假定为100）在圆盘其余边界上全部为零，如图2-10所示。
图2-10圆盘节点
应用上述方程（2-11）建立各节点的主应力和方程。
对于节点1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,15,16,18,19,22,23，全部应用四点方程（2-11），建立18个方程。
对于节点17,20,11，和21，应用式（2-11），共建立四个方程，例如，建立点17方程，b=c-d=0.5cm,a=√R*R-0.5*0.5-2.0,故=0.450/0.5=0.9,代入式（2-11b），得
同理的
建立点20方程，b=c=d=0.5cm,a=√2.5*2.5-1-（2.0）=2.291-2.0=0.291cm,故=0.291/0.5=0.582代入式（2-11b）得
同理得
共有22个节点，现共建立22个方程，解决22个方程。
解决的办法可以是迭代法，手工计算，也可以利用计算机计算。
一迭代法
现把22个方程安迭代顺序分为两组写在下面
第一组：
第二组：
先任意假定一组中的各个数，例如，先假定第一组中各个数据，将假定的这些数据分别代入第二组中进行计算，将算出的结果又待会第一组格式中计算，如是反复进行，直到这些数据前后两次接近为止。
迭代计算顺序及结果见表2-4.
由解拉普拉斯差分方程，可得
=
式中是比例常数。
例如，求解圆盘水平直径上的应力，有等差线得
解式（），（）得
根据半圆的平衡条件，可得
（2-12）
把式（）代入，并用有限差数值积分计算如下
即883=6.1+560，则=53
以值乘各节点处的即得个节点的主应力和，即表2-5中（）一项的由来。
例如，点5.-7.14=-7.14*53=-378.表2-5给出了应力值及其误差，可见结果是满意的。
二矩阵求解
仍以上面的网格标准说明计算过程。
把上面22个方程按未知数，，，，排成行列阵{}，把未知数的系数排成方阵[]，把每个方程的常数项拍成列阵{ }，用公式简式如下
｛ ｝ ＝｛｝ （２－１３）
只要排除方阵 ，按已有的现存程序，将 输入计算机后，即可得到 的逆阵 ，即可得到各未知的数值。
即
｛｝ ＝ （２－１４）
这里由于篇幅所限，把矩阵 和逆阵 的数据表都省略去了，但从中可列出几个数据计算如下，以资比较。
当然，这里划分的网格是粗糙的，主要是说明其运算过程。
如果弹性体是直边边界，且承受均布载荷时，则按照以上过程计算各主应力值，其计算过程还会变得更简易一些。
如果计算承受均布载荷深梁的内部应力，结合光弹性试验和差分法就变的更容易了。
§2-５ 科克尔－菲伦计算法——计算对称截面的应力法
由科克尔费伦提出的沿主应力迹线的定积分法是平面光弹性大众最老的计算方法之一。
首先画出主应力迹线网，等倾线网和等差线网，然后通过计算或图解的办法来获得单个主应力值。
计算时，必须选择已知两主应力值的某点作为起始点。
例如，某边界点 ：
设二主应力迹线各用 和 表示，如图２－１１所示，正交与 点， ＝ ，＝ 。
下面讨论二种特殊情况：
（一）当 轴为对称轴时，且第一
主应力迹线 和零度等倾线 与 轴重合。
（二）当 轴为对称轴时，且第二
主应力迹线 和零度等倾线 与 轴重合。
以上二种情况下的科克尔菲伦法的基 图２－１１关系
本公式为
（２－１５）
式中 代表第一主应力， 代表第二主应力，式中第一式适合于上述第一种情况，第二式适合于上述第二种情况，二种情况各如图２－１２ ， 所示。
式（２－１５）很少有积分的可能。
一般，应用差分公式按半图解法进行计算，先用一具体例子来说明式（２－１５）的用法。
如图２－１３所示
第五章三维光弹性
当前，欲解决三维物体内部的直力分析问题，还是一个较复
杂、较困难的问题。
对于这类问题，精确的解析求解往往不可能得
到，而不得不借助于在实验观察的基础上进行简化，作近似解析和
数值法来讨论。
显然，通过实验作出问题的解答是十分重要的途
径。
由于光测法本身固有的特性，在这个领域中理论和有关技术以
及模型材料的发展，使得光测法成为解决三维物体内部应力的有
力工具。
本章介绍的三维光弹性冻结切片法是目前实验分析三维
物体内部应力分布的最普遍和实用的实验方法。
三维光弹性沿着
两条途径在发展，它们是非破坏的方法（包括下章介绍的散光法）
和冻结切片法。
阿朋（Ahen．H．K．）近20年的开拓性工作，在非破坏的三维光弹性方法方面已取得了很大的进展，特别是对偏振光
