重点难点突破
【题型一】圆的方程
【典型例题】
一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：
设圆心坐标为（0，b），半径为r，
则圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
则，解得，．
∴圆的标准方程为．
故选：
D．
【再练一题】
方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：
根据题意，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0变形为：
（x+2m）2+（y﹣1）2＝4m2+1﹣5m，
若其表示圆，则有4m2+1﹣5m＞0，
解可得：
m或m＞1，
即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；
故选：
C．
思维升华
（1）直接法：
直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
（2）待定系数法
①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【题型二】与圆有关的最值问题
【典型例题】
已知方程，则x2+y2的最小值是 ．
【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（﹣1，0）为圆心，半径r的圆，
设t，则t的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t≤1，
即t，即t的最小值为，
则x2+y2的最小值是；
故答案为：
【再练一题】
在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：
（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：
x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝ ．
【解答】解：
根据题意，圆C1：
（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，
点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：
x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，
当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有1，
解可得：
k＝2；
故答案为：
2．
思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点（x，y）有关代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点（a，b）和点（x，y）的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如（x－a）2＋（y－b）2型的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离的平方的最值问题．
【题型三】与圆有关的轨迹问题
【典型例题】
设P为椭圆C：
1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝28B．（x+2）2+y2＝7
C．（x+2）2+y2＝28D．（x﹣2）2+y2＝7
【解答】解：
∵P为椭圆C：
1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，
延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|+|PQ|＝|F1Q|＝2，
∴Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y2＝28．
故选：
C．
【再练一题】
设定点F（1，0），动圆D过点F且与直线x＝﹣1相切．则动圆圆心D的轨迹方程为（ ）
A．x2＝4yB．x2＝2yC．y2＝4xD．y2＝2x
【解答】解：
因为动圆C过定点F（1，0），且与定直线l：
x＝﹣1相切，
所以由抛物线定义知：
圆心C的轨迹是以定点F（1，0）为焦点，定直线l：
x＝﹣1为准线的抛物线，
所以圆心P的轨迹方程E为：
y2＝4x；
故选：
C．
思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
（1）直接法：
直接根据题目提供的条件列出方程．
（2）定义法：
根据圆、直线等定义列方程．
（3）几何法：
利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
基础知识训练
1．【西安市2019届高三年级第一次质量检测】若直线：
与圆：
无交点，则点与圆的位置关系是（）
A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定
【答案】C
【解析】
直线：
与圆：
无交点，则，即，
∴点在圆内部.
故应选C.
2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】圆关于直线对称的圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由题意得，圆方程即为，
∴圆心坐标为，半径为1．
设圆心关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，
∴所求圆的圆心坐标为，
∴所求圆的方程为．
故选D．
3．【广东省2019年一月普通高中学业水平考试】已知圆与轴相切于点，半径为5，则圆的标准方程是（）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
由题意得圆的圆心为或，故圆的标准方程为或.
故选D.
4．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】
圆在点处的切线为，即，
点是圆上的动点，
圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离的最小值等于．故选：
D．
5．【北京市房山区2019届高三上学期期末考试】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
设M（x，y），P（a，b）
由B（6，0），M是AP的中点
故有a＝2x﹣6，b＝2y
又P为圆上一动点，
∴（2x﹣6）2+（2y-4）2＝4，
整理得（x﹣3）2+＝1．
故AP的中点M的轨迹方程是（x﹣3）2+＝1．
△为坐标原点）为直角三角形，若，以OA为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M有两个；若，x=4与圆（x﹣3）2+＝1相切,这样的M点有一个;若，这样的M点不存在，故使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个
故选：
C.
6．【闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由抛物线方程可知：
，准线方程为：
设直线方程为：
，代入抛物线方程得：
设，，则，
又，，在圆上
即
即
圆心坐标为：
，即；半径为：
圆的方程为：
本题正确选项：
7．【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】已知圆：
，点，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，则面积的最大值为（）
A．12B．6C．D．
【答案】A
【解析】
由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，
的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，
以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，
点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，
故的面积的最大值为.
8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】过双曲线的右支上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】
圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为，
设双曲线的左右焦点为，
连接，可得
．
当且仅当为右顶点时，取得等号，
即最小值5．
故选：
．
9．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）】已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
如图所示，由几何图形易知点M的坐标为有最小值，
其面积为：
.
故选：
A.
10．【江西省名校（临川一中、南昌二中）2019届高三5月联合考】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:
平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；
则：
设,，
两边平方并整理得：
，
当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，
此时面积为
故选：
A
11．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知圆，圆分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由圆，圆，
可知圆圆心为，半经为1，如图，
圆圆心为，半经为2，
圆关于直线的对称圆为圆，
连结，交，则为满足使最小的点，
此时点为与圆的交点关于直线对称的点，与圆的交点，
最小值为，
而，
的最小值为，故选A.
12．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
圆经过，
圆心在的垂直平分线上，
又圆与轴正半轴相切，圆的半径为2，
设圆心坐标为，
由得，
圆心坐标为，
设的斜率为，因为，所以，
当最大时最小，
设（），由图可知当与圆相切时最大，
此时，
解得，此时，
即的最小值为，故选D.
13．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】已知圆C：
x2+y2+kx+2y+k2＝0，过点P（1，﹣1）可作圆的两条切线，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
解：
因为方程x2+y2+kx+2y+k2＝0表示一个圆，
所以，解得：
∵过点P（1，﹣1）可作圆C：
x2+y2+kx+2y+k2＝0的两条切线，
∴P（1，﹣1）在圆的外部，
则12+（﹣1）2+k﹣2+k2＞0，
即k2+k＞0，解得k＜﹣1或k＞0．
由可得：
或
∴实数k的取值范围是
故答案为：
14．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆经过点，并且直线平分圆，则圆的方程为________________.
【答案】
【解析】
由题意，线段的垂直平分线方程为：
，
即，
联立
解得
则圆心为，
圆的半径
故所
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