第二章 平面模型应力计算.docx

1、第二章 平面模型应力计算第二章 平面模型应力计算从光弹性试验中已经获得了两类资料，一类是等差线，即表示两主应力差相等的线；另一类是等倾线，即表示主应力方向相同的线。就是说，从实验中已经得到了两个条件。现在讨论如何根据这两个条件计算模型中的应力。2-1边界应力和应力集中 一边界应力 光弹性模型试验中，计算应力是从边界开始的。边界应力是直接根据模型上所出现的等差线条纹级数求出的。应为根据公式（15）可知，等式右边的条纹级数n从等差线图获得， 是模型条纹值，是一个已知的常数。对于模型的无载边界只有沿边界切线方向的一个主应力存在，另一个为零。根据钉压法完全确定了这个未知的主应力是拉还是压，即或 如果边

2、界法向方向有载，则载荷是做实验时加上的，是一个已知的值，稍加推理，边界应力就可以确定。工程上的问题，大多数是需要知道最大应力值及其发声的部位，再用最大应力来控制构件的强度设计，或者在发生最大应力处适当加强或采取其他相应措施，以确保构件强度的可靠性。实际上，当构件受力后，最大主应力往往发生在构件的边界上，对于全面确定边界值（而不是边界个别值）来说，应用光弹性模型实验法比之于其他任何方法都更有效更方便。例如图2-1a所示平面眼杆，受拉力P=700N，其等差线如图2-1b所示，现求眼杆孔洞水平直径边界点A 处的应力值。眼杆条纹值f。=12.5KN/m级。眼杆厚度t=5mm。洞孔处宽度b=13.7mm

3、读出A点处的条纹级数nA=9.56级(D=26mm,d=3mm) 图2-1 眼杆形状及其等差线照片根据钉压法可知点A受拉，应用公式（2-1）得到边界点A的应力为 A =nAf。/t=9.5612.51000/0.005=23.9MPA二集中应力应力集中现象由等差线图清楚地展现出来。应力集中的程度是以应力集中西数的大小来衡量的，应力集中系数k以下式表示 K= (2-2)式中， 是某截面上的平均应力或名义应力。上图中横截面上的平均应力为 =P/2bt=700/(213.70.00150.0001)=5.1MPa故点 处的应力集中系数为 K= =23.9/5.1=4.692-2切应力差法模型边界值已

4、求得，现研究计算模型内部应力值。从弹性力学已经知道，对于平面问题的应力来说，任一点的应力未知数是三个，即两主应力的大小及其方向，或者是应力分量 ， ，和 三个。根据上面所得到的等差线和等倾线两种资料，还不能解决模型内的应力值，必须再添加一个条件才行 ，增加的条件可以利用理论分析，也可以应用其它的实验方法，这里先介绍切应力差法。 从平面受力的模型中取出任一单元体A来考察，单元体A处在直角坐标系x，y中的任一点i，j处，如图2-2a所示。单元体的受力情况如图2-2b所示。本身重量不计，模型厚度为d ，根据平衡条件 图2-2 平面受力模型及单元体X=0同理，若依次取相邻的前一个单元体又可以得到以此类

5、推，以式（a），（b）为基础，逐步依次取前一个单元体，直到单元体取到模型边界点为止，这时就可以得出式中， 表示与单元体同一横坐标边界上沿 x方向的应力，可以根据边界上的等差线求出。在边界点B 处，设沿边界切向的正应力为 ，而 表示边界点B 处的等差线级数。所以， 是一个已知的值。再根据单向应力状态公式。参照图2-3a,b 所示边界应力关系可得 图2-3 边界应力关系式（2-3）中第二项内的 是相距为y的各单元体的上，下两截面上的切应力之差，而 是上述这些单元体上切应力差的叠加。如果能求出这些相距为y及同一水平坐标上，下两截面上的切应力，则其差自然可以获得。根据已经学过的切应力公式可计算切应力为