的描述·使用了现代的表达手段，它们除了琼斯计算法外，还有庞
加莱（Pancharainam，S．）、米勒（Muller，H．）计算等工具，这样使
问题的解决变得较为容易。
当然对于非破坏的三维光弹性方法的
研究还有许多工作要做，还有不步困难有待克服，
三维光弹性应力冻结是用有冻结性能的材料（觅第三章）制作
的模型，放入烘箱内加载，并缓慢升温至模型材料的冻结温度，恒
温一定时间后，再缓慢洚至室温。
这样，模型中的应力就被冻结了。
在室温下卸除载荷，对模型切片作类似于平面光弹性分析，最后可
求出其中的应力。
产生应力冻结现象的原因可以用分子结构双相
说来解释。
冻结应力反块冻结温度《高弹态）下的应力，已冻结了应
力的模型切削机械加工也不会改变这种应力状态。
§51主应力和次主应力
对三维受f1二光弹性分析时，可以把它设想为无限多个
平板按照平面光弹性理论来解决。
对每一块这样的平F板，沿其厚度
巾应力的大小和方向可视为恒定的，如图51所示。
当平面偏振光
垂直f微分平板xy入射时．也遵守布卢斯特定律，即把入射光
分解为沿微分平板内两主应力方向的平面偏振光，且两束光之问
将产生一滞后量da，它正比于微分板厚度d．按第一章中公式
（115）为
，’。
为三维慎型材料冻结条纹值（N、m级），|为入射光波长。
口．’．
口，‘是与入射光相垂直的微分平板内的主应力，但并不是三维模型
中的真正主应力，故称为次主应力．a．’，a.’的指向称为次主应力方
向。
次主应力的概念用三维光弹性效应的实验来说明。
现考察一
冻结了应力的纯弯曲梁模型，如图52所示。
切出相距为d的一横
段，若偏振光方向沿z方向照射切片，则不产生光弹性效应。
也就
是说与光线一致的正应力a.与光弹性效应无关。
又如一冻结了纯
扭转的模型，取出应力单元体如图53所示。
取偏振光照射方向为
c．结果r…t，也没有光弹性效应，即与光线共面的切应力系也不
产生光弹性效应。
综合这两个情况，对于图5-4所示的一般受力状
-态.单元体，当光线沿z轴照射时，应力分量不产生光弹
唯一的一组直正主应力，它与入射光方向”
无关，仅仅取决于‘模型形状和受载情况。
这是真正主应力和次主应
力的根本区别，显然，当光线沿模型内某点的主应力方向照射时·
则由此获得的次主应力也就是该点的真正主应力了、
§5-2应力分量与应力椭球
三维光弹性应力分析是以实验途径去分析弹性体的应力。
而
应力是用一定坐标糸下的应力分量来表示的它们组成二阶对称张
量，设受力弹性体内某点M新老两坐标各为oxyz和z
两坐标轴间的方向余弦如表5l所示。
该点的应力分量在两坐标
系中分别用口，，（户．q一，’．一，z‘）和d巾，‘m.n-i．），z）表示，则两者
之间存在熟知的坐标转换关系，用张量形式表示成与bX4，，盯。
；叮≠户，卅≠n时力男rlv
l力通常写成r，，，r…上式所表示的
坐标转换关系式用矩阵形式表示为
∑x-I—zw■x”（5-5）
式中，三z一{叮，。
}为新坐标系中应力
矩阵，三。
一{叮刚}为原坐标系中应力＼：
，4
矩阵，/xⅣ一“：
）（^一m，H．{一声，口）
为新坐标系的轴向单位矢量在原罔56坐标系
坐标系中的方向余弦矩阵．/'XH为/KH的转置矩阵。
而坐标转换关
系式的应力分量表示式为
通过坐标转换关系式，可以确定任意方向上的应力，从而坐标
系中6个应力分量完全确定了该点的应力状态。
下面讨论应力状态的几何表示。
现将y，：
坐标轴的方向与M点的3个主应力方向1，2，3
重合，法向为s的面上正应力吼用上面的坐标转换关系式可以用
主应力表示为
o.-o，“！
j2+吼（￡）9+吼（』i）2（5S）
厂_
再定义该面上的折算正应力为a．』一√吾。
折算正应力矢端在主方
向坐标系中的投影用e，_，f表示，则
e竺■；Isj．71-■，鼻，f=■；r（59）
将上式代人式（5-8）后，得
a182+d2r]2+d3∥一l（5-10）
上式给出如图5．7所示的椭球，称为柯
西（Cauchy，B．A．L）应力椭球。
而坐
标轴方向就是曲面主轴方向。
从M点
至曲面上任意一点R给出M点上的
某一折算正应力的大小及其作用面的
法线方向，已知折算正应力，从面实际
正应力d，为
以一（士）2（5-11）图s7柯西应力椭球
正应力以的大小用图中长度MQ表示。
利用微分几何理论不难
