《高等数学》经管类教学大纲.docx
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《高等数学》经管类教学大纲
《高等数学》（经管类）教学大纲
大纲说明
课程代码：
4915001
总学时：
128学时（讲课128学时）
总学分：
8分
课程类别：
必修
适用专业：
经管类本科一年级学生
预修要求：
初等数学
一、课程性质、目的、任务
本课程是本科经管类各专业的一门公共基础课，教学内容主要有一元与多元微积分；级数；常微分方程初步。
本课程教学目的是使学生获得从事经济管理和经济研究所必需的微积分方面的知识；学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；培养抽象思维和逻辑推理的能力；树立辩证唯物主义的观点，同时，本课程也是后继经济应用数学（如概率统计等）的必要基础。
二、课程教学的基本要求：
1、正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：
函数、极限、无穷小、连续、导数、微分、不定积分、定积分、曲面的方程、偏导数、全微分、二重积分、常微分方程、无穷级数的收敛与发散性、边际、弹性。
2、正确理解下列基本定理和公式并能正确应用：
极限的主要定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、定积分作为变上限的函数及其求导的定理、牛顿—莱布尼兹公式。
3、牢固掌握下列基本公式：
基本初等函数的导数公式、基本积分公式、函数ex、sinx、cosx、
、ln（1+x）的幂级数展开式。
4、熟练运用下列法则和方法
函数的和、差、积、商求导法则与复合函数的求导法则、隐函数的求导法、反函数的求导法、直接积分法、换元积分法、分部积分法、二重积分计算法、级数收敛性的比较判别法，达朗贝尔判别法、莱布尼兹判别法、幂级数收敛半径的求法、变量可分离的一阶微分方程的解法、一阶线性微方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法、拉格朗日乘数法、最小二乘法。
5、会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的经济问题。
6、在学习过程中，逐步培养熟练的运算能力，抽象的思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力。
知识的获得与能力的培养是同一过程的两个侧面，知识是发展能力的内容，能力是掌握知识的条件，我们既努力获得新知识，同时也注意不断提高分析问题和解决问题的能力。
三、教学方法与教学手段的建议
本课程以教师讲授为主，学生课堂练习为辅，再适当辅以课件协助教学；布置适量的课外作业，通过批改作业动态了解学生的学习状况，对个别的学生课外加以辅导。
四、大纲的使用说明：
本大纲参照中国人民大学出版社出版的《微积分》（第三版）赵树嫄主编制订，适用经管类本科专业，不同的专业可根据需要适当删节处理。
大纲正文
第一章函数学时：
2学时（讲课2学时）
本章讲授要点：
1、了解集合论的一些最基本概念，正确使用集合运算的符号。
2、熟悉各类区间的意义，能正确将满足一定条件的实数集表示成区间。
3、理解函数概念，掌握函数的表示法。
4、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
5、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。
6、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
7、会建立简单应用问题中的函数关系式。
重点：
函数的定义，性质，几类重要的的函数
难点：
复合函数的分解
第一节集合
1、集合及其表示法
2、集合的运算
第二节实数
1、实数的概念
2、有理数与无理数的稠密性
3、实数的连续性
4、绝对值及其运算性质
5、区间和邻域
第三节函数关系
1、函数概念
2、定义域与值域
3、确定函数关系的两个要素
第四节函数表示法
1、三种表示法
2、分段函数
3、隐函数
第五节建立函数关系的例题
第六节函数的几种简单性质
1、奇偶性
2、周期性
3、单调性
4、有界性
第七节反函数、复合函数
反函数
第八节初等函数
1、基本初等函数
2、初等函数
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第二章极限与连续学时：
12学时（讲课12学时）
本章讲授要点：
1、了解数列极限与函数极限（包括左、右极限）的概念。
2、了解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小阶的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。
3、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，会应用两个重要极限。
4、理解连续性的概念（含左连续与右连续）。
5、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性，最值性和介值性）及其简单应用。
重点：
数列极限，函数极限，连续函数的概念与性质
难点：
极限的数学定义，极限的计算
第一节数列的极限
1、数列
2、数列的极限
第二节函数的极限
1、当
时函数
的极限
2、当
时函数
的极限
3、左极限与右极限
4、关于函数极限的定理
第三节变量的极限
1、两种变量
2、三种过程
3、极限存在与有界的关系
第四节无穷大量与无穷小量
1、无穷大量
2、无穷小量
3、无穷小与无穷大的关系
4、无穷小量的阶
第五节极限的运算法则
极限的四则运算法则及综合运用
第六节两个重要极限
