九年级圆教案.docx

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九年级圆教案

九年级圆教案

【篇一：

九年级圆的教学设计】

24.1《圆》教学设计

一、教学目标

知识技能:

1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质.

2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.

数学思考:

1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系.

2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力.

问题解决:

1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.

2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题.情感态度：

在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.

二、重难点分析

教学重点：

垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论．

垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点．

对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件．

圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握．

教学难点：

垂径定理及其推论；圆周角定理的证明．

垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．

圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.

三、学习者学习特征分析

圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课

圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积.

早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.

这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.

现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？

为什么不做成椭圆形和四边形的呢？

这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问.

（二）合作交流，探索新知

1．观察图形，引入概念

（1）圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．（多媒体图片引入）

（2）观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

（3）圆的概念：

让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是圆.（学生可以在讨论、交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到圆的定义：

在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径．（多媒体动画引入）

（4）圆的表示方法

以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．

（5）从画圆的过程可以看出：

①圆上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）；

②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，圆心为o、半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．（把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，在几何中十分重要，因为这实际上就是关于轨迹的概念．圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹．事实上，①保证了图形上点的纯粹性，即不杂；②保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条件的点．①②同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”．）

（6）由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性．

问题1，车轮为什么做成圆形？

问题2，如果做成正方形会有什么结果？

（通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形．教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳．）

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．

2.与圆有关的概念

（1）连接圆上任意两点的线段（如线段ac）叫做弦.

（2）经过圆心的弦（如图中的）叫做直径．

（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

小于半圆的弧（如图中的

abc，）叫做优弧．

（4）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

（5）能够重合的两个圆叫做等圆．（容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等．））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的

（6）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

（对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别．例如，直径是弦，但弦不一定是直径．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆即不是劣弧，也不是优弧．）

3.垂直于弦的直径

（1）创设情景引入新课

问题：

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

）

（2）圆的对称性的探究

①活动：

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？

由此你能得到什么结论？

（学生可能会找到1条，2条，3条?

教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生，让他们在互相交流中，认识到圆的对称轴有无数多条，要鼓励学生表达自己的想法）

②得到结论：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

（3）垂径定理及其逆定理

①垂径定理的探究

如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．

（1）圆是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

?

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？

为什么？

（旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性．引导学生理解，证明垂径定理的基本思路是：

先构造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦；然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论）（多媒体动画引入）

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

②垂径定理的逆定理的探究

（仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论）

垂径定理的逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③解决求赵州桥拱半径的问题

4.弧，弦，圆心角

（1）通过实验探索圆的另一个特性

如图，将圆心角∠aob绕圆心o旋转到∠a’ob’的位置，你能发现哪些等量关系？

为什么？

（多媒体图片引入）（教科书展示了一种证明方法——叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓励．）

结论：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等．

（2）对

（1）中结论的逆命题的探究

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_____．（教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索）

（3）应用新知，体验成功

例.如图，在⊙o中，

5.圆周角

（1）创设情境引入概念

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心o的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置c，他们的视角（∠aob和∠acb）有什么关系？

如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置d和e，他们的视角（∠adb和∠aeb）和同学乙的视角相同吗？

概念：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

（意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系．教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：

角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．）

（2）圆的相关性质

①动手实践

活动一：

分别量一下所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点c在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？

你能发现什么规律？

活动二：

再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？

（利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试）得到结论：

同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

②为了进一步研究上面发现的结论，在⊙o任取一个圆周角∠bac，将圆对折，使折痕经过圆心o和∠bac的顶点a．由于a的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：

在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部．

（学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考．引导学生观察后两种情况，让学生思考：

这两种情况能否转化为第一种情况？

如何转化？

当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题．这是解决问题时常用的策略．）

由此得到圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

进一步我们还可以得到下面的推论：

由圆周角定理可知：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

（3）圆内接多边形的定义及其相关性质

①定义：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．

②利用圆周角定理，我们的得到关于圆内接四边形的一个性质：

圆内接四边形的对角互补．

（三）应用新知，体验成功

利用资源库中的“典型例题”进行教学.