证明曲面上R点的法向Rh的3个方向余弦和s面上总应力凡的
3个坐标轴上的分量成正比。
这就是说s面上总应力的方向与R
点处曲面的法线方向重合。
已知总应力F。
的方向和正应力以后，
用图解就求出总应力F。
-MK和剪应力L-wn，从而可知，柯西
应力椭球是几何表示出一点的应力状态+
在光波的电磁理论中有与此类似的折射率椭球，称菲涅耳
§5—3三维光弹性的应力光学定律
j2）
由于同一点M卜的菲涅耳（椭球和柯西椭球同轴，故_]以通过
一蝗变换，得到主折射宰与相应的主应力（和主应变）之间的关系
以上两式由威尔亥（Werteim）首先从实验中发现，即所谓威尔亥
应力与应变光学定律。
也就是偏振光沿模型主力‘向透射时的三维
应力一光学定律。
由此可直接推导出平面应力一光学定律式（1一15）。
三维光弹性冻结法切片法分析，是将一个三维模型用切片近
似表示的平面问题来研究。
对于一厚度为d的切片，在偏振光场
中，使光线垂直于该切片平面入射，入射后沿切片的次主应力方向
分解为二束偏振光，其折射率分别为“‘：
，”’。
。
出射切片后，这两束
偏振光之阿产生光程差d，其相对光程差埘一车形成等差线条纹
级数。
根据三维光弹性应力一光学定律式（5一13），作类似平面问题
推导，可以得出与式（5一1）本质上相同的冻结切片中的应力一光学
定律
。
mfo'
口i-az-—丁（5一l5）
式中，口，’．d：
’为切片厚度内次主应力的平均值，^’为材料的冻结条
/10
纹值，m为切片的相对光程差。
同样，所获得的等倾线代表切片厚
度次主应力方向的平均值。
当光线照射方向取为切片的主方向时，
则式（515）中次主应力d。
‘，a：
‘就是真正主应力力一．，一，了，其等倾线
表示出真正主方向。
三维问题中应力在光线照射力向上是变化的，切片分析结果
反映出切片厚度内的平均效应。
为了精确分析给定点的应力，切片
应尽可能薄。
但切片太薄，屏幕上条纹级数相应地碱少，影响条纹
级数采集精度。
一般切片厚度取.3mm左有为宜。
§；54正射和斜射应力分析原理
如何从已冻结了应力的切片巾分析确定其应力呢？
切片在偏
振光场中有正射和斜射两种装置。
一、正射法
在切片上建立直角坐标、系Mzyz，如图58所示·切片置于平面偏振光场中．光线沿z方向正射。
由此给出等差线条纹级数坍，
和等倾角仉（也就给出第一次主应方向与，轴的央角a。
）下面从
应力光学定律（5-is）出发推出用州：
，以表示应力分量a，，a，．f，，的
关系式。
考虑切片巾某点M，M点在固定坐标系Orvz和次主应力
主方向坐标系Mr2Z中应力分量之间的关系，可从应力分量坐标
系转换关系式（56）中推知：
口，一（di）；cOs3如+（啦）：
sIn2口；b）
dy-（口L）．SLn2a，+（a,），cos2瓯∞）
L，一（￡）。
cosa.sin虬（口2）：
sIn吐cos%心）
式中，峨的正值方向为T轴逆时针转到（盯’，），方向。
它由等倾线资
料中确定。
从式（＆）减式∞），有
叮：
-a，一[（叮j），一（叮z），lcosZa，q）
式（c）给出
r．，=丢[1d：
）j一（叮：
）.lsin2哎（e）
将式（5—15）代入式（∽和“），即可获.和应力分量o，民，
r。
。
之间的关系式
a，“一—-df.osU.lcs-i6）
r，，一-2sn2a.j
由此可见，从对切片的一次正射
中获得二组光弹性资料——等差线
和等倾线，可以分离出切平面内的正
应力之差和剪应力。
二、斜射法
考察光线斜入射切片的情况如
图5-9所示在切片上建立两组坐标
系O和0王y42’，光线沿z’斜入射
切片。
约定的正值方向，为z匿5.9印H斜射
轴方向朝o点观察时，z轴绕0点在
Ovz平面内逆时针旋转至斜射光z’为正。
参照式（5—16）不难写出
用表示应力分量一r，一。
的关系式
or-a,—≠∞∞]妇，
。
一号j。
脚J
利用应力分量坐标变换式（55）．将式（a）中d、，r，、f用iOry。
系下
的应力分量表示。
从I刮5—9中不难写出两个坐标糸Onjz’和Oivz
之^日j的方向余弦如表52所示。
将表中值代入式（56）给出
表5-2两坐标系间方向余弦
上式中当p，-。
时即可得到正射式（5-16）的结果，其中。
-m：
给出后，解得（以一口。
），^，
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