6、 （2-4）式中（ ）由等差线求的， 由等倾线得出。至于切应力的指向（代表正，负符号）以观察主应力的方位确定。如图2-4所示。有切应力作用面的法线N开始，按首先与第一主应力相遇的原则转向，则切应力的指向应与此转向相遇。这个指向若与取平衡条件时单元体 （图2-2 b）上切应力的指向一致，则为正，反之为负。切应力正负指向如图2-5所示 图 2-4 切应力指向图示 图2-5 切应力符号求出了正应力 后，根据下列公式就可以算出正应力 和主应力 和 的值 （2-5） （2-6）或 （2-7）式（2-5）中根号前的正负号如下确定: 时（代数值），取负号;反之， 时，取正号。至于 和 的大小关系，这只要根据

7、主应力所在的方位就可以确定，即根据等亲倾线的角度决定。当等倾线的角度 45度时， ；反之， 45度时， 。切应力差法的优点是，一般截面上的应力都可以计算出来。但是由于等倾线的精度较难掌握，所以在实验及计算过程中应仔细认真。 例2-1 一对径受压圆盘模型，直径D =50 mm ，厚度 =6.2mm ，载荷P =800N ，材料条纹值f。 =12.3 级。求距水平直径为10 mm 在面上的垂直盈利。 图2-6 对径受压圆盘 （ ）徒手描绘 （ ）等差线照片图2-7圆盘等差线及等倾线解：取距水平直径 10mm 处的横截面为OO1 ，把OO1 七等分，如图2-6，OO1 的长度为 OO1= 2525-

8、1010=22.913mm,x= OO17=3.273mm取y=x=3.273mm，取上，下截面AB和 CD 距中截面OO1各为y2，坐标原点取在边界点O 上，x轴向右为正，y轴向上为正。计算步骤如下：1 画出等差线和等倾线，如图2-7所示。2 按照式（2-4）和图2-7算出AB和 CD两截面分界线上的切应力，此时，切应力为正，从而即可得到 和 的值，所谓 是表示相邻两分界线上的切应力差的平均值。3 根据式（2-3），代入平均切应力差 就得到 ，现边界值 =0。4 再按照式（2-4）算出OO1界面分界线上的切应力，从而按照式（2-5）即可算出应力 。因为 45度，故 ，所以在式（2-5）中根号

9、前取负号。计算时，列表进行，如表2-1和表2-2所示理论计算值和实验结果如表2-3中所载。如果不能得到理论值，则利用平衡条件进行校对。上式中理论值是以下列公式算出来的，这是弹性力学已得的结论，如图2-8所示。任一点A处的应力分量计算式为 图2-8 对径受压圆盘 2-3 厚度测定法 这一方法主要是实验的方法。当平面模型受力后，各点的受力状态不同，因此沿各点厚度方向的变化也不一样。若能测出各点在厚度方向的变化值，将其带入广义胡克定律就可以求出模型平面内的主应力和。再与等差线代表的各相应点多的主应力差值联合求解，即可得到各点的单个主应力值。 模型受力后，模型内各点沿厚度方向上的相对变形为 =d/d

10、（a）为平面模型内某点的厚度变化值， 为模型厚度。另一方面，根据平面应力状态的胡克定理，沿模型厚度方向的应变为=- u/E( ) （b）（a），（b）二式相等，得 =-d/d*(E/u) （2-9）式中，E ，u 为模型材料的弹性模量和泊松比，是已知常数。只要求出平面模型各点沿厚度方向的变化量 d ，即可得出个点的主应力和。这个方法计算简单是最大的优点。可是，对测量仪器的精度要求很高。 d/d约为万分之一。旧有的一些量测仪器不能满足这个要求，因此，这个方法过去很少被人采用。 在本世纪60年代发展起来的全息光弹性，却可以把模型内各点的厚度变化量用全息照相的办法反映出来，而且可把模型内厚度变化量相