（四）课堂小结，体验收获（ppt显示）

这堂课你学会了哪些知识？

有何体会？

（学生小结）

1.圆的有关概念；

2.垂径定理及其逆定理；

3.弧，弦，圆心角的相关性质；

4.圆周角的概念及相关性质;

（五）拓展延伸，布置作业

利用资源库中或手头的相关材料进行布置.

五、学习评价：

（一）选择题

1．如图，如果ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，那么下列结论中，?

错误的是（）

（a）ce=de．（b）．（c）∠bac=∠bad．（d）acad．

1题图2题图3题图

2．如图，在⊙o中，p是弦ab的中点，cd是过点p的直径，?

则下列结论中不正确的是（）

（a）ab⊥cd．（b）∠aob=4∠acd．（c）

3．如图，⊙o中，如果=2，那么（）．（d）po=pd．

（a）ab=ac．（b）ab=ac．（c）ab2ac．（d）ab2ac．

4题图5题图6题图

5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）

（a）∠4∠1∠2∠3．（b）∠4∠1=∠3∠2．（c）∠4∠1∠3∠2．（d）∠4∠1∠3=∠2．

【篇二：

九年级数学圆教案】

圆

第一课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?

并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重难点、关键

1．重点：

垂径定理及其运用．

2．难点与关键：

探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．

2．你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：

（1）如车轮、杯口、时针等．

（2）圆规：

固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，?

另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：

图上各点到定点（圆心o）的距离有什么规律？

问题2：

到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结．

（1）图上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新定义：

圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点组成的图形．

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段ac，ab；②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段ab；

ac”③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以a、c为端点的弧记作?

，读作“圆ac”或“弧ac”abc叫做优弧，?

小于半圆的弧（如图所示）弧?

．大于半圆的弧（如图所示?

?

?

叫做劣弧．ac或bc

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题．

1．圆是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

?

你能找到多少条对称轴？

2．你是用什么方法解决上述问题的？

与同伴进行交流．

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?

我能找到无数多条直径．3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，ab是⊙o的一条弦，作直径cd，使cd⊥ab，垂足为

m．

（1）如图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？

说一说你理由．（老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．

?

，?

?

，即直径cd平分弦ab，并且平分?

ac?

bc

（2）am=bm，?

ad?

bdab及?

adb．

这样，我们就得到下面的定理：

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：

直径cd、弦ab且cd⊥ab垂足为m

?

，?

?

.ac?

bc求证：

am=bm，?

ad?

bd

分析：

要证am=bm，只要证am、bm构成的两个三角形全等．因此，只要连结oa、

?

ob或ac、bc即可．

证明：

如图，连结oa、ob，则oa=ob在rt△oam和rt△obm中

?

oa?

ob

?

?

om?

om

∴rt△oam

≌rt△obm

∴am=bm

∴点a和点b关于cd对称∵⊙o关于直径cd对称

?

重合，?

?

重合．∴当圆沿着直线cd对折时，点a与点b重合，?

ac与bcad与bd?

，?

?

∴?

ac?

bcad?

bd

进一步，我们还可以得到结论：

（本题的证明作为课后练习）

?

d，点o是c?

d的圆心，?

其中例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中c

?

d上一点，且oe⊥cd，垂足为f，ef=90m，求这段弯路的半径．cd=600m，e为c

分析：

例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：

如图，连接oc

设弯路的半径为r，则of=（r-90）m∵oe⊥cd∴cf=

12

cd=

12

根据勾股定理，得：

oc2=cf2+of2即r2=3002+（r-90）2解得r=545∴这段弯路的半径为545m．

三、巩固练习

教材p86练习p88练习．

四、应用拓展

例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽ab=?

60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？

请说明理由．分析：

要求当洪水到来时，水面宽mn=32m?

是否需要采取紧急措施，?

只要求出de的长，因此只要求半径r，然后运用几何代数解求r．解：

不需要采取紧急措施

设oa=r，在rt△aoc中，ac=30，cd=18r=30+（r-18）r=900+r-36r+324解得r=34（m）

连接om，设de=x，在rt△moe中，me=16342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合设）∴de=4

∴不需采取紧急措施．

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：

1．圆的有关概念；

2

2

2

2

2

b

2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．3．垂径定理及其推论以及它们的应用．六、布置作业

1．教材p94复习巩固1、2、3．2．车轮为什么是圆的呢？

3．垂径定理推论的证明．4．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题．1．如图1，如果ab为⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，那么下列结论中，?