1、极限存在的准则
2、两个重要极限
第七节函数的连续性
1、连续函数的概念
2、间断点
3、连续函数的运算法则
4、闭区间上连续函数的性质
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第三章导数与微分学时：
14学时（讲课14学时）
本章讲授要点：
1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。
2、掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则及复合函数求导法则；掌握反函数与隐函数求导法以及取对数求导法。
3、了解高阶导数的概念，会求二阶导数以及较简单的函数的n阶导数。
4、了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
重点：
导数和微分的定义，性质和计算
难点：
复合函数求导，隐函数求导，微分的定义和本质
第一节引出导数概念的例题
1、变速直线运动的速度
2、切线问题
第二节导数概念
1、导数定义
2、导数的几何意义
3、左、右导数
4、可导与连续的关系
第三节导数的基本公式与运算法则
1、几个基本初等函数的导数
2、和差积商的导数
3、反函数的导数
4、复合函数的导数
5、隐函数的导数
6、取对数求导法
第四节高阶导数
第五节微分
1、微分的定义
2、微分的几何意义
3、微分法则
4、微分形式的不变性
5、微分应用
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第四章中值定理及导数的应用学时：
22学时（讲课22学时）
本章讲授要点：
1、理解罗尔定理、拉格朗日定理及柯西定理的条件与结论，掌握这三个定理的简单应用
2、会用洛必达法则求极限
3、掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握极值，最大值和最小值的求法（含较简单的应用题）
4、会用导数判断函数图形的凹向和拐点，会求函数图形的渐近线。
5、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。
6、了解导数的经济意义（边际与弹性的概念）及其应用
重点：
中值定理，用“洛比达”法则求极限，单调性与极值，凹向与拐点，导数的经济学应用
难点：
用中值定理证明有关问题
第一节中值定理
1、罗尔定理
2、拉格朗日定理
3、柯西定理
第二节未定式的定值法――洛必达法则
1、
和
型的极限
2、其它未定式的极限
第三节函数的增减性
第四节函数的极值
第五节最大值与最小值，极值的应用问题
1、最大值与最小值求法
2、极值应用问题
第六节曲线的凹向与拐点
1、凹向的概念
2、拐点的概念
3、拐点求法
第七节函数作图
1、渐近线的概念与求法
2、函数作图
第八节边际分析与弹性分析简介
1、边际函数
2、成本
3、收益
4、函数的弹性
5、需求函数与供给函数
6、需求弹性与供给弹性
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第五章不定积分学时：
14学时（讲课14学时）
本章讲授要点：
1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积方的基本性质。
2、掌握基本积分公式，会利用基本积分公式求不定积分。
3、掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。
重点：
四种积分方法
难点：
凑微分法，积分综合类型的计算
第一节不定积分的概念
1、原函数
2、不定积分
3、不定积分的几何意义
第二节不定积分的性质
第三节基本积分公式
第四节换元积分法
1、第一类换元法（凑微分法）
2、第二类换元法
第五节分部积分法
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第六章定积分学时：
18学时（讲课18学时）
本章讲授要点：
1、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理。
2、了解变上限定积分定义的函数，并会求它的导数。
3、掌握牛顿――莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。
4、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。
5、会利用定积分求平面图形面积和旋转体体积，及一些简单的经济应用问题
第一节引例
1、曲边梯形的面积
2、变速直线运动的距离
第二节定积分的定义
第三节定积分的基本性质
第四节定积分与不定积分的关系
1、变上限定积分的概念及性质
2、牛顿――莱布尼兹公式
第五节定积分的换元积分法
第六节定积分的分部积分法
第七节定积分的应用
1、平面图形的面积
2、旋转体体积
3、经济应用问题
第八节广义积分与Г函数简介
1、广义积分
2、Г函数（简介）
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第七章无穷级数学时：
14学时（讲课14学时）
本章讲授要点：
1、了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2、掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。
掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件。
掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。
3、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