11、同的点窜连成线显示出来，这些线称为等厚线，亦称等和线。这就是说，同一条等和线表示主应力和相等的点位的连线。这样，主应力和与主应力差各由等和线与等差线索代表，对应点的主应力和，差值相加或相减即得到单个主应力值（全息光弹性见本书第八章）。 2-4 数值解法求主应力和 根据弹性力学公式 =0 （a）已知主应力和为常数，可以用（ ）代替上式的（ ），则上式成为 =0 （2-10）令 = ，则上式 =0 （2-10a ）今把上式平面受力模型划分成若干网络，如图2-9 a 所示。现把偏微分方程（2-10 a）改写成差分方程式，写出模型各内节点上u 的差分方程，于是，模型各内节点上的 u 所表示的主应力和即

12、由一系列的代数方程来表达了，这样，就把一个求解偏微分方程的问题变成了求解一系列代数方程的问题。联立求解这些代数方程既得各节点上的主应力和。然后再与对应节点上的等差线所代表的主应力差得方程联立求解，即可把单个主应力值分别求出。（a）网络划分 （b）差分关系 图2-9 平面模型网格例如，对于图2-9中0 点主应力和的差分方程推导如下，点0的主应力和以 u0 表示，与坐标轴x之间的关系如图 所示。代入方程(2-10 a )即得 =0 （2-10 b）将上式二阶偏微分方程改写为差分方程，点0的主应力和 对坐标轴 的右、左极限分别为（a）其两阶导数为（b）同理（c）代入到（2-10b），整理后得（2-1

13、1a）若B=c=d，ac，a/c= ，代入上式，则得（2-11b）若c=d，ac，bd，a/c= ，b/d= ，则得（2-11c）若a=b=c=d，则简化为（2-11）上式称为四点方程。每个内节点都可以写出一个这样的四点方程。在边界处，用已知的主应力和值代入，联立这些方程即得出各内节点上的主应力和值。例题2-2 一对径受压圆盘，直径D=5cm，其等差线如图2-7b所示。要求求出受力模型内各点的主应力 和 。解：由于圆盘形状及受载方式为对称于 轴和 轴，故取圆盘的四分之一经行考察即可。先把圆盘划分成若干网格，使间距等于0.5 cm ，对各节点编号。载荷作用点以 表示，除该点有应力外（先任意假定为

14、100）在圆盘其余边界上全部为零，如图2-10所示。 图2-10 圆盘节点 应用上述方程（2-11）建立各节点的主应力和方程。对于节点1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,15,16,18,19,22,23，全部应用四点方程（2-11），建立18个方程。对于节点17,20,11，和21，应用式（2-11 ），共建立四个方程，例如，建立点17方程，b=c-d=0.5cm, a=R*R-0.5*0.5-2.0,故 =0.450/0.5=0.9,代入式(2-11b)，得同理的建立点20方程，b=c=d=0.5cm,a=2.5*2.5-1-(2.0)=2.291-2.0=0.291cm

15、,故 =0.291/0.5=0.582代入式（2-11b）得同理得共有22个节点，现共建立22个方程，解决22个方程。解决的办法可以是迭代法，手工计算，也可以利用计算机计算。一迭代法 现把22个方程安迭代顺序分为两组写在下面第一组：第二组： 先任意假定一组中的各个数，例如，先假定第一组中各个数据，将假定的这些数据分别代入第二组中进行计算，将算出的结果又待会第一组格式中计算，如是反复进行，直到这些数据 前后两次接近为止。迭代计算顺序及结果见表2-4.由解拉普拉斯差分方程，可得 =式中 是比例常数。例如，求解圆盘水平直径上的应力，有等差线得解式（），（）得根据半圆的平衡条件，可得 （2-12）把式

