八年级数学三角形全等常用辅助线专题分类讲解.docx
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八年级数学三角形全等常用辅助线专题分类讲解
八年级数学三角形全等常用辅助线专题分类讲解
(一)中线倍长法:
例1、求证:
三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知:
如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:
AD﹤
(AB+AC)分析:
要证明AD﹤
(AB+AC),就是证明AB+AC>2AD,也就是证明两条线段之和大于第三条线段,而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点,没有构成一个三角形,不能用三角形三边关系定理,因此应该进行转化。
待证结论AB+AC>2AD中,出现了2AD,即中线AD应该加倍。
证明:
延长AD至E,使DE=AD,连CE,则AE=2AD。
在△ADB和△EDC中,
∴△ADB≌△EDC(SAS)∴AB=CE又在△ACE中,AC+CE>AE∴AC+AB>2AD,即AD﹤
(AB+AC)小结:
(1)涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。
课题练习:
中,AD是
的平分线,且BD=CD,求证AB=AC
例2:
中线一倍辅助线作法
△ABC中方式1:
延长AD到E,
AD是BC边中线使DE=AD,
连接BE
方式2:
间接倍长
作CF⊥AD于F,延长MD到N,
作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD,
连接BE连接CD
例3:
△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围
例4:
已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:
BD=CE
课堂练习:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
例5:
已知:
如图,在
中,
,D、E在BC上,且DE=EC,过D作
交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分
课堂练习:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:
∠C=∠BAE
作业:
1、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
2、已知:
如图,∆ABC中,∠C=90︒,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:
CT=BE.
3:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
4:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:
∠C=∠BAE
5、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
(二)截长补短法
例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠BAD+∠BCD=180°.
分析:
因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
例2.如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:
CD=AD+BC.
例3.已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:
∠BAP+∠BCP=180°.
例4.已知:
如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.
求证:
AB=AC+CD.
作业:
1、已知:
如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:
BE+DF=AE.
2、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:
AD平分∠CDE
(三)其它几种常见的形式:
1、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形。
例:
如图1:
已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE+CF>EF。
2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例:
:
如图2:
AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE+CF>EF
练习:
已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4,求证EF=2AD。
3、延长已知边构造三角形:
例如:
如图6:
已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,
求证:
AD=BC
4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如:
如图7:
AB∥CD,AD∥BC求证:
AB=CD。
5、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例如:
如图8:
在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E。
求证:
BD=2CE
6连接已知点,构造全等三角形。
例如:
已知:
如图9;AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:
∠A=∠D。
九、取线段中点构造全等三有形。
例如:
如图10:
AB=DC,∠A=∠D求证:
∠ABC=∠DCB。