4、会求幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域。
5、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性，逐项微分和逐项积分），会求一些简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6、掌握
的麦克劳林展开式，会利用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
重点：
级数收敛性判别，幂级数的收敛半径及收敛区间，初等函数的幂级数展开
难点：
初等函数的幂级数展开，求和函数
第一节无穷级数的概念
第二节无穷级数的基本性质
第三节正项级数
1、比较判别法
2、比值判别法（达朗贝尔判别法）
第四节任意项级数，绝对收敛
1、交错级数
2、绝对收敛与条件收敛
第五节幂级数
1、幂级数及其收敛区间
2、幂级数的性质
第六节泰勒公式与泰勒级数
1、泰勒公式
2、泰勒级数
第七节某些初等函数的幂级数展开式
1、直接展开法
2、间接展开法
幂级数的应用（近似计算）
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第八章多元函数学时：
22学时（讲课22学时）
本章讲授要点：
1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续的直观意义。
3、了解多元函数偏导数与全微分的概念，掌握求多元复合函数偏导数和全微分的方法。
4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。
会求二元函数的极值。
会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。
5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标，极坐标下）的计算方法，会计算无界区域上的较简单的二重积分。
重点：
偏导数的定义，性质及计算，二元函数的极值，二重积分的计算及简单应用
难点：
二重积分的计算
第一节空间解析几何简介
1、空间直角坐标系
2、空间任意两点间的距离
3、曲面与方程
第二节多元函数的概念
1、多元函数的定义
2、二元函数的定义域
第三节二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限
2、二元函数的连续性
第四节偏导数
第五节全微分
第六节复合函数的微分法
第七节隐函数的微分法
第八节二元函数的极值
1、二元函数的极值
2、条件极值与拉格朗日乘数法
3、最小二乘法
第九节二重积分
1、二重积分的概念
2、二重积分的计算
⑴在直角坐标系下二重积分的计算
⑵在极坐标下二重积分的计算
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
第九章微分方程与差分方程简介学时：
10学时（讲课10学时）
本章讲授要点：
1、了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解的概念。
2、掌握变量可分离的方程，齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
3、会解二阶常系数齐次线性方程和自由项为多项式，指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
4、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
5、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
6、会应用微分方程和差分方程求解一些简单的经济应用问题。
重点：
一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶常系数齐次微分方程求解，
难点：
如何将微分方程转化为可解方程
第一节微分方程的一般概念
第二节一阶微分方程
1、可分离变量的一阶微分方程
2、齐次微分方程
3、一阶线性微分方程
第三节几种二阶微分方程
1、最简单的二阶微分方程
2、不显含未知函数Y的二阶微分方程
3、不显含自变量
的二阶微分方程
第四节二阶常系数线性微分方程
1、二阶常系数线性齐次方程
2、二阶常系线线性非齐次方程
*第五节差分方程的一般概念
1、差分
2、差分方程的一般概念
*第六节一阶和二阶常系数线性差分方程
1、一阶常系数线性差分方程
2、二阶常系数线性差分方程
习题：
书上章节部分习题及适当补充与书中题类型不同的习题。
注：
*部分可根据专业实际需要作为选讲内容
本课程对学生自学的要求：
要求学生化足够多的时间进行预复习，认真独立完成作业，适当看一些参考书。
课时数分配表
章
内容
时数
一
函数
2
二
极限与连续
12
三
导数与微分
14
四
中值定理、导数的应用
22
五
不定积分
14
六
定积分
18
七
无穷级数
14
八
多元函数
22
九
微分方程与差分方程简介
10
总计
128
考核方式与要求：
综合考核；其中闭卷考试占70%，平时成绩占30%
参考书目：
1.《微积分》（修订本）赵树女原主编人民大学出版社
2.《高等数学》同济大学数学教研室主编高等教育出版社
3.《数学分析》，复旦大学编，高教出版社。
4.《新编高等数学学习辅导》（上、下册），西安电子科技大学出版社。
5.《高等数学辅导》，北京大学数学科学学院编，科学技术文献出版社。
6.《高等数学十五讲》，上海交通大学出版社。
7.《全国硕士研究生入学数学考试分析》，高等教育出版社。
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