16、（）代入，并用有限差数值积分计算如下即 883=6.1 +560 ，则 =53以 值乘各节点处的 即得个节点的主应力和，即表2-5中（ ）一项的由来。例如，点5.-7.14 =-7.14*53=-378.表2-5给出了应力 值及其误差，可见结果是满意的。二矩阵求解 仍以上面的网格标准说明计算过程。把上面22个方程按未知数， ， ， ，排成行列阵，把未知数的系数排成方阵 ，把每个方程的常数项拍成列阵，用公式简式如下（）只要排除方阵，按已有的现存程序，将输入计算机后，即可得到的逆阵，即可得到各未知的数值。即（）这里由于篇幅所限，把矩阵和逆阵的数据表都省略去了，但从中可列出几个数据计算如下，以资比较

17、。当然，这里划分的网格是粗糙的，主要是说明其运算过程。如果弹性体是直边边界，且承受均布载荷时，则按照以上过程计算各主应力值，其计算过程还会变得更简易一些。如果计算承受均布载荷深梁的内部应力，结合光弹性试验和差分法就变的更容易了。2-科克尔菲伦计算法计算对称截面的应力法由科克尔费伦提出的沿主应力迹线的定积分法是平面光弹性大众最老的计算方法之一。首先画出主应力迹线网，等倾线网和等差线网，然后通过计算或图解的办法来获得单个主应力值。计算时，必须选择已知两主应力值的某点作为起始点。例如，某边界点：设二主应力迹线各用和表示，如图所示，正交与点，。下面讨论二种特殊情况：（一）当轴为对称轴时，且第一主应力迹

18、线和零度等倾线与轴重合。（二）当轴为对称轴时，且第二主应力迹线和零度等倾线与轴重合。以上二种情况下的科克尔菲伦法的基图关系本公式为（）式中代表第一主应力，代表第二主应力，式中第一式适合于上述第一种情况，第二式适合于上述第二种情况，二种情况各如图，所示。式（）很少有积分的可能。一般，应用差分公式按半图解法进行计算，先用一具体例子来说明式（）的用法。如图所示第五章 三维光弹性 当前，欲解决三维物体内部的直力分析问题，还是一个较复杂、较困难的问题。对于这类问题，精确的解析求解往往不可能得到，而不得不借助于在实验观察的基础上进行简化，作近似解析和数值法来讨论。显然，通过实验作出问题的解答是十分重要的途

19、径。由于光测法本身固有的特性，在这个领域中理论和有关技术以及模型材料的发展，使得光测法成为解决三维物体内部应力的有力工具。本章介绍的三维光弹性冻结切片法是目前实验分析三维物体内部应力分布的最普遍和实用的实验方法。三维光弹性沿着两条途径在发展，它们是非破坏的方法（包括下章介绍的散光法）和冻结切片法。阿朋(AhenHK)近20年的开拓性工作，在非破坏的三维光弹性方法方面已取得了很大的进展，特别是对偏振光的描述使用了现代的表达手段，它们除了琼斯计算法外，还有庞加莱(Pancharainam，S)、米勒(Muller，H)计算等工具，这样使问题的解决变得较为容易。当然对于非破坏的三维光弹性方法的研究还

20、有许多工作要做，还有不步困难有待克服， 三维光弹性应力冻结是用有冻结性能的材料（觅第三章）制作的模型，放入烘箱内加载，并缓慢升温至模型材料的冻结温度，恒温一定时间后，再缓慢洚至室温。这样，模型中的应力就被冻结了。在室温下卸除载荷，对模型切片作类似于平面光弹性分析，最后可求出其中的应力。产生应力冻结现象的原因可以用分子结构双相说来解释。冻结应力反块冻结温度高弹态）下的应力，已冻结了应力的模型切削机械加工也不会改变这种应力状态。5 1主应力和次主应力 对三维受f1二光弹性分析时，可以把它设想为无限多个平板按照平面光弹性理论来解决。对每一块这样的平F板，沿其厚度巾应力的大小和方向可视为恒定的，如图5