错误的是（）．

?

?

bd?

c．∠bac=∠badd．acad

a．ce=deb．bc

c

（1）

（2）（3）

2．如图2，⊙o的直径为10，圆心o到弦ab的距离om的长为3，则弦ab的长是（）

a．4b．6c．7d．83．如图3，在⊙o中，p是弦ab的中点，cd是过点p的直径，?

则下列结论中不正确的是（）

?

d．po=pda．ab⊥cdb．∠aob=4∠acdc．?

ad?

bd

二、填空题

?

中点，oe交bc于点d，bd=3，ab=10，则ac=_____．1．如图4，ab为⊙o直径，e是bc

a

b

（4）（5）

2．p为⊙o内一点，op=3cm，⊙o半径为5cm，则经过p点的最短弦长为________；?

最长弦长为_______．3．如图5，oe、of分别为⊙o的弦ab、cd的弦心距，如果oe=of，那么_______（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1．如图24-11，ab为⊙o的直径，cd为弦，过c、d分别作cn⊥cd、dm?

⊥cd，?

分别交ab于n、m，请问图中的an与bm是否相等，说明理由．

2．如图，⊙o直径ab

3．（开放题）

ab是⊙o的直径，ac、ad是⊙o的两弦，已知ab=16，ac=8，ad=?

8，?

求∠dac的度数．

答案:

一、1．d2．d3．d

二、1．82．8103．ab=cd

三、1．an=bm理由：

过点o作oe⊥cd于点e，则ce=de，且cn∥oe∥dm．∴on=om，∴oa-on=ob-om，

∴an=bm．2．过o作of⊥cd于f，如右图所示

∵ae=2，eb=6，∴oe=2，

∴of=1，连结od，

在rt△odf中，42=12+df2，．3．

（1）ac、ad在ab的同旁，如右图所示:

∵ab=16，ac=8，ad=8

【篇三：

新人教版九年级数学上册圆教案24-1-1】

第一课时：

圆

（一）

教学目标：

1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；

2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；

3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；

4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.

教学重点：

点和圆的关系

教学难点：

以点的集合定义圆所具备的两个条件

教学方法：

自主探讨式

教学过程设计（总框架）：

一、创设情境，开展学习活动

1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：

定义1：

在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径.记作⊙o，读作“圆o”.

2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.从旧知识中发现新问题

观察：

共性：

这些点到o点的距离相等

想一想：

在平面内还有到o点的距离相等的点吗？

它们构成什么图形？

（1）圆上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径的长r）；

（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.定义2：

圆是到定点距离等于定长的点的集合.3、点和圆的位置关系问题三：

点和圆的位置关系怎样？

（学生自主完成得出结论）

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

“数”“形”

点在圆上d=r；点在圆内dr；点在圆外dr.

二、例题分析，变式练习

练习：

已知⊙o的半径为5cm，a为线段op的中点，当op=6cm时，点a在⊙o________；当op=10cm时，点a在⊙o________；当op=18cm时，点a在⊙o___________.例1求证：

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.

已知（略）

求证（略）分析：

四边形abcd是矩形

oa=oc，ob=od；ac=bdoa=oc=ob=od要证a、b、c、d4个点在以o为圆心的圆上

证明：

∵四边形abcd是矩形

∴oa=oc，ob=od；ac=bd

∴oa=oc=ob=od

∴a、b、c、d4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.

符号“”的应用（要求学生了解）

证明：

四边形abcd是矩形

oa=oc=ob=od

a、b、c、d4个点在以o为圆心，oa为半径的圆上.

小结：

要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：

我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）

练习1求证：

菱形各边的中点在同一个圆上.

（目的：

培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.a层自主完成）

练习2设ab=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.

（1）和点a的距离等于2cm的点的集合；

（2）和点b的距离等于2cm的点的集合；

（3）和点a，b的距离都等于2cm的点的集合；

（4）和点a，b的距离都小于2cm的点的集合；（a层自主完成）

三、课堂小结

问：

这节课学习的主要内容是什么？

在学习时应注意哪些问题？

在学生回答的基础上，强调：

（1）主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；

（2）在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；

（3）注重对数学能力的培养

作业:

练习册.