21、1所示。当平面偏振光垂直f微分平板xy入射时也遵守布卢斯特定律，即把入射光分解为沿微分平板内两主应力方向的平面偏振光，且两束光之问将产生一滞后量da，它正比于微分板厚度d按第一章中公式（1 15)为，。为三维慎型材料冻结条纹值（N、m级），|为入射光波长。口口，是与入射光相垂直的微分平板内的主应力，但并不是三维模型中的真正主应力，故称为次主应力a，a.的指向称为次主应力方向。 次主应力的概念用三维光弹性效应的实验来说明。现考察一冻结了应力的纯弯曲梁模型，如图5 2所示。切出相距为d的一横段，若偏振光方向沿z方向照射切片，则不产生光弹性效应。也就是说与光线一致的正应力a.与光弹性效应无关。又如一

22、冻结了纯扭转的模型，取出应力单元体如图5 3所示。取偏振光照射方向为c结果rt，也没有 光弹性效应，即与光线共面的切应力系也不产生光弹性效应。综合这两个情况，对于图5-4所示的一般受力状- 态.单元体，当光线沿z轴照射时，应力分量不产生光弹唯一的一组直正主应力，它与入射光方向”无关，仅仅取决于模型形状和受载情况。这是真正主应力和次主应力的根本区别，显然，当光线沿模型内某点的主应力方向照射时则由此获得的次主应力也就是该点的真正主应力了、5-2应力分量与应力椭球 三维光弹性应力分析是以实验途径去分析弹性体的应力。而应力是用一定坐标糸下的应力分量来表示的它们组成二阶对称张量，设受力弹性体内某点M新老

23、两坐标各为oxyz和z两坐标轴间的方向余弦如表5 l所示。该点的应力分量在两坐标系中分别用口，（户q一，一，z）和d巾，m . n - i），z）表示，则两者之间存在熟知的坐标转换关系，用张量形式表示成与bX4，盯。；叮户，卅n时力男 rlvl力通常写成r，r上式所表示的坐标转换关系式用矩阵形式表示为 x -Izwx”(5-5)式中，三z一叮，。为新坐标系中应力矩阵，三。一叮刚为原坐标系中应力 ：， 4矩阵，/x一“：）（一m，H一声，口）为新坐标系的轴向单位矢量在原 罔5 6坐标系坐标系中的方向余弦矩阵/X H为/KH的转置矩阵。而坐标转换关系式的应力分量表示式为通过坐标转换关系式，可以确定

24、任意方向上的应力，从而坐标系中6个应力分量完全确定了该点的应力状态。 下面讨论应力状态的几何表示。 现将y，：坐标轴的方向与M点的3个主应力方向1，2，3重合，法向为s的面上正应力吼用上面的坐标转换关系式可以用主应力表示为 o. - o，“！j 2+吼()9+吼(i)2 (5 S) 厂_再定义该面上的折算正应力为a一吾。折算正应力矢端在主方向坐标系中的投影用e，_，f表示，则 e竺；I sj71 -，鼻，f=；r (5 9)将上式代人式(5-8)后，得a182+d2r2+d3一l (5-10)上式给出如图57所示的椭球，称为柯西(Cauchy，BAL)应力椭球。而坐标轴方向就是曲面主轴方向。从

25、M点至曲面上任意一点R给出M点上的某一折算正应力的大小及其作用面的法线方向，已知折算正应力，从面实际正应力d，为以一（士）2( 5-11) 图s 7柯西应力椭球正应力以的大小用图中长度MQ表示。利用微分几何理论不难证明曲面上R点的法向Rh的3个方向余弦和s面上总应力凡的3个坐标轴上的分量成正比。这就是说s面上总应力的方向与R点处曲面的法线方向重合。已知总应力F。的方向和正应力以后，用图解就求出总应力F。- MK和剪应力L- wn，从而可知，柯西应力椭球是几何表示出一点的应力状态+ 在光波的电磁理论中有与此类似的折射率椭球，称菲涅耳53三维光弹性的应力光学定律j 2) 由于同一点M卜的菲涅耳（椭

26、球和柯西椭球同轴，故_以通过一蝗变换，得到主折射宰与相应的主应力（和主应变）之间的关系以上两式由威尔亥(We rteim)首先从实验中发现，即所谓威尔亥应力与应变光学定律。也就是偏振光沿模型主力向透射时的三维应力一光学定律。由此可直接推导出平面应力一光学定律式（1一15）。 三维光弹性冻结法切片法分析，是将一个三维模型用切片近似表示的平面问题来研究。对于一厚度为d的切片，在偏振光场中，使光线垂直于该切片平面入射，入射后沿切片的次主应力方向分解为二束偏振光，其折射率分别为“：，”。出射切片后，这两束偏振光之阿产生光程差d，其相对光程差埘一车形成等差线条纹级数。根据三维光弹性应力一光学定律式(5一

27、13)，作类似平面问题推导，可以得出与式（5一1）本质上相同的冻结切片中的应力一光学定律 。mfo 口i-az-丁 （5一l 5）式中，口，d：为切片厚度内次主应力的平均值，为材料的冻结条 /10纹值，m为切片的相对光程差。同样，所获得的等倾线代表切片厚度次主应力方向的平均值。当光线照射方向取为切片的主方向时，则式(5 15)中次主应力d。，a：就是真正主应力力一，一，了，其等倾线表示出真正主方向。 三维问题中应力在光线照射力向上是变化的，切片分析结果反映出切片厚度内的平均效应。为了精确分析给定点的应力，切片应尽可能薄。但切片太薄，屏幕上条纹级数相应地碱少，影响条纹级数采集精度。 一般切片厚度

28、取.3mm左有为宜。；5 4正射和斜射应力分析原理 如何从已冻结了应力的切片巾分析确定其应力呢？切片在偏振光场中有正射和斜射两种装置。 一、正射法 在切片上建立直角坐标、系Mzyz，如图5 8所示切片置于平面偏振光场中光线沿z方向正射。由此给出等差线条纹级数坍，和等倾角仉（也就给出第一次主应方向与，轴的央角a。）下面从应力光学定律(5-is)出发推出用州：，以表示应力分量a，a，f，的关系式。考虑切片巾某点M，M点在固定坐标系Orvz和次主应力主方向坐标系Mr2Z中应力分量之间的关系，可从应力分量坐标系转换关系式(5 6)中推知： 口，一(di)；c Os3如+（啦）：sIn 2口； b） d

29、y -（口L）SLn 2a，+(a,)，cos 2瓯 ） L，一()。co sa.sin虬 （口2）：sIn吐cos% 心）式中，峨的正值方向为T轴逆时针转到(盯，)，方向。它由等倾线资料中确定。从式()减式），有 叮：-a，一（叮j），一（叮z），lcosZa， q）式(c)给出 r，=丢1d：）j一(叮：).lsin2哎 (e)将式(515)代入式（和“），即可获.和应力分量o，民，r。之间的关系式 a，“一-df .osU.lcs-i6) r，一-2 sn2a. j 由此可见，从对切片的一次正射中获得二组光弹性资料等差线和等倾线，可以分离出切平面内的正应力之差和剪应力。 二、斜射法 考察

30、光线斜入射切片的情况如图5-9所示在切片上建立两组坐标系O和0王y 42，光线沿z斜入射切片。约定的正值方向，为z 匿5.9印H斜射轴方向朝o点观察时，z轴绕0点在Ovz平面内逆时针旋转至斜射光z为正。参照式(516)不难写出用表示应力分量一r，一。的关系式 or-a, 妇， 。一号j。脚J利用应力分量坐标变换式( 5 5）将式(a)中d、，r，、f用i Ory。系下的应力分量表示。从I刮59中不难写出两个坐标糸Onjz和Oivz之日j的方向余弦如表5 2所示。将表中值代入式(5 6)给出表5-2两坐标系间方向余弦上式中当p，-。时即可得到正射式（5-16）的结果，其中。-m：给出后，解得（以